季候风 相空间是位形空间的 “余切丛”，cotangent bundle, 也就是把每一位形上的余切空间（该位形所有可能广义动量
查看完整版本: 自学统计物理的理解,有时间的朋友进来来看看
phoenix 2008-9-12 00:25
只有来麻烦客栈有时间的网友了
没有老师的话,很多理解是错误的也可能跟随我很长时间
下面是我自学的理解,如果有朋友发现任何不对,不严格的地方,希望能指出来
主要是基本概念方面的,因为书上的概念定义让我很难吃透
我自己的理解:
1:系综
满足一定宏观束缚条件的系统:如(T,V,N)恒定(正则系综);(E,V,N)恒定(微正则系综),
这个系统的所有可能状态在相空间中占一个高维曲面.如果把每一个点看成是一个假象系统,
那么就得到无数个性质和原来相同的系统,彼此独立.这许许多多个系统的集合就是系综.
2:维度
系综里有2s个维度,s=N*3,N是粒子数目,相空间张开呈现一个高维正交空间
那么系统每满足一个条件就意为着系统在相空间中的超曲面秩减1,一开始和相空间的秩相同,而N是决定空间维度的,因而不影响系统的超曲面,E确定则会使秩减1,想问V(体积)确定
会使系统相空间中的超曲面如何变化?
3:刘维定理
我觉得这个定理和奇怪,数学推导我是知道的,但既然一个点代表一个假象系统(系综观点)
当然那个点随时间演化不会凭空消失啦,(如果会,那我就更奇怪了)既然这样,原系统在相空间中的那个区域的点就守恒,这样密度也不应该会变才对.但是书上证明还用了正则运动方程(就是对哈密顿量求导那个)真是不明白~
很晚了...还有几个问题还是先不说了
上面每一句话都可能有问题,希望大家不吝赐教
自学统计物理的理解,有时间的朋友进来来看看
自学了第一遍,书上太简略,学习过程中我只能强行发挥想象~~只有来麻烦客栈有时间的网友了
没有老师的话,很多理解是错误的也可能跟随我很长时间
下面是我自学的理解,如果有朋友发现任何不对,不严格的地方,希望能指出来
主要是基本概念方面的,因为书上的概念定义让我很难吃透
我自己的理解:
1:系综
满足一定宏观束缚条件的系统:如(T,V,N)恒定(正则系综);(E,V,N)恒定(微正则系综),
这个系统的所有可能状态在相空间中占一个高维曲面.如果把每一个点看成是一个假象系统,
那么就得到无数个性质和原来相同的系统,彼此独立.这许许多多个系统的集合就是系综.
2:维度
系综里有2s个维度,s=N*3,N是粒子数目,相空间张开呈现一个高维正交空间
那么系统每满足一个条件就意为着系统在相空间中的超曲面秩减1,一开始和相空间的秩相同,而N是决定空间维度的,因而不影响系统的超曲面,E确定则会使秩减1,想问V(体积)确定
会使系统相空间中的超曲面如何变化?
3:刘维定理
我觉得这个定理和奇怪,数学推导我是知道的,但既然一个点代表一个假象系统(系综观点)
当然那个点随时间演化不会凭空消失啦,(如果会,那我就更奇怪了)既然这样,原系统在相空间中的那个区域的点就守恒,这样密度也不应该会变才对.但是书上证明还用了正则运动方程(就是对哈密顿量求导那个)真是不明白~
很晚了...还有几个问题还是先不说了
上面每一句话都可能有问题,希望大家不吝赐教
星空浩淼 2008-9-12 08:25
对于系综的理解，我觉得你是准确的。一些工科老师，把系综直接等同于粒子系统，包括他们编写的教材里面，这是因为这些人物理基础不好。
想问V(体积)确定会使系统相空间中的超曲面如何变化?
－－－－－－－－－－－－－－－－－－
一般而言，每一个约束条件都会让自由度减1，因此我觉得这会使相空间中的超曲面的维度减1.
刘维定理我忘了，其他人回答
[[i] 本帖最后由 星空浩淼 于 2008-9-12 08:27 编辑 [/i]]
想问V(体积)确定会使系统相空间中的超曲面如何变化?
－－－－－－－－－－－－－－－－－－
一般而言，每一个约束条件都会让自由度减1，因此我觉得这会使相空间中的超曲面的维度减1.
