高斯曲率与平均曲率-高斯映射 g: S → S2 是把曲面 S 上的点 r(u,v) 对应到单位球面 S2 上的点 n(u,v) 的映射

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微分几何

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内容：高斯曲率、平均曲率、高斯映射、第三基本形式、极小曲面、常高斯曲率曲面; 重点：高斯曲率与平均曲率的计算. 3.4 高斯曲率与平均曲率-高斯曲率与平均曲率的 ...

3.4高斯曲率与平均曲率

• 内容：高斯曲率、平均曲率、高斯映射、第三基本形式、极小曲面、常高斯曲率曲面
• 重点：高斯曲率与平均曲率的计算

3.4 高斯曲率与平均曲率-高斯曲率与平均曲率的概念

• 曲面的两个主曲率之积 K = k₁k₂ 叫曲面的高斯曲率，两个主曲率的平均值 H = ½(k₁ + k₂) 叫曲面的平均曲率．
• 椭圆点即高斯曲率大于零的点，双曲点即高斯曲率小于零的点，抛物点即高斯曲率等于零的点．

3.4 高斯曲率与平均曲率-旋转常高斯曲率曲面

• 设旋转曲面 S: r = (ucosv, usinv, y(u))，这是一张由 Oxz 平面上的曲线 z = y (x) 绕 z 轴旋转而成的曲面．试求y 使得 S 的高斯曲率 K 为常数．
• 详情

z = y (x)
z
x
y
练习题
1．计算球面

r(u,v) = (Rcosucosv, Rcosusinv, Rsinu)

的高斯曲率和平均曲率．
2．计算曲面

r(u,v) = (acoshucosv, acoshusinv, bu)

的高斯曲率和平均曲率，并证明当 a = b 时平均曲率为零．
3．计算正螺面

r(u,v) = (aucosv, ausinv, bv)

的高斯曲率和平均曲率．

3.4 高斯曲率与平均曲率-高斯映射

• 设曲面 S 的参数表示为 r = r(u,v), (u,v)∈G，它的单位法向量为 n(u,v) ．则曲面 S 的高斯映射 g: S → S² 是把曲面 S 上的点 r(u,v) 对应到单位球面 S² 上的点 n(u,v) 的映射．

S
S²
n(u,v)
n(u,v)
g

3.4 高斯曲率与平均曲率-高斯映射

• 高斯映射的参数表示为 g₀ = g₀(u,v)，其中

g₀(u,v) = g(r(u,v)) = n(u,v).

我们也把 g₀ 叫曲面 S 的高斯映射或球面表示．
S
S²
n(u,v)
n(u,v)
g
r
g₀
(u,v)

3.4 高斯曲率与平均曲率-高斯映射

• 因为 g₀ 是从 G 到 R³ 的一个映射，因此是一张参数曲面，但不一定是正则的．

3.4 高斯曲率与平均曲率-第三基本形式

• 曲面的第三基本形式定义为 III = dn ⋅ dn．
• 将第三基本形式写成

III = edu² + 2f dudv + gdv²，

则有

e = n_u ⋅ n_u，f = n_u ⋅ n_v，g = n_v ⋅ n_v．

• 定理. 设有曲面 S: r = r(u,v)，其平均曲率为 H，高斯曲率为 K，则有

III – 2H II + K I = 0.

• 看证明

3.4 高斯曲率与平均曲率-极小曲面

• 平均曲率为零的曲面叫极小曲面．
• 旋转极小曲面是平面或者是悬链面（见下图）．
• 看证明

3.4 高斯曲率与平均曲率-悬链面

• 例. 悬链面（如下图）是旋转极小曲面．

• 例. 正螺面（如下图）

r = (aucosv, ausinv, bv)

是极小曲面，但不是旋转面．

3.4 高斯曲率与平均曲率-正螺面

3.4 高斯曲率与平均曲率-正螺面与悬链面等距

• 下面的动画演示了从正螺面等距变成悬链面的过程：

正螺面
悬链面
练习题
1．证明极小曲面上的点都是双曲点或平点．
2．求旋转曲面 z = f (r) 的高斯曲率与平均曲率，这里 r = (x² + y²)^1/2．
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