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量子力学应用于石墨烯的一个基本困难 
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一，预备知识
物理学研究自然界的物质及其运动。理论物理和物理理论的侧重点有些许差别。理论物理会预言自然界会存在某种物质或者运动。而物理理论会问：假设这种物质或者运动存在、或者因为这种存在，后果会如何? 前者的例子有：狄拉克的相对论量子力学回答了为什么会出现反粒子；而基本粒子的夸克模型，给出了几乎所有基本粒子为什么会存在的原因。后者的例子如：石墨烯能够稳定存在，能够直接观测到诸如分数量子Hall效应、Andreev反演、Klein遂穿效应还有一些其他零质量费米子效应。如果是理论物理，应该首先预言出石墨烯的存在!
什么是基本理论问题? 正常导体是超导体的一种特殊情况，正常导体的物理机制在超导中，如果超导问题不清楚，正常导体很多问题就说不清楚。对于正常导体来说，超导问题就是基本问题，从超导逼近正常导体能给出新的物理。波尔兹曼统计是费米-狄拉克统计和波色-爱因斯坦统计的特殊情况，从费-狄统计或者波-爱统计逼近波氏统计，能给出很多新的物理，前者是后者的基本理论问题。
二，从量子力学到石墨烯：逻辑上还需要一点理论物理
关于石墨烯的研究，有宏观和微观方面这两方面的研究方向。微观上，多认为是零质量费米子在平面上的运动，文章浩如烟海；宏观上，常认为石墨烯为连续的板壳，具有弯曲效应，文章不多，参见Geim，Novoselov等，Subjecting a Graphene Monolayer to Tension and Compression，Small 2009, 5, No. 21, 2397–2402。其实介观上，石墨烯面是弯曲的，有下图为证。
那么，如果把量子力学应用到石墨烯上，考察电子的运动，一般文献按如下逻辑给出熟知的零质量费米子哈密顿。
不过理论物理学家会问一个问题：量子力学的基本形式仅仅适用于三维平直空间，而石墨烯上的电子生活在二维的弯曲空间里，通常的量子力学理论体系能用吗? 反过来说，如果认定通常的量子力学理论体系能用，实际上是一个假设。物理容许逻辑上的跳跃。不管这个理论有无深层次的道理，就从这里出发，如果得到的结果都得到了实验的检验，也是高水平的物理学。不过这个做法不够理论物理。
三，您了解狄拉克的烦恼吗?
正则量子化是狄拉克对量子力学的一个基本贡献，他也为此烦恼了一辈子。
狄拉克的《The Principles of QM》(第四版)第114页上，有一个脚注如下：(将经典力学哈密顿量子化要小心。) “This assumption is found in practice to be successful only when applied with the dynamical coordinates and momenta referring to a Cartesian system of axes and not to more general curvilinear coordinates.” 这是青壮年时的狄拉克的观点。1970年代有几年，老年的狄拉克在大洋洲有十来次演讲，部分被编辑成为一本书：《Directions in Physics》(Wiley, 1978)。有一篇发表在一个短命的新西兰物理刊物《Fields and Quanta》(3(1972)139)上，其中有两段话映照了青壮年时的观点：(正则量子化会出现很多不可对易性。)“不可对易性果真是量子力学主要的新概念吗?以前我一直以为是的，但近来我开始怀疑，…”。“如果要问量子力学的主要特征是什么，我现在倾向于要说：这个特征并不是不可对易代数，…。”
壮年的狄拉克研究过弯曲空间量子化，发现直接将Piossion括号变成量子正则对易关系时，必须修改为狄拉克括号，然后量子化才能给出正确结果。这些结果总结在狄拉克的另外一本著作中：《Lectures on Quantum Mechanics》(London:Academic，1966)。狄拉克其实在不断试图超越他自己。
