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1995 年 初 的 一 天 晚 上， 我 在 家
看 晚 间 电 视 新 闻。 突 然， 我 听 到 自 己 的 名 字， 大 吃 一 惊。 原 来 加 利 福 尼 亚 发 一 种 彩 票， 头 彩 300 万
美 元， 若 无 人 中 彩 的 话， 可 以 积 累 到 下 一 次 抽 彩。 我 从 前 的 一 个 学 生， 名 Robert Uomini， 中 了 头
彩 美 金 2,200 万 元。 他 曾 选 过 我 的 本 科 课， 当 时 还 对 微 分 几 何 很 有 兴 趣。 他 很 念 旧， 以 100 万 美
元 捐 赠 加 州 大 学， 设 立 "陈 省 身 讲 座"。 学 校 决 定， 以 此 讲 座 邀 请 名 学 者 为 访 问 教 授。 第 一 位 应 邀
的 为 英 国 数 学 家 Sir Michael Atiyah。 他 到 中 国 不 止 一 次。 他 是 英 国 影 响 最 大 的 数 学 家， 剑 桥
大 学 三 一 学 院 的 院 长， 卸 任 的 英 国 皇 家 协 会 会 长。 Atiyah 很 会 讲 学， 也 很 博 学， 他 的 报 告 有 很 大
的 吸 引 力。 他 作 了 八 讲， 讲 题 是 "拓 扑 与 量 子 场 论"。
这 是 当 前 一 个 热 门 的 课 题， 把 高 深 的 数 学 和 物 理 联 系 起 来 了， 导 出 了 深 刻 的 结 果。 现 在 拓 扑 在 物 理 上 有 非 常 重 要 的 应 用， 这 跟 杨 振 宁 的 Yang-Mills 场 方 程 有 很 密 切 的 关 系。 杨 先 生 喜 欢 说， 你 们 数 学 家 写 的 东 西， 我 们 学 物 理 的 人 看 不 懂， 等 于 另 外 一 种 文 字。 我 想 我 们 搞 数 学 的 人 有 责 任 把 我 们 的 结 果， 写 成 不 是 本 行 的 人 也 至 少 知 道 你 讲 的 是 怎 么 一 回 事。 物 理 学、 量 子 力 学， 尤 其 是 量 子 场 论 与 数 学 的 关 系 其 实 并 不 复 杂。 说 到 数 学 的 应 用， 讲 一 下 矢 量 空 间， Euclid 空 间 就 是 一 个 矢 量 空 间。 再 进 一 步， 多 个 矢 量 空 间 构 成 一 个 拓 扑 空 间， 这 就 是 所 谓 的 矢 量 丛， 即 一 束 这 样 的 空 间。 这 样 的 空 间 有 一 些 简 单 的 性 质。 比 如 说， 局 部 来 讲， 这 种 矢 量 空 间 是 一 个 chart， 是 一 个 集， 可 用 坐 标 来 表 示。 结 果 发 现 矢 量 丛 这 种 空 间 在 物 理 上 很 有 用。 物 理 学 的 一 个 基 本 观 念 是 "场"。 最 简 单 的 场 是 电 磁 场， 尤 为 近 代 生 活 的 一 部 分。 电 磁 场 的 "势" 适 合 Maxwell 方 程。 Hermann Weyl 第 一 个 看 出 这 个 势 不 是 一 个 确 定 的 函 数。 它 可 以 变 化。 这 在 物 理 上 叫 做 规 范 (gauge， 不 完 全 确 定 的， 可 以 变 化 的)， 这 就 是 物 理 上 规 范 场 论 的 第 一 个 情 形。
