重力式挡土墙--中国百科网
- 为了改善基底压力状态，常将基础宽度适当扩大，两端向外伸出，使基底压力减小并力求分布接近均匀。重力式挡土墙可就地取材，施工简单。由于其体积和重量较大， ...
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科學人雜誌- 重力為什麼會影響時間？在黑洞裡時間會停止嗎？
sa.ylib.com/MagCont.aspx?Unit=columns&id=1026頁庫存檔能量越是不均勻分佈，則時空結構就越扭曲，其所表現出來的重力現象也就越大，同時這個「時、空」扭曲也會讓時間的流逝變慢。所以用物理的因果邏輯來解釋，嚴格而 ...
引力場的位能
重力位能的一般式
1.將地表外之物體自距地心
處，等速移至
處時外力作功：
2.距地心
處之重力位能：
即
令
（零位面）
則距地心
處之重力位能：
註：地心處之重力位能：
3.力學能守恆：若物體僅受重力作用，則：
總力學能
＝定值 （
：與地心之距離）
4.衛星在半徑
之軌道上繞地球運轉：
j位能：
k動能：
（
）
l總能：
m束縛能：
ð
…脫離動能：
ð
註：(1) 束縛能（Binding energy）：欲使物體脫離重力場至
時，所需補充之最少能量常以
(2) 脫離動能（Escape
kinetic energy）：欲使物體脫離重力場至
時，所需具備之最
小動能常以
表之。則
ð
P.7-17
5.雙星系統：質量
、
相距
，互繞質心運轉。
j位能：
k總動能：
l總能：
m束縛能：
例一：稜長皆為
之正四面體頂點各固定有質量
之質點，則此系統之總重力位能為何？
欲將此系統拆散，分別推移四質點置無窮遠處至少須作功為何？若欲將其中一質點
移至無窮遠處須作功為何？
2.若設距地表
（
為地球半徑）為零位能之處，則地表上質量
物體其重力位能為
何？
例二：若不計空氣阻力，且地球半徑為
，質量為
，則質量
之物體自離地面
處靜止自
由落下至離地面
處，其動能為若干？
例三：設有質量皆為
之3個質點位於邊長為
之正三角形頂點，由靜止釋放，任其在相互
間之萬有引力作用下，互相接近到邊長為
時，系統之總動能為何？
練習：在地表附近之均勻重力場中，鉛直上拋一物，最高可達
。若以同樣之初速上拋，且
需考慮重力場之實際變化，地球半徑
，則最高可達：
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
P.7-18
2. 在地表垂直升空之火箭，若初速
，則可達最大高度為高於地表
（地球半徑），則 當初速為何時，可達高度為高於地表
？
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
例四：假設彗星在近日點及遠日點時與太陽距離比為1：3，且在遠日點時動能為
，則此彗
星繞日時，系統之力學能為何？
練習：設太陽質量為
，某行星質量為
，在近日點之速率為
，與太陽之距離為
，試求
此行星在遠日點之速率為何？
例五：一人造衛星環繞地球做圓形軌道運行，如持續受到微小摩擦力的作用，它的什麼量會
漸漸增加？
(A) 它與地球的距離 (B) 動能 (C) 重力位能 (D) 向心加速度的大小 (E) 週期
練習：人造衛星以
之動能距地心
處繞地球運行，若因摩擦阻力失去
之能量，則：
(A) 軌道半徑變為
(B) 繞轉速率變為原來的2倍
(C) 動能變為
(D) 向心加速度之大小為原來的4倍
(E) 欲脫離至無窮遠，需束縛能
例六：一火箭獲得燃料所作之功
後，可由地面上升至距離地心為
之高空而停止運動，若
此火箭欲脫離地球吸引力之束縛，尚需能量
，則
為地球半徑之若干倍？
P.7-19
例七：設地球半徑為
，自地面發射質量
的人造衛星，使之到達離地面
之軌道上繞地球
作圓周運動，若地球質量為
，則：
(1) 發射之初速率若干？
(2) 在軌道上的速率若干？
(3) 欲使軌道半徑變成地球直徑的2倍，則需要再補充多少能量？
(4) 要將衛星自(3)之軌道拿到無窮遠，至少需供給多少能量？