如果细读了狄拉克的文字，不难理解为什么会有很多人为球面上粒子运动的量子力学而烦恼。其中有一位是名家Kleinert，在其专著《Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets》，(World Scientific，2006) 4th ed. 有专门的一节：Particle on the surface of a sphere。大意是说，狄拉克正则量子化规则，给不出球面上粒子量子运动哈密顿的正确形式。如果要给出正确形式，应该重新思考量子化规则。Kleinert提出了一个所谓的“群量子化”法则。球面上粒子量子运动哈密顿是SO(3)群生成元的Casimir算符。而狄拉克对易关系，不过是李代数生成元之间的一个代数关系。
四，从哈密顿量到动量量子化：一点一点超越狄拉克
量子力学适用于三维平直空间中的粒子运动。如果把石墨烯弯曲成一个刚性的曲面，此时电子的动能不能仅仅由一个Laplace算符(当然要乘上一个系数)来表达，会多出一个曲率能量项。而推导这个项，不能认为电子生活在曲面上，而是生活在三维平直空间中，曲面不过是提供一个约束。不过这个约束完全没有沿用狄拉克定义的第一或者二类约束的概念。这个项的明显形式为(H为平均曲率，K为高斯曲率)：
。
这个一个曲率能量项最初步的推导是1971的德国学者做出来的(Ann. Phys. (N.Y.) 63(1971)586)，但是有些粗糙，几乎没有人注意。直到1981年，巴西学者da Costa的工作 (Phys. Rev. A23, (1981)1982)有了严格推导之后，才受到广泛的注意。纳米科技的进步，诱使人们给出了不下20个在碳管、石墨烯等体系上观测这个曲率能量项的建议。唉，真是人算不如天算。第一个实验观测居然出现在光子晶体中：A. Szameit，et al， Geometric Potential and Transport in Photonic Topological Crystals，PRL 104 (2010)150403。
这个发展，超越了狄拉克的弯曲空间量子化的正则对易量子化规则。
不过在这个问题上，绝大多数研究人员还在狄拉克指定的规则内打转转。这个规则不能直接量子化Poission括号，而是量子化狄拉克括号。发展出两个途径：一个途径是直接量子化哈密顿；另外一个就是先量子化动量，再量子化哈密顿。文章在100篇以上，规则越来越复杂，吵得一塌糊涂。一篇综述见：Golovnev, Canonical quantization of motion on submanifolds. Rep. Math. Phys., 64(2009)59—77.
而在动量量子化方面，我们也做了一点工作。不循狄拉克的的规则，也是直接把曲面嵌入到三维平直空间中，我们给出的量子力学动量为：
。
它其中比平直空间的动量算符多出一个几何不变量：平均曲率矢量场。文章见：Liu Q H., Tong C L., Lai M M., Constraint-induced mean curvature dependence of Cartesian momentum operators J. Phys. A 40(2007)4161。我们也把这个动量称为笛卡尔动量。
五，回到石墨烯
如果认真研究电子在石墨烯上的运动，由于石墨烯本质上是弯曲曲面，量子化从第四节中的量子力学动量和动能出发最为妥当。最后通过逼近的方式给出近似平面上石墨烯上的运动，就可以理解一些不明显的效应可以忽略。由于对这个问题的了解并不充分，可以说量子力学应用于石墨烯具有一个基本问题。标题说是一个“困难”，不会出现在物理学文献中。如果在物理学文章中，出现将是类似如下的干巴巴的文字。
将石墨烯面闭合起来变成一个球，然后研究电子这个球面上的运动，Kleinert等(H. Kleinert and S. V. Shabanov, Proper Dirac quantization of a free particle on a D-dimensional sphere Phys.Lett. A232 (1997)327)建议将狄拉克的第二类约束进行Abel反投变成第一类约束，然后量子化。这个建议没有把Kleinert自己建议的“群量子化”规则进行到底，本文从我们建议的笛卡尔动量出发，发现“群量子化”规则也完全有效。
__________
土著是个石头迷，昨天捡拾到的一块石头，晶化得还算不错吧!