刘维定理我忘了，其他人回答
[[i] 本帖最后由 星空浩淼 于 2008-9-12 08:27 编辑 [/i]]
fantadox 2008-9-12 09:33
星空兄，考虑只有几个粒子的系统，体积约束其实仅仅是一个不完整约束，并不降低其自由度。
Phoenix：关于Liouville定理，你不能认为只要这个点在演化过程中一直不消失那么体积就一定守恒。对于连续的空间区域，任何两个体积不为零的区域的点都可以建立一一对应关系。要是没有Liouville定理，那么压缩和膨胀也没什么不可以的。
[[i] 本帖最后由 fantadox 于 2008-9-12 09:39 编辑 [/i]]
Phoenix：关于Liouville定理，你不能认为只要这个点在演化过程中一直不消失那么体积就一定守恒。对于连续的空间区域，任何两个体积不为零的区域的点都可以建立一一对应关系。要是没有Liouville定理，那么压缩和膨胀也没什么不可以的。
[[i] 本帖最后由 fantadox 于 2008-9-12 09:39 编辑 [/i]]
blackhole 2008-9-12 10:34
[quote]原帖由 [i]phoenix[/i] 于 2008-9-12 00:25 发表 [url=http://fxkz.net/redirect.php?
goto=findpost&pid=10739&ptid=1166][img]http://fxkz.net/images/common/back.gif[/img][/url]
这个系统的所有可能状态在相空间中占一个高维曲面. [/quote]
即使是这样，仍可认为系统状态可以在曲面附近有所偏离。例如基本的微正则系综，处理时也让能量有所
变动。这样才能在刘维定理中谈论点密度。
[quote]原帖由 [i]phoenix[/i] 于 2008-9-12 00:25 发表 [url=http://fxkz.net/redirect.php?
goto=findpost&pid=10739&ptid=1166][img]http://fxkz.net/images/common/back.gif[/img][/url]
相空间张开呈现一个高维正交空间[/quote]
相空间谈论正交与否没有意义。这点季候风知道。
[quote]原帖由 [i]phoenix[/i] 于 2008-9-12 00:25 发表 [url=http://fxkz.net/redirect.php?
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V(体积)确定会使系统相空间中的超曲面如何变化 [/quote]
V确定不是一个对粒子状态参量的约束，如fantadox所说。
[quote]原帖由 [i]phoenix[/i] 于 2008-9-12 00:25 发表 [url=http://fxkz.net/redirect.php?
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既然一个点代表一个假象系统(系综观点)当然那个点随时间演化不会凭空消失啦,(如果会,那我就更奇怪了)既然这样,原系统在相空间中的那个区域的点就守恒,这样密度也不应该会变才对. [/quote]
没看懂。可能fantadox回答了你的问题。
[quote]原帖由 [i]星空浩淼[/i] 于 2008-9-12 08:25 发表 [url=http://fxkz.net/redirect.php?goto=findpost&pid=10745&ptid=1166][img]http://fxkz.net/images/common/back.gif[/img][/url]
一些工科老师，把系综直接等同于粒子系统，[/quote]
你是说系综应该是大量粒子系统的集合吗？
goto=findpost&pid=10739&ptid=1166][img]http://fxkz.net/images/common/back.gif[/img][/url]
这个系统的所有可能状态在相空间中占一个高维曲面. [/quote]
即使是这样，仍可认为系统状态可以在曲面附近有所偏离。例如基本的微正则系综，处理时也让能量有所
变动。这样才能在刘维定理中谈论点密度。
[quote]原帖由 [i]phoenix[/i] 于 2008-9-12 00:25 发表 [url=http://fxkz.net/redirect.php?
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相空间张开呈现一个高维正交空间[/quote]
相空间谈论正交与否没有意义。这点季候风知道。
[quote]原帖由 [i]phoenix[/i] 于 2008-9-12 00:25 发表 [url=http://fxkz.net/redirect.php?
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V(体积)确定会使系统相空间中的超曲面如何变化 [/quote]
V确定不是一个对粒子状态参量的约束，如fantadox所说。
[quote]原帖由 [i]phoenix[/i] 于 2008-9-12 00:25 发表 [url=http://fxkz.net/redirect.php?