例八：地表重力場
，地球半徑
，今發射質量
之人造衛星，使其繞
之軌道半徑運轉，
則(1)需供給若干能量？(2)衛星在軌道運轉之速率為何？(3)衛星之束縛能若干？(4)
欲使其軌道增為
，需再供給多少能量？
練習：
1.某物質量為
，受一向上之力自地面等速上升了地球半徑
的
高度，設地球質量為
，
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
2.假設地球表面之重力加速度為
，地球半徑為
，今自地面發射一顆質量為
的人造衛星
到達距地面等於地球半徑高處的軌道繞轉，需作功為：
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
3.某星球表面之重力場強度為地表之4倍，其半徑為地球之兩倍，則物體在此星球之脫離速
度為地球上之：
(A) 2倍 (B)
倍
(C) 4倍
(D)
倍
(E) 8倍
例九：質量各為
及
之雙星，繞共同質心作圓周運動，若知此系統總能為
，萬有引力
常數為
，則雙星距離為 。
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彈簧的位能
一、彈簧彈性位能（畸變位能）的表示法：
1.彈簧受外力
作用時與其形變量
之關係為
。
2.施力
對彈簧作功：
。
3.外力所作之功即轉變成彈簧之位能，則
。
二、彈簧、振子系統之
：（彈簧水平放置）
三、彈簧鉛直放置時之力學能守恆：
振子在鉛直線上作
：重力及彈力同時作用
過程中任一位置之能量：以鉛直而上之簡諧運動
討論：
P.7-21
例一：力常數均為
，而長度差為
，截面積比為2：1之二彈簧，
如右圖放置於光滑水平面上，若以一水平力壓擠，欲使小彈
簧產生
之形變共需作功若干？
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
例二：如右圖所示一水平光滑金屬棒貫穿力常數為
的彈簧，
、
二端
為貫穿金屬棒的光滑圓環固定於彈簧兩端，並各連一懸線，下懸質
量
之物體。如圖所示平衡位置（二角為60∘），
、
之間隔距
離為
，則此時彈簧位能大小為何？
練習：右圖
、
兩彈簧之力常數分別為
、
，．質量
速度向右運動，且
相對臺車為靜止時，兩彈簧之
彈力位能總和為 。
例三：如施
的力於一彈簧，則彈簧可被拉長
，今將此
彈簧橫置於一光滑平面上，一端固定於一壁。有一質量
，試問：
(1) 可將彈簧最大壓縮若干長度？
(2) 彈簧被壓縮
時，木塊的速率為若干？
練習：
之木塊與力常數為
之輕質水平彈簧碰撞
（如右圖所示）。彈簧由靜止位置被木塊壓縮
。
設木塊與水平面間之動摩擦係數0.25，則碰撞時木塊
的速率若干？
練習：質量
物體以
初速撞及一彈簧，壓縮0.1公尺後復彈回，物體離開彈簧時末速
為
，則彈力常數為
。
P.7-22
例四：一端固定且
之彈簧平放在水平桌面上，另一端繫
之質量，當質
量壓縮彈簧
時，物體運動速率為
，求此
之(1)週期；(2)最大動能；
(3)最大位移；(4)最大加速度？
練習：力常數
之輕彈簧置於一水平光滑平面上，一端固定，另一端連結一質量
的木塊作
例五：如右圖所示，一彈簧槍內有一質量
之
活塞固定在力常數
的輕彈簧之頂端，
子彈球的質量
將彈簧壓縮
，當子彈
裝妥時用扳機將它扣住，若不計摩擦，
則：
(1) 子彈射出時的速率為多少？ (2) 從扣扳機至子彈離開活塞共歷時多久？
(3) 彈簧將多少位能交給彈丸？ (4) 子彈射出後活塞作
之振幅為何？
(5) 活塞作
之最大加速度為何？
例六：一質量可略去，彈力常數為2牛頓／米之彈簧，其兩端
各繫有一質點（如圖），設
＝2仟克，
＝4仟克，
彈簧原長1米。今將此彈簧壓縮至0.5米之長度，並將
此系統之質心置於原點後，放開二質點令其在無摩擦之
水平面上振盪。試計算下列各種量：
(A)
與
之（最大）速率比 (B)
離開平衡點之最大距離
(C)
之最大速率
(D)
之振盪週期
例七：一線性彈簧彈力常數為