http://blog.sciencenet.cn/blog-3377-413565.html
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发表评论 评论 (39 个评论)
- [39] 匿名
- 这篇博文完全不知所云，错误百出。在长波极限下Graphene可以用狄拉克方程描述，如果考虑puddle之后，引入位置依赖的规范项即可。如果是曲面上的例如碳纳米管可以引入曲面标架描述，不需要弄的那么玄乎。详见http://arxiv.org/abs/1003.5179
- [38]lihb734
- 一化学系对量子力学感兴趣的向刘老师请教：为什么石墨烯发生弯曲之后，量子力学处理起来就有问题了？您可以通俗一点科普一下吗？
- 博主回复(2011-11-23 10:26)：石墨烯的化学和物理的关注点有很多不同！
如果弯曲不是很明显，例如载流子的波长和弯曲的曲率差不多时，量子效应必须考虑！
- [37]陈宁
- 我理解它就是个sp2杂化构成的二维面!这个量子力学很好处理!只是,它的很多问题是在这个体系的许多激发态组合构成的新的现象,或者是在此基础上的特殊振动模式问题! 不是量子力学不擅长解释,而是杀牛岂能用手术刀问题!
- 博主回复(2011-11-23 10:27)：
- [36]杨锐
- haowen
- [35]王国强
- 好文章啊，我怎么没早一点看见。
- [34] 匿名
- 以前跟刘老师学理论物理，可惜数学不好，学生现在只好做物理理论了
- [33]苏力宏
- 假定石墨烯内部结构是均匀的想法都是想当然和错误的，实际石墨烯的碳碳键长从边界到中心沿径向是阶梯差异变化的，而很多理论推导在这点上忽略了，不符合科学事实和逻辑。悬浮石墨烯如果不起褶皱（实际是形成新边界），我的计算表明其可以完整稳定存在的尺寸是有限的。
- 博主回复(2011-11-23 10:28)：不起褶皱就必须有限尺寸。有理！
- [32]陈方培
- 刘老师：您好！过去我对石墨烯不了解，看了您这篇博文并在网上搜索查看了几篇文章后，才对石墨烯有了初步的了解，但仍有许多问题不清楚，想向您请教。
石墨烯的晶体结构似可看成是：碳原子（或离子）位于晶格格点振动，晶格点阵大致位于一平面（x，y）上而有所偏离。有些脱离碳原子的电子在晶格格点之间运动。我体会您的这篇博文主要是想用量子力学研究这些电子的运动。这些电子所受到的力主要是电磁力，在这个问题中万有引力可忽略不计。既然万有引力可忽略不计，时空便可看成是平直的，因而上述电子是在3维平直时空中运动,但沿z方向运动的范围很小。
石墨烯的晶格点阵对上述平面（x，y）的偏离是随时间而变的，即观察到的石墨烯的晶格点阵是个随时间而变的曲面，上述电子不可能在某一固定的曲面中运动。加以采用曲线坐标会出现狄拉克所说的量子化困难。因此我觉得还是按照平直时空中的量子化来进行较好，只是应把碳原子（或离子）的势能视为（x,y,z）的函数。不知您的看法如何？ - 博主回复(2011-2-23 16:09)：陈老师您好！谢谢您的讨论。
您关于量子力学的理解完全符合现金量子力学对石墨烯的研究。
不过有两个问题。第一，目前对是石墨烯的研究，很多都认为是二维运动，也就是，电子的运动局限在二维面上。如果这个面是平面，当然，了然无事。问题是，这个面不是平面，例如可以是球面(即C60)，而球面会产生整体旋转。第二，石墨烯上的“电子”，叫费米子，这是因为它是等效的“电子”，由零质量费米子相对论性方程描述。这个等效过程，是蜂巢点阵的性质--无带隙半导体--决定的。
弯曲空间的量子力学，还远没有完全建立起来。哈佛大学的L. Kaplan等人，在1997年PRA上，以Quantizing constrained systems为题发表了一篇文章，其中有句话很有趣味。其中一句是："if you like excitement, conflict, and controversy, especially when nothing very serious is at stake, then you will love the history of quantization on curved spaces’’。
