能量为E 的布洛赫波函数 布洛赫波矢

2第00254年卷2第月2 期 大学物理

COLLEGE PHYSICS V01．24 No．2

Feb．2005

Kronig—Penney模型中的电子波函数

祝 娅

(1 铜仁师范高等专科学校物理系，贵州铜仁

，

田 强

554300；2．北京师范大学物理系，北京 100875)

摘要：利用波函数及其导数的连续性条件，讨论Kronig—Penney模型中的电子波函数，得到Kmnig—Pen ey模型相邻周

期中波函数的转移矩阵，通过转移矩阵分析得到Kronig—Penney模型中的电子波函数

，

并进行了讨论．

关键词：Kronig—Penney模型；波函数；转移矩阵

中图分类号：0 481 文献标识码：A 文章编号：1000—0712(2005)02—0038—02

Kronig—Penney模型是由方形势阱势垒周期

排列构成的晶体势场模型n。]，是固体物理学中学

习能带理论的一个基本模型；同时，Kronig—Penney

模型还广泛地用于研究无序固体中的局域化现象、

超晶格和准周期超晶格的物理性质等 ]．

布洛赫定理给出周期势场中电子波函数的一般

性质，指出周期势场中的电子波函数是周期调幅平

面波，称为布洛赫波．在固体物理学中，由周期势场

的平移对称性，可得到布洛赫定理的一般证明，并给

出了布洛赫波即周期调幅平面波的示意图 ]．

本文直接讨论Kronig—Penney模型中的电子

波函数，利用波函数及其导数的连续性条件，得到

Kronig—Penney模型相邻周期中波函数的转移矩

阵，通过转移矩阵分析得到Kronig—Penney模型中

的电子波函数．

1 Kronig—Penney模型中波函数的量子力

学讨论

晶体势场的Kronig—Penney模型如图1所示．

设每个势阱的宽度为b，势垒宽度为c，势场的周期

是n=b+c，取势阱的势能为零，势垒的高度为

，

则周期势场为

f0， n+c<z<( +1)n

V( ) 1 v。， ( +1)n< <( +1)n+c

(1)

定态薛定谔方程为

一

+V( ( )= ) (2)

我们分别在势阱与势垒中求解定态薛定谔方程．由

(n-1)a na ?la．i-c +1)口

图1 Kronig—Penney模型

于势阱与势垒中势函数分别为常量，故能量本征值

为E的本征波函数一般解可以表示为

势阱中： (z)：A e。K‘ 一 ’+B e一。K‘ 一 ’(3)

势垒中： ( )：C e‘ ‘⋯’+D e一‘ ’‘ 一 ’(4)

其中 n< <( +1)n，K =2mE ，K”=2

(E—V。) ．

利用波函数及其导数在势垒左沿( =( +

1)n)和右沿( =( +1)n+c)的连续性条件，建立

与 +。、 +。与 +。之间的联系，进一步得到

A 、B 、C +。、D +。等之间的关系：

A e +B e。。‰=C⋯+D (5)

A Ke 一B Ke =C +lK 一D +lK (6)

A⋯e 4-B川e =C e 4-D⋯e (7)

A +lKei 一B

+ l

Ke—i = C

+ l

K 一 +lK e—i

(8)

消去C +。和D +。，得到：

A川 A 1[(y+1) ei 一(y一1) e ei 4-

B ’_e f)e。。 ⋯’ (9)

。=A ⋯)+B 1

·

收稿日期：2004—06—01

基金项目：教育部高等学校骨干教师资助计划项目；教育部国家理科基地创建名牌课程项目

作者简介：祝娅(1954一)，女，江西广丰人，铜仁师范高等专科学校物理系副教授，北京师范大学高级访问学者，主要从事大学物理教学与研

究．

第2期 祝娅等：Kronig—Penney模型中的电子波函数 39

[()，+1) e 一()，一1) e‘ ’ ]e—l (a-c)

(10)

其中)，= K

．

式(9)和(10)可以写作 其中

R =

称为转移矩阵，它表示相邻周期中波函数之间的关

系．

在自由电子近似下，V。一0，K 一K，)，一1，这

时转移矩阵R为

(13)

众所周知，能量为E 的布洛赫波函数，是波矢

k确定的扩展波函数，该状态的波矢在实空间内处

处相同．布洛赫波函数可记为 (z)，波矢k也称

为布洛赫波矢．E与k之间的关系由具体的物理系

统确定，记为E(k)，称为能带函数．一般情况下，式

(4)中的K 不是能量为E 的布洛赫态波矢，式(3)