物 理 上 有 4 种 场： 电 磁 场、 引 力 场、 强 作 用 场 和 弱 作 用 场。 现 在 知 道， 这 些 场 都 是 规 范 场。 即 数 学 系 上 是 一 束 矢 量 空 间， 用 一 个 线 性 群 来 缝 住 的。 电 磁 场 的 重 要 推 广， 是 Yang-Mills 的 规 范 场 论。 杨 先 生 的 伟 大 贡 献 就 是 在 SU(2) (special unitary group in two variables) 情 形 下 得 到 物 理 意 义 明 确 的 规 范 场， 即 同 位 旋 (isospin) 规 范 场， 这 种 将 数 学 现 象 给 以 物 理 的 解 释， 是 件 了 不 起 的 工 作， 因 为 以 往 的 Maxwell 场 论 是 一 个 可 交 换 的 群。 现 在 变 为 在 SU(2)， 群 是 不 能 交 换 的。 而 实 际 上， 物 理 中 找 到 了 这 样 的 场， 这 是 科 学 上 一 个 伟 大 的 发 展。 数 学 家 可 以 自 豪 的 是， 物 理 学 家 所 需 的 几 何 观 念 和 工 具， 在 数 学 上 已 经 发 展 了。
杨 先 生 之 所 以 有 这 么 大 的 成 就， 其 中 一 个 很 重 要 的、 很 了 不 起 的 原 因 是 除 了 物 理 的 感 觉 以 外， 他 有 很 坚 实 的 数 学 基 础。 他 能 够 在 这 大 堆 复 杂 的 方 程 中 看 出 某 些 规 律， 它 们 具 有 某 种 基 本 的 数 学 性 质。 Yang-Mills 方 程 的 数 学 基 础 是 纤 维 丛。 这 种 观 念 Dirac 就 曾 有 过。 Dirac 的 一 篇 基 本 论 文 中 就 讲 到 这 种 数 学。 但 Dirac 没 有 数 学 的 工 具。 所 以 他 在 讲 这 种 观 念 时， 不 但 数 学 家 不 懂， 就 连 物 理 学 家 也 不 懂。 不 过， 其 中 有 一 个 到 现 在 还 未 解 决 的 物 理 含 义， 即 有 否 磁 单 极 (magnetic monople)。 可 能 会 有。 就 是 说， 有 否 这 样 的 场， 它 的 曲 率 不 等 于 0 (曲 率 是 度 量 场 的 复 杂 性 的)？ 物 理 上 要 是 发 现 了 这 种 场， 会 是 件 不 得 了 的 事 实。 这 些 观 念 的 数 学 不 简 单。
Yang-Mills 方 程 反 过 来 影 响 到 拓 扑。 现 在 的 基 础 数 学 中， 所 谓 低 维 拓 扑 (二 维， 三 维， 四 维) 非 常 受 人 注 意。 因 为 物 理 空 间 是 四 维 空 间。 而 四 维 空 间 有 许 多 奇 妙 的 性 质。 我 们 知 道 代 数 几 何、 曲 线 论、 复 变 函 数 论 等 许 多 基 础 数 学 理 论 是 二 维 拓 扑。 而 现 在 必 到 四 维， 四 维 有 spinor 理 论， 有 quantum 结 构。 四 维 与 物 理 更 接 近。 它 的 结 构 是 Lorentz 结 构， 而 不 是 Riemann 结 构。 这 方 面 有 很 多 工 作 可 做。 根 据 Yang-Mills 方 程， 对 于 四 维 拓 扑， Atiyah 的 学 生 英 国 数 学 家 Simon Donaldson 有 很 重 要 的 贡 献。 其 中 有 一 个 结 果 就 是 利 用 Yang-Mills 方 程 证 明 四 维 Euclid 空 间 R4 有 无 数 微 分 结 构 与 其 标 准 结 构 不 同。 这 一 结 果 最 近 又 由 Seiberg-Witten 的 新 方 程 大 大 的 简 化 了。 这 是 最 近 拓 扑 在 微 分 几 何、 理 论 物 理 应 用 方 面 最 引 人 注 意 的 进 展。