我是贵校刘宏亚老师的学生，我去过大连多次。刘老师英年早逝，惜哉！
- [31]赵国求
- 关于量子场，还想更深入请教。
王正行，简明量子场论，北京大学出版社：2008：1-2：
“粒子物理学的基本理论，则是量子场论。”
“量子场只是用来描述粒子运动的方式，是一种用来进行分析和思考的模型，…量子场是关于各种粒子体系的动力学模型。”
“量子场论是量子力学的应用与推广，它在粒子数为1时给出单粒子量子力学的情形。”
“量子场论…还不是一个彻底和完成的理论。”
因此，我认为量子场实际是一个应用于微观物理的数学模型，是一种数学方法，而非物理模型，物理模型仍是质点。不是吗，规范场就是量子场论的另一种数学方法，一开始，它又得抛弃量子场中波函数经典连续场假设，把波函数看作纯几率函数，同一个物理所指物理意义全非，难道合理吗？费曼路径积分粒子本体更为明确。量子场论中的发散困难就是质点模型惹的祸。量子场、规范场、费曼路径积分实际上均是以点模型为基础，应用于微观物理学的数学模型。现今物理学无论是讨论宏观、微观粒子，还是物质场均是采用质点模型的物理本质，应该更加令人深信。量子场的场量子其物理模型当然仍然是质点。只是理论与实验的高度吻合（当然又涉及概率分布），而物理基础的讨论既涉及哲学又涉及物理，太麻烦，一般物理学家不愿深究过问而已。
国际理论物理、物理数学及科学哲学大师坂田昌一、托姆、曹天予均多有明确论述可查。 - 博主回复(2011-2-23 15:53)：赵老师您好！谢谢您的讨论。
您主要的关注是，量子力学中的粒子模型是否点粒子模型的问题。在我的头脑里，1，无源麦克斯韦方程组是天生的量子力学方程，而它是描述光子的，而光子不能定域，那么光子是否点粒子? 2，量子力学能描述各种激发子，例如甚至固体物理中的"电子"，实际是集体运动的量子，这种量子是否点粒子? 我觉得也许能认为是点粒子，但是这不是量子力学最物理、最兴奋的定义。
是否有一种点粒子模型，是说明粒子内部没有结构(例如电子)，或者内部激发对问题的研究没有影响，或者湮灭和产生现象不明显。这点上我没有把握。
有一种点粒子定义，首先在经典力学中定义好，然后量子化，进而进入量子力学中。这不是完全的量子力学做法。时时刻刻将量子力学中的概念和经典力学中的概念作比较，不是彻底的量子力学研究方法。
挂一漏万，仅供参考。
- [30]赵国求
- 刘老师:当今的物理学包括量子场论,不管它采用哪种数学形式,本质上都是采用的点粒子模型,应该说不"仅仅是粒子运动的量子化"时采用.对吗?
- 博主回复(2011-2-18 17:51)：如果把量子力学仅仅局限于非相对论范围，说量子化“本质上都是采用的点粒子模型”，对量子力学的初学者，也说得过去。
量子力学，不是把经典的什么东西量子化；量子力学处理的是量子，量子就是量子! 量子是点粒子? 不如说场量子吧。
- [29]crazystone
- 谢谢刘老师回复，如果是模拟结果或原位观测图的话比较可信了，下意识就以为是随便画了一张图。谢谢.
- 博主回复(2011-2-18 10:37)：土著不打诳语。
- [28] 匿名
- 做有机化学方面的工作，只会用量子力学中的定性结论做定性解释。因为对量子力学理论的构架还不是很了解，理解不了量子力学。但是我还是很喜欢，也是很想去了解量子力学。对于宇宙来说，我们银河系就是一个小尺寸的物体，就像是巨人的一个细胞一样，我们在银河系得到的一些物理规律在宇宙中去应用或许也要修正。这是我一个外行的看法，请老师指教。
- 博主回复(2011-2-18 10:38)：科学网上有老师吗? 大家都是网友、都是茶友啊。
- [27] 匿名
- 十角形比六角形更稳定,但人们没注意,它可能在生物学中大量存在
- 博主回复(2011-2-18 10:38)：
- [26] 匿名
- 蒋春暄证明石墨烯是平面稳定结构