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既然一个点代表一个假象系统(系综观点)当然那个点随时间演化不会凭空消失啦,(如果会,那我就更奇怪了)既然这样,原系统在相空间中的那个区域的点就守恒,这样密度也不应该会变才对. [/quote]
没看懂。可能fantadox回答了你的问题。
[quote]原帖由 [i]星空浩淼[/i] 于 2008-9-12 08:25 发表 [url=http://fxkz.net/redirect.php?goto=findpost&pid=10745&ptid=1166][img]http://fxkz.net/images/common/back.gif[/img][/url]
一些工科老师，把系综直接等同于粒子系统，[/quote]
你是说系综应该是大量粒子系统的集合吗？
phoenix 2008-9-12 23:52
:handshake
弄了半天,还是不会引用各位的发言,直接copy了
星空浩淼:
我也希望我对系综理解是对的,不然后面我就错的惨了.:)
书上讲的真的很简略,让初学者觉得书上定义的那些概念还有游走的空间
blackhole:
相空间谈论正交没意义?很想了解一下,不知道季老师有没有看到这个帖子,不过我也怕这个概念不容易用本科数学解答,那样反而给别人增加负担.
但是就我的理解应该是可以的,因为我觉得就相空间取动量和位置这两个参量做为各个轴的基而言,每个不同的动量和位置都是无关的,或者说它们能够完全独立的变化,从这种意义上看不是正交的吗?相空间的间隔是可以定义的吧,也可以划出两条理想的相轨道,一根轨道沿着某一个位置轴,一根沿一个动量轴.这样是不是可以谈论正交呢?
如果说正交没意义的话,是不是就可以说相空间是度量空间,而不是可以定义角度的内积空间?
fantadox:
觉得你的思路很清晰.经典连续的情况我也觉得应该就是你说的那样,但是用量子态的情况呢?这里我也犯糊涂了,比如说在经典近似的情况下,可以除以hbar^r来得到一定范围的一个量子态,那么这里是不是就相对而言"离散化"了呢?而这样一个离散化的可数系统,就不存在你说的那个问题了
弄了半天,还是不会引用各位的发言,直接copy了
星空浩淼:
我也希望我对系综理解是对的,不然后面我就错的惨了.:)
书上讲的真的很简略,让初学者觉得书上定义的那些概念还有游走的空间
blackhole:
相空间谈论正交没意义?很想了解一下,不知道季老师有没有看到这个帖子,不过我也怕这个概念不容易用本科数学解答,那样反而给别人增加负担.
但是就我的理解应该是可以的,因为我觉得就相空间取动量和位置这两个参量做为各个轴的基而言,每个不同的动量和位置都是无关的,或者说它们能够完全独立的变化,从这种意义上看不是正交的吗?相空间的间隔是可以定义的吧,也可以划出两条理想的相轨道,一根轨道沿着某一个位置轴,一根沿一个动量轴.这样是不是可以谈论正交呢?
如果说正交没意义的话,是不是就可以说相空间是度量空间,而不是可以定义角度的内积空间?
fantadox:
觉得你的思路很清晰.经典连续的情况我也觉得应该就是你说的那样,但是用量子态的情况呢?这里我也犯糊涂了,比如说在经典近似的情况下,可以除以hbar^r来得到一定范围的一个量子态,那么这里是不是就相对而言"离散化"了呢?而这样一个离散化的可数系统,就不存在你说的那个问题了
星空浩淼 2008-9-13 08:02
你是说系综应该是大量粒子系统的集合吗？
------------------------------------
楼主这点解释得比较清楚：系统有多种状态，所有可能状态下的系统构成的集合，即是系综。为了便于理解，不严格地简述为：系综对应系统处于所有可能状态下的集合
------------------------------------
楼主这点解释得比较清楚：系统有多种状态，所有可能状态下的系统构成的集合，即是系综。为了便于理解，不严格地简述为：系综对应系统处于所有可能状态下的集合
blackhole 2008-9-13 11:08
就相空间取动量和位置这两个参量做为各个轴的基而言,每个不同的动量和位置都是无关的,或者说它们能够完全独立的变化,从这种意义上看不是正交的吗?相空间的间隔是可以定义的吧,也可以划出两条理想的相轨道,一根轨道沿着某一个位置轴,一根沿一个动量轴.这样是不是可以谈论正交呢?
如果说正交没意义的话,是不是就可以说相空间是度量空间,而不是可以定义角度的内积空间?
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
这么说吧。相空间中两个点的“距离”是没有意义的。有谁使用过相关概念吗？“正交”也是。
甚至，相空间可能连线性空间都谈不上，个人观点。
比如，一个一维运动的质点，即使使用的是直角坐标系，
把其状态（x1,p1)与状态（x2,p2)相加，得到状态（x1+x2,p1+p2)，
这种话有意义吗？这里应该没有态叠加原理吧？
具体等高手解答吧。数学我也不懂。
楼主这点解释得比较清楚：系统有多种状态，所有可能状态下的系统构成的集合
～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～
就是说，必须强调“所有可能状态”。嗯。
如果说正交没意义的话,是不是就可以说相空间是度量空间,而不是可以定义角度的内积空间?
