有关
δ 函数势几个问题的探究
张樊
（华中师范大学物理科学与技术学院武汉430079）
摘要
在量子力学中，我们能精确求解的只是少部分特殊情况下的模型和典型的经典粒子，其
中
δ 函数势是其中最为典型的一个模型。下面我们将分别对不同情况下的δ 函数势进行讨
论，包括束缚态、散射态以及多个
δ 函数势联合分布的情况。而对于多个δ 函数势联合分
布的情况我们会引用传递矩阵等方法进行分析。最后通过对
δ 函数势的散射理解，我们将采
用迭代的思想，来讨论一个由无限深方势阱和
δ 函数势组合的特殊情况。
关键词
δ
函数势散射态束缚态传递矩阵无限深方势阱迭代法
引言
δ
函数势是我们常用的一个模型，而
又由于总能量
E 的不同，会出现散射态和束
缚态。对于束缚态，波函数是分离的定态解，
如此求解起来将比较简单。但对于散射态的
粒子的波函数，实际上是不可归一的，是发
散的，但我们可以构造定态解的可归一化线
性组合。因此，真实的物理粒子是由组合成
的波包所表示的。虽然这在原理上很简单，
但是实际中做起来并不简单，我们得借助计
算机来处理。同时对
δ 函数联合组成的散射
态，我们可以构造传递矩阵，通过对矩阵的
分析，得出经过每个
δ 势垒时的透射率，从
而求出整个过程的透射率。而迭代法则是我
们在数学和数值计算时常用的一种方法，虽
然有时迭代法不能够得到精确解，但只要保
证收敛的性质，我们总会在经历多个迭代后
得到一个较为接近的解。
一、束缚态（
E < 0）下的δ 函数势
1、
δ 势阱（图1）
我们先设此时的势能函数为
V
(x) = −αδ (x).
其中
α > 0。
对于
δ 势阱下的束缚态
+
-
0 0,
( ) ( )d 1.
0.
x
x x x
x
δ δ
∞
∞
⎧ ≠
= ⎨= ⎩∞ =
且∫
在
x ≠ 0处，我们定态薛定谔方程为
2
2
2 2
d 2 ,
d
mE
x
ψ
= −
ψ =κ ψ
ℏ
其中
κ
2mE .
−
=
ℏ
很显然此处得到的
κ 是正实数。在x > 0处，
对上面的薛定谔方程求解可得
ψ
(x) = Ae−κx +Beκx ,
在
x < 0处，得到的解是
ψ
(x) = Fe−κ x +Geκ x .
而在
x → −∞ 时，波函数要收敛，因此
A
= 0.
同理可以得到，在
x → +∞ 时
G
= 0.
而在
x = 0处，我们有连续条件
图
1、δ 势阱
2
1.
d 2 . 2. ( )
m (0)
dx
ψ
ψ α
ψ
⎧⎪⎨
Δ = −⎪⎩
ℏ
总是连续的
[1]
有第一个连续条件可以得到
B
= F,
波函数则可以写成
e , ( 0),
( )
e , ( 0).
x
x
B x
x
B x
κ
κ ψ 
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