http://www.wbabin.net/ntham/xuan4.pdf - 博主回复(2011-2-18 10:39)：
- [25] 匿名
- 蒋春暄证明六角形是最稳定结构
- 博主回复(2011-2-18 10:39)：
- [24]戴越
- 看来我有必要再去了解一下情况。谢谢博主和21楼那位，呵呵~
- 博主回复(2011-2-18 10:41)：我不懂的地方可能更多，学习ing。
- [23] 匿名
- 确实是块晶化的不错的石头，很硬！
- 博主回复(2011-2-17 20:43)：
- [22] 匿名
- 目前量子力学精确解为数了了，求解如此不易的情况下，这确实是快硬骨头。所以，刘老师才这么大方的写了出来啊。
- 博主回复(2011-2-17 20:42)：
- [21] 匿名
- To: daiyue 现在原子层次上平整不是容易的事情。就算平整也有台阶等！
而问题的关键是在于，不管实际上石墨烯是否平整，弯曲的石墨烯还能不能用DIRAC电子模型的问题。尽管，石墨烯，由于热涨落的情况下，不可避免的，应该是会有曲率的！ - 博主回复(2011-2-17 20:41)：
- [20]戴越
- 博主回复(2011-2-17 18:34)：可是，静态的平面石墨烯结构，热力学上就不能稳定存在啊。
--
Landau是证明过不存在稳定的二维晶体。这个问题我曾请教我做graphene的人，好像是说graphene都是放在基底上的，像博文第一张图那样只有一层graphene的系统才是不稳定的。时间久了，记错莫怪。 - 博主回复(2011-2-17 20:40)：我知道的情况刚好相反。我不仅问过实验行家，而且看过有关文献，石墨烯是动力学稳定的。
- 博主回复(2011-2-17 20:40)：我知道的情况刚好相反。我不仅问过实验行家，而且看过有关文献，石墨烯是动力学稳定的。
- [19]戴越
- thanks~
- 博主回复(2011-2-17 20:35)：
- [18] 匿名
- 我现在好好补补石墨烯的物理，有余力的时候，向其进军。挺有意思的!
哈哈，多年前和刘老师有过一面之缘。
晚辈有礼了！ - 博主回复(2011-2-17 20:34)：
- [17] 匿名
- 中午看到，晚上才明白问题真正的所在了！ 刘老师提出了的问题确实好！
- 博主回复(2011-2-17 18:28)：
- [16]windring
- （１）石墨片以非平面形式存在的是有条件的，制备条件，观测的实验条件等等。如果是绝对理想情况，也许就是平面形式存在。如果原子振动很缓慢，那么观测到曲面结构也并非不可能。
（２）关于电子结构。Dirac-like性质本身是从Shreodinger方程采用k.p方法就可以得到，而并非从Dirac方程。
（３）个人认为实际上没有量子力学困难。只要是利用Shreodinger，结构的不同只不过是体现在potential。 - 博主回复(2011-2-17 18:34)：可是，静态的平面石墨烯结构，热力学上就不能稳定存在啊。
“困难”二字，博客用语而已，更恰当的表达为“问题”。
- [15]戴越
- 所以我想，graphene本来就是一个二维平面的格点模型。尽管在大尺度上可能会有起伏，但只考虑近邻、次近邻的话，这样的起伏是可以忽略的。
在小尺度上要产生显著的起伏，必须格点有缺陷才能做到。但这是另一回事了。 - 博主回复(2011-2-17 18:31)：当石墨烯刚出现时，要急切得到一些结果，这些研究表明，平面模型是主要矛盾。但问题深入时，观测和理论的问题都会冒出来，例如：Zettl et al, Nano Letters (2008).
- [14]周晓华
- 冒个泡。那个多出的动量算符显然源自于空间的弯曲项。不过我猜测可能还会有新的项出现——空间不均匀项。清华殷雅俊教授曾给出过类似的工作。
我们有理由相信，低位空间的拉格朗日量应该和广义相对论中的曲率标量之间有内在联系。拉格朗日量应该包含：惯性项，空间弯曲项和空间不均匀项。 - 博主回复(2011-2-17 17:17)：谢谢！能给一个殷雅俊教授的文章的链接吗?