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
这么说吧。相空间中两个点的“距离”是没有意义的。有谁使用过相关概念吗？“正交”也是。
甚至，相空间可能连线性空间都谈不上，个人观点。
比如，一个一维运动的质点，即使使用的是直角坐标系，
把其状态（x1,p1)与状态（x2,p2)相加，得到状态（x1+x2,p1+p2)，
这种话有意义吗？这里应该没有态叠加原理吧？
具体等高手解答吧。数学我也不懂。
楼主这点解释得比较清楚：系统有多种状态，所有可能状态下的系统构成的集合
～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～
就是说，必须强调“所有可能状态”。嗯。
季候风 2008-9-13 11:30
blackhole 说的不错。相空间是位形空间的 “余切丛”，cotangent bundle, 也就是把每一位形上的余切空间（该位形所有可能广义动量组成的空间）并在一起。这个空间显然没有自然的线性结构，不同位形的动量谈论加法没有意义。余切丛上最典型的结构是辛结构，也就是动量与位置的共轭关系。一般来说也没有黎曼结构（广义动量之间的内积没有意义）。 “正交” 是线性空间的概念，不是你所理解的 “无关性”。相空间也没有自然的距离结构。它有自然的测度，就是 Liouville 测度。
[[i] 本帖最后由 季候风 于 2008-9-13 11:32 编辑 [/i]]
[[i] 本帖最后由 季候风 于 2008-9-13 11:32 编辑 [/i]]
星空浩淼 2008-9-13 12:01
就是说，必须强调“所有可能状态”。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
恩呐。系综平均，就是对所有的这些状态的平均，它跟利用路径积分表示的平均类似；而最可几平衡态下的平均，跟最小作用量原理下的平均类似。路径积分中，不仅包含最小作用量下的贡献，而且包括一切可能过程下的贡献，只是随着作用量增大，贡献呈指数衰减。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
恩呐。系综平均，就是对所有的这些状态的平均，它跟利用路径积分表示的平均类似；而最可几平衡态下的平均，跟最小作用量原理下的平均类似。路径积分中，不仅包含最小作用量下的贡献，而且包括一切可能过程下的贡献，只是随着作用量增大，贡献呈指数衰减。
blackhole 2008-9-13 12:12
这个空间显然没有自然的线性结构，不同位形的动量谈论加法没有意义。余切丛上最典型的结构是辛结构，
～～～～～～～～～～～～～～
耶！看来我说“相空间可能连线性空间都谈不上”是对的。看来我还是有一定的数学感觉的。
另：是不是辛空间与线性空间完全是两码事？总是看到一个“辛”字就发怵。
～～～～～～～～～～～～～～
耶！看来我说“相空间可能连线性空间都谈不上”是对的。看来我还是有一定的数学感觉的。
另：是不是辛空间与线性空间完全是两码事？总是看到一个“辛”字就发怵。
季候风 2008-9-13 14:33
几何里的对象通常是光滑流形，每一点有一个 “切空间”。如果以光滑的方式在每一点的切空间上指定一个[color=Red]正定对称双线性型[/color]，流形就获得了一个 “黎曼度量”； 如果以光滑的方式在每一点的切空间上指定一个[color=DarkOrange]非退化反对称双线性型[/color]，流形就[color=Blue]几乎[/color]获得了一个 “辛结构”，说[color=Blue]几乎[/color]是因为这个 [color=Magenta]2-形式[/color] 还需要满足 “闭” 条件。
从这个意义上说，在线性空间的范畴，也可以谈论 “辛”，就是[color=DarkOrange]非退化反对称双线性型[/color]。但我觉得这个在物理上其实没有意义。
从这个意义上说，在线性空间的范畴，也可以谈论 “辛”，就是[color=DarkOrange]非退化反对称双线性型[/color]。但我觉得这个在物理上其实没有意义。
phoenix 2008-9-13 23:36
余切丛,这个概念以前听过,记得是杨振宁的一偏文章,记得好像是说什么场和丛术语的对应来着,以前觉得太飘渺,今天终于知道我已经触摸到了它的一角,happy
看过一本高等代数书,记得最后一部分就是在线性空间里谈论辛空间,当时看懂了却不晓得那么怪得东西有什么用,现在看到什么都想不起来了
感觉现在努力突破的很多基础物理中的概念,到了以后某个阶段都会被更广义普遍的理论含盖住,不过还是很难想象会有含盖住一切物理理论的数学理论,也许是因为数学是在人脑中运行的,满足某些定律的限制吧(瞎想的)
看过一本高等代数书,记得最后一部分就是在线性空间里谈论辛空间,当时看懂了却不晓得那么怪得东西有什么用,现在看到什么都想不起来了
感觉现在努力突破的很多基础物理中的概念,到了以后某个阶段都会被更广义普遍的理论含盖住,不过还是很难想象会有含盖住一切物理理论的数学理论,也许是因为数学是在人脑中运行的,满足某些定律的限制吧(瞎想的)
Nixom 2008-9-29 09:16
刘维定理我也觉得奇怪,不知为何需要这个定理,仅仅是为了证明几率函数与能量E有关吗?