中的K 也不是能量为E的布洛赫态波矢；它们是本

征波函数中与能量E有关的参数．

下面由转移矩阵R和周期性边界条件，具体确

定能量为E的电子态的波函数和波矢．

注意到转移矩阵R(式(12))与n无关，显然有

⋯

N 是Kronig—Penney模型中的总周期数．

周期性边界条件

(z)= + (z) (16)

≯ (z)=≯ + (z) (17)

要求[盒： ]=[会：]，由式c-5 可见

R

【 B J =[【 AB nJ]

即

【 j是矩阵R 的特征值为1的特征向量．

⋯(12)

设矩阵R 的特征值是r．矩阵的整数次方具有

如下性质¨]：当r是矩阵R 的特征值时，则r ，⋯，

r 就分别是R ，⋯，R 的特征值．所以，由式(18 )有

r =1， r=e (19)

式中s是整数．即

[会：：：]=r[会：]=e [会：] c2。

记

志 (21)

为布洛赫波矢，则式(20)可改写为

即势阱中的波函数(3)为

+ 。

(z)=eika (z) (23)

同理，势垒中的波函数(4)为

≯ +。(z)=eila≯ (z) (24)

则Kronig—Penney模型中的波函数 (z)可统一

记作

(z+a)=eika (z) (25)

波函数(25)又可以写作周期调幅平面波的形式，即

(z)=“ (z)e‘h (26)

其中

cz ： A i[K(．r-ha)-k．a：]-n -

一

三 辜；

(27)

显然U (z)：U (z+口)．

3 结论和讨论

周期势场具有平移对称性，布洛赫定理给出周

期势场中的电子波函数是周期调幅平面波(称为布

洛赫波)，这由平移对称性可以得到一般的证明，反

映了布洛赫波与平移对称性之间的本质联系．

e

一

”

e ●

一

e

2 1 一

、1， 一． 一)．

+

42 大学物理 第24卷

条纹的中心位置，提高了单缝衍射法测量光波波长

的精度．另外，该方法也可应用于其他的通过对干

涉、衍射条纹进行处理的相关物理量的测量，可见最

小二乘法是一种提高光学测量精度的行之有效的

方法．

参考文献：

[1] 程守洙，江之永．普通物理学第三册[M]．北京：高等

The application of the least

教育出版社，1999．214～222．

林木欣．近代物理实验教程[M]．北京：科学出版社，

1999．20～30．

张立．大学物理实验[M]．上海：上海交通大学出版社，

1988．152～ 156．

square method in measuring

wavelength of diffraction by a slit

HUA Shi—qun

(Faculty of Science，Jiangsu University，Zhenjiang，Jiangsu 212013，China)

Abstract：In the experiment of Fraunhofer diffraction by a slit，a method using the least square to fit qua—

dratic curves of the intensity distribution is proposed．Therefore，the accurate position of diffraction fringes is de—

termined．By comparing the results of two different data—processing methods，it is verified that the least square

method can be used to increase the measuring precision of wavelength in Fraunhofer diffraction．

Key words：least square method；diffraction；wavelength；curve fitting

(上袋39贝)

本文从Kronig—Penney模型周期势场中入射

波函数与反射波函数，以及应满足的波函数及其导

数的连续性条件，具体讨论得到了Kronig—Penney

模型周期势场中的电子波函数，它是一个周期调幅

平面波函数．

参考文献：

[1] Kronig R de L，Penney W G．Quantum mechanics of

electrons in crystal lattices[J]．Proc Royal Soc London，

1931，A130：499．

方俊鑫，陆栋．固体物理学(上册)[M]．上海：上海科学

技术出版社，1980．200～209．

Hennig D，Tsironis G P．W ave transmission in nonlinear

lattices[J]．Physics Reports，1999，307：333．

邓长寿，雷衍天，周泰文．线性代数[M]．北京：中国铁

道出版社，1996．174．

The wave function in Kronig ——Penney model

ZHU Ya ，TIAN Qiang2

(1．Department of Physics，Tongren Teachers College，Tongren，Guizhou 554300，China；

2．Department of Physics，Beijing Normal University，Beijing 100875，China)

Abstract：Based on the continuity of the wave function and its derivative，the wave function in Kronig—

Penney model is analysed．W e obtain a transfer matrix connecting the amplitudes of the transmitted and reflect—

ed wave function through a barrier．Then the wave function in Kronig—Penney model is derived and discussed。

Key words：Kronig—Penney model；wave function；transfer matrix