- [13]戴越
- 刚才的回复有一点点小错误。翻了下rmp,81,109，次近邻的hopping也是要考虑的。
- 博主回复(2011-2-17 17:15)：
- [12]胡新根
- 总结得很好！
- 博主回复(2011-2-17 17:15)：
- [11]戴越
- 我不是做graphene的，对这方面的问题不大了解。但我印象中graphene用的是格点模型，并采用了紧束缚近似。在写Hamiltonian时，也假设只有相邻的格点之间有hopping，因此曲率是不重要的。
- 博主回复(2011-2-17 17:14)：这是最初步的平面模型。
>格点模型，并采用了紧束缚近似。在写Hamiltonian时，也假设只有相邻的格点之间有hopping
- [10]crazystone
- 谢谢刘老师，学习了。
你说：“其实介观上，石墨烯面是弯曲的，有下图为证”，那图能证明吗？ - 博主回复(2011-2-17 17:13)：有原位观测图片和分子动力学模拟结果，参见：M.A.H. Vozmediano et al. / Physics Reports 496 (2010) 109–148，图10.
- [9] 匿名
- 量子力学的基本形式仅仅适用于三维平直空间，而石墨烯上的电子生活在二维的弯曲空间里，通常的量子力学理论体系能用吗?
石墨烯所谓的二维弯曲空间，不可以看做一个加了几何限制条件的三维空间么？然后，再将限制条件加入在原子相互相互作用势中。问题不就很好求解了？ - 博主回复(2011-2-17 17:02)：研究石墨烯，有各种近似办法：最初步的近似就是没有缺陷的平面完整蜂巢点阵；平面非完整蜂巢点阵；在周期性边界条件下进行分子动力学模拟，在确定边界条件和衬底下的分子动力学模拟，...。
- [8]虞忠衡
- 提一个外行的看法， 本人感觉是，量子力学研究的是电子的性能，量子化学是研究的是分子的性能. 如果我的感觉是对的，为何量子力学有可以认为石墨烯分子的表面是一个曲面。如果您说电子运动的几率分布是一个曲面，我完全可以理解. 但是说，石墨烯分子表面的形状是一个曲面，这就难以理解了. 站在量子化学的观点，你这个分子形状是一个曲面， 这应该是通过几何优化获得的，如果这样，你的计算是不是又回到量子化学上来了？
再次申明，我是外行，属于请教！ - 博主回复(2011-2-17 16:56)：自由悬挂的石墨烯不是平面，而是起起伏伏的；如果把石墨烯卷起来，就是碳纳米管甚至巴基球了，这些几何形状不是通过几何优化获得的。
- [7]王涛
- 刘老师写了一篇非常好的文章。按照您的看法，我们是否是应该先讨论的是相应流行上的量子场论，然后再讨论相应的非相对性的量子力学呢？
- 博主回复(2011-2-17 16:47)：问题可以这样想，但可能不能这样做。先解决最迫切的问题为好：非相对论量子力学如何引入约束?
- [6]赵国求
- 学习了。谢谢！量子化的基础，是点粒子模型 & 神奇的数学变换。同意鲍得海的判断。
- 博主回复(2011-2-17 16:44)：我的看法稍有不同。我觉得量子化的基础是场的量子化，尽管本文讨论的仅仅是粒子运动的量子化，看上去是点粒子模型。
- [5] 匿名
- 刘老师，整几篇prl啊！这么大的困难。
- 博主回复(2011-2-17 16:40)：
- [4]鲍得海
- 哈哈哈哈！这个问题只有第三节较真。。。
【低级问题】如何相信“正则量子化”是正确的？
【中级问题】如何判断“正则量子化”是正确的？
【高级问题】如何证明“正则量子化”是随意的？
量子化的基础，是点粒子模型 & 神奇的数学变换。。。Why it is so good ? - 博主回复(2011-2-17 09:28)：土著正努力向问题的低级层次趋近，...。
- [3] 匿名
- 不对,不是二维的困难.
- 博主回复(2011-2-17 09:25)：
- [2]刘俊明
- 等得空了回过头来仔细拜读。
- 博主回复(2011-2-17 09:25)：疏妄之作。
先来个自我鉴定垫垫底，免得被俊明兄批起来张徨失措。
- [1]傅云义
- 刘老师：按您的观点，石墨烯中零质量载流子的量子化输运机理也有问题的吗？
- 博主回复(2011-2-17 09:11)：可能不会很严重，但是不能排除有一些效应被忽视了。
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