phoenix 2008-9-30 22:44
现在我觉得我比以前弄懂了不少
可能和"纤维丛"这个概念有关
刘维定理的dp/dt=0
就是说某个相体积内系统随时间演化,演化来演化去,也不会汇聚在一起
就像纤维之间是不相交的
(其实我完全没看过纤维从定义,只是从8楼"余切丛"
自己猜的)
这里的关键是要注意各个系统是"编了号"的,允许我们能够进行追踪
当然这样说很不严格,具体还得好好自己去理解数学
而其中推导刘维定理过程中用到的连续性方程
暂时不会编辑公式,就是那个流入一个相体元的系统=该相体元内系统的增量
只是说明系统数(或者说非系综观点原系统系统对应某个相体元的态数目)是守恒的
必须加上正则运动方程,才能证明刘维定理
可能和"纤维丛"这个概念有关
刘维定理的dp/dt=0
就是说某个相体积内系统随时间演化,演化来演化去,也不会汇聚在一起
就像纤维之间是不相交的
(其实我完全没看过纤维从定义,只是从8楼"余切丛"
自己猜的)
这里的关键是要注意各个系统是"编了号"的,允许我们能够进行追踪
当然这样说很不严格,具体还得好好自己去理解数学
而其中推导刘维定理过程中用到的连续性方程
暂时不会编辑公式,就是那个流入一个相体元的系统=该相体元内系统的增量
只是说明系统数(或者说非系综观点原系统系统对应某个相体元的态数目)是守恒的
必须加上正则运动方程,才能证明刘维定理
季候风 2008-10-1 00:59
Liouville 定理的物理内容是是空的。
如果有一个系综，记状态 (q,p) 邻近某一族状态的集合为 A, 这族状态在时间 t _0出现的概率为 [tex] P_{t_0} (A_{t_0})[/tex] , 那么在下一时刻 t_1, 这些状态演化成状态集合 [tex]A_{t_1}[/tex], 它们在这个时刻出现的概率 [tex] P_{t_1} (A_{t_1}) [/tex] 应该同 t_0 时刻的概率相同。因为一旦系统在 t_0 处于 A 中一个状态，那么系统在 t_1 时刻就一定处于 [tex] A_{t_1}[/tex] 中一个状态。
用概率论的语言来说，系统的状态是随机过程，任一时刻系统的态是一个随机变量。基本事件就是每一次实验。随机过程一般记为 [tex] X_t(omega) [/tex], 其中 [tex]omega[/tex] 是基本事件。随机过程经常用另一种观点描述：如果固定基本事件（即，只谈论一次实验），那么 [tex] X_t(omega) [/tex] 成为时间 t 的一个函数（系统在相空间里的演化路径） ，所以 {基本事件} 这个集合跟 { 演化路径} 这个集合1-1对应。概率，本来是定义在前一个集合上，现在可以移植到后一个集合上，用 Dirac 的话说，可以谈论 “运动态” 的几率。如果系统从一个状态演化到另一个状态，那么这两个状态属于同一个 “运动态”，从而具有同等几率。这是对第一段的概率论解释。
现在，我们有几率不变 [tex] P_t (A_t) = P(A) [/tex]. 如果这个系综是连续分布的，就应该可以谈论 “几率密度”。密度是相对于体积的，在这里，就是 “相体积” V。 那么密度就定义为
[tex] rho_t(q_t,p_t) = lim_{A_tdownarrow {(q_t,p_t)}} frac{P_t(A_t)}{V(A_t)} [/tex] .