，上端固定於天花板上，下端懸一質量
的物體，使物體靜
止於彈簧自然長度之處，突然放手，使物體下墜，求物體振動時(1)振幅；(2)彈簧最
大伸長量；(3)最大動能；(4)最大彈性位能；(5)最大速率。
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例八：質量為
之物體懸掛於彈力常數為
之彈簧下端，當到達平衡時，將物體下拉
距離。
試問(1)此時彈簧之彈性位能若干？(2)吾人至少需作功若干？(3)如再下拉
距離，則
至少需再作功多少？
例九：有一光滑斜面其斜角為θ，另有一力常數為
之輕彈簧，
其一端固定於斜面之頂端，另一端連接一質量為
之物
體而靜止，如圖所示。施力
將物體沿斜面向上推，使
其位移為
，則(1)施力需作功
＝ (2)減少之
彈力位能
＝ 。
練習：
1.一理想彈簧之彈力常數為
，鉛直懸掛；今若在下端掛上一質量
的物體，恰呈靜止。將
物體拉下
後，釋放之；則當物體上升
時（距釋放點），其速率為 。
2.一彈簧吊在天花板，下端掛一物其質量
，平衡時，彈簧伸長至
點且伸長量
則：
(A) 彈力係數為
(B) 由
至
點，下拉時手作功
(C) 振動期間，彈力位能最小為0 (D) 振動時動能最大為
(E) 振動時加速度最大為
3.如右圖，力常數
之彈簧下端懸掛質量分別為
及
的物體，開始時處於靜
止狀態，若突然割斷
與
間之連線，則
所能達到的最大速率為
。（重力加速度為
）
P.7-24
4.一自然長度為
的彈簧，上端固定，下端掛一質量為
的物體，並使物體在鉛垂方向做
簡諧運動。設重力加速度為
，運動過程中彈簧的長度最短是
，最長時是
，則下列
敘述何者為正確？（彈簧的質量不計）
(A) 彈簧的彈力常數是
(B) 當物體的速率最大時，彈簧的長度是
(C)
物體的最大動能是
(D)
當彈簧長度是
及
時，彈簧的彈性位能相同
(E)
當彈簧長度是
及
時，物體的動能相同
例十：彈簧力常數
（質量忽略），底端被固定於地面，茲將彈簧
壓縮
公尺至
點，並以一質量
之鋼珠置放於此一被壓
縮之彈簧頂點（見右圖），當放手後，鋼珠被向上彈升。
(1) 設
，鋼珠上升之最高點與
相距若干？
(2) 設
，鋼珠上升之最高點與
相距若干？
例十一：一質量為
之球自力常數為
的彈簧上方
高處落下，求：
(1) 彈簧最大壓縮量。
(2) 若球落下時黏附在彈簧上，則其所作
之j週期k振幅
l最高點時彈簧伸長量m最大速率…在平衡點物體受彈簧恢
復力量值，各為何？
例十二：有一理想的輕彈簧，其力常數為
。將此彈簧置於與水平成
θ角之光滑斜面的底部（如右圖）。有質量
之物體在斜面
頂端由靜止滑下，可將此彈簧壓縮
距離，
為重力加速度
，則：
(1) 物體在靜止前滑行之距離為多少？
(2) 若物體與彈簧碰到後即黏在彈簧上，則物體作
之
振幅為若干？
(3) 物體作
之最大速率為多少？
P.7-25
練習：
1.一塑膠圓盤以彈簧掛起，彈簧之彈力常數為
，設有一質量為
之重物自
圓盤上方高度
處落下，附著於盤內做簡諧運動（如右圖）。彈簧及圓盤
之質量可以略去不計，則圓盤振盪之振幅為：
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
2.某人持一長度
，質量
，密度均勻之細鐵鍊，令鐵鍊之下端輕觸一彈簧
秤盤（如圖），設彈簧秤之彈力常數為
。今將此鐵鍊放開令其自由墜下
落於秤盤中。如秤盤、彈簧之質量均可不計，所生的熱能亦可略去，且彈
簧秤遵守虎克定律，則秤盤下沈之最大位移為：
(A)
(B)
(C)
(D)
例十三：一鉛直懸掛之彈簧，自然掛上質量
物體後立即放手，使其做上下之簡諧運動振幅
，當行至(1)平衡點(2)最低點(3)最高點時恰有
脫落，則後來的振幅若干？
練習：一小車質量
，連接一水平的彈簧上，以振幅
振盪，當小車運動至平衡點，瞬間有
一質量
的物體鉛直落入車中，求振幅、週期、總能為原來的幾倍？
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