或者，假设 A 为无穷小临域，
[tex] P_t(A_t) = rho_t (q_t,p_t) V(A_t) + textrm{higher order infinitesimal} [/tex]
左边是常数（几率守恒），右边对时间求导，
[tex] frac{drho}{dt} V(A_t) + rho , frac{d [V(A_t)]}{dt} [/tex].
这里就要用一个几何性质，即系统演化保持相体积， [tex] V(A_t) = V(A) [/tex], 上式第二项为零。所以密度随时间演化必须满足条件
[tex] frac{drho}{dt} =0, [/tex]
或者，更明显地写出所有的变量，这实际上是一个偏微分方程
[tex] frac{partial rho}{partial t} + {rho, H} = 0 [/tex]
所以，Livioulle 定理无非是 “几率不变+相体积不变”。这两个都是数学结论。这里唯一的物理就是 “系综” 这种模型，以及 “密度” 的引进。
[[i] 本帖最后由 季候风 于 2008-10-1 01:02 编辑 [/i]]
如果有一个系综，记状态 (q,p) 邻近某一族状态的集合为 A, 这族状态在时间 t _0出现的概率为 [tex] P_{t_0} (A_{t_0})[/tex] , 那么在下一时刻 t_1, 这些状态演化成状态集合 [tex]A_{t_1}[/tex], 它们在这个时刻出现的概率 [tex] P_{t_1} (A_{t_1}) [/tex] 应该同 t_0 时刻的概率相同。因为一旦系统在 t_0 处于 A 中一个状态，那么系统在 t_1 时刻就一定处于 [tex] A_{t_1}[/tex] 中一个状态。
用概率论的语言来说，系统的状态是随机过程，任一时刻系统的态是一个随机变量。基本事件就是每一次实验。随机过程一般记为 [tex] X_t(omega) [/tex], 其中 [tex]omega[/tex] 是基本事件。随机过程经常用另一种观点描述：如果固定基本事件（即，只谈论一次实验），那么 [tex] X_t(omega) [/tex] 成为时间 t 的一个函数（系统在相空间里的演化路径） ，所以 {基本事件} 这个集合跟 { 演化路径} 这个集合1-1对应。概率，本来是定义在前一个集合上，现在可以移植到后一个集合上，用 Dirac 的话说，可以谈论 “运动态” 的几率。如果系统从一个状态演化到另一个状态，那么这两个状态属于同一个 “运动态”，从而具有同等几率。这是对第一段的概率论解释。
现在，我们有几率不变 [tex] P_t (A_t) = P(A) [/tex]. 如果这个系综是连续分布的，就应该可以谈论 “几率密度”。密度是相对于体积的，在这里，就是 “相体积” V。 那么密度就定义为
[tex] rho_t(q_t,p_t) = lim_{A_tdownarrow {(q_t,p_t)}} frac{P_t(A_t)}{V(A_t)} [/tex] .
或者，假设 A 为无穷小临域，
[tex] P_t(A_t) = rho_t (q_t,p_t) V(A_t) + textrm{higher order infinitesimal} [/tex]
左边是常数（几率守恒），右边对时间求导，
[tex] frac{drho}{dt} V(A_t) + rho , frac{d [V(A_t)]}{dt} [/tex].
这里就要用一个几何性质，即系统演化保持相体积， [tex] V(A_t) = V(A) [/tex], 上式第二项为零。所以密度随时间演化必须满足条件
[tex] frac{drho}{dt} =0, [/tex]
或者，更明显地写出所有的变量，这实际上是一个偏微分方程
[tex] frac{partial rho}{partial t} + {rho, H} = 0 [/tex]
所以，Livioulle 定理无非是 “几率不变+相体积不变”。这两个都是数学结论。这里唯一的物理就是 “系综” 这种模型，以及 “密度” 的引进。
[[i] 本帖最后由 季候风 于 2008-10-1 01:02 编辑 [/i]]
blackhole 2008-10-3 19:43
几何性质，即系统演化保持相体积，
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
这个不算物理吗？
一直没这样想过，因为毕竟刘维尔定理的通常证明中用到了Hamilton方程。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
这个不算物理吗？
一直没这样想过，因为毕竟刘维尔定理的通常证明中用到了Hamilton方程。
季候风 2008-10-3 21:22
相体积不变当然是对系统演化不变，肯定要用到 Hamilton 方程。我是说没有引进新的物理。
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