二 维 流 形 的 发 展 有 一 段 光 荣 的 历 史， 牵 涉 到 许 多 深 刻 的 数 学， 可 以 断 言， 三 维、 四 维 流 形 将 更 为 丰 富 和 神 妙。
这 是 当 前 一 个 热 门 的 课 题， 把 高 深 的 数 学 和 物 理 联 系 起 来 了， 导 出 了 深 刻 的 结 果。 现 在 拓 扑 在 物 理 上 有 非 常 重 要 的 应 用， 这 跟 杨 振 宁 的 Yang-Mills 场 方 程 有 很 密 切 的 关 系。 杨 先 生 喜 欢 说， 你 们 数 学 家 写 的 东 西， 我 们 学 物 理 的 人 看 不 懂， 等 于 另 外 一 种 文 字。 我 想 我 们 搞 数 学 的 人 有 责 任 把 我 们 的 结 果， 写 成 不 是 本 行 的 人 也 至 少 知 道 你 讲 的 是 怎 么 一 回 事。 物 理 学、 量 子 力 学， 尤 其 是 量 子 场 论 与 数 学 的 关 系 其 实 并 不 复 杂。 说 到 数 学 的 应 用， 讲 一 下 矢 量 空 间， Euclid 空 间 就 是 一 个 矢 量 空 间。 再 进 一 步， 多 个 矢 量 空 间 构 成 一 个 拓 扑 空 间， 这 就 是 所 谓 的 矢 量 丛， 即 一 束 这 样 的 空 间。 这 样 的 空 间 有 一 些 简 单 的 性 质。 比 如 说， 局 部 来 讲， 这 种 矢 量 空 间 是 一 个 chart， 是 一 个 集， 可 用 坐 标 来 表 示。 结 果 发 现 矢 量 丛 这 种 空 间 在 物 理 上 很 有 用。 物 理 学 的 一 个 基 本 观 念 是 "场"。 最 简 单 的 场 是 电 磁 场， 尤 为 近 代 生 活 的 一 部 分。 电 磁 场 的 "势" 适 合 Maxwell 方 程。 Hermann Weyl 第 一 个 看 出 这 个 势 不 是 一 个 确 定 的 函 数。 它 可 以 变 化。 这 在 物 理 上 叫 做 规 范 (gauge， 不 完 全 确 定 的， 可 以 变 化 的)， 这 就 是 物 理 上 规 范 场 论 的 第 一 个 情 形。
物 理 上 有 4 种 场： 电 磁 场、 引 力 场、 强 作 用 场 和 弱 作 用 场。 现 在 知 道， 这 些 场 都 是 规 范 场。 即 数 学 系 上 是 一 束 矢 量 空 间， 用 一 个 线 性 群 来 缝 住 的。 电 磁 场 的 重 要 推 广， 是 Yang-Mills 的 规 范 场 论。 杨 先 生 的 伟 大 贡 献 就 是 在 SU(2) (special unitary group in two variables) 情 形 下 得 到 物 理 意 义 明 确 的 规 范 场， 即 同 位 旋 (isospin) 规 范 场， 这 种 将 数 学 现 象 给 以 物 理 的 解 释， 是 件 了 不 起 的 工 作， 因 为 以 往 的 Maxwell 场 论 是 一 个 可 交 换 的 群。 现 在 变 为 在 SU(2)， 群 是 不 能 交 换 的。 而 实 际 上， 物 理 中 找 到 了 这 样 的 场， 这 是 科 学 上 一 个 伟 大 的 发 展。 数 学 家 可 以 自 豪 的 是， 物 理 学 家 所 需 的 几 何 观 念 和 工 具， 在 数 学 上 已 经 发 展 了。
杨 先 生 之 所 以 有 这 么 大 的 成 就， 其 中 一 个 很 重 要 的、 很 了 不 起 的 原 因 是 除 了 物 理 的 感 觉 以 外， 他 有 很 坚 实 的 数 学 基 础。 他 能 够 在 这 大 堆 复 杂 的 方 程 中 看 出 某 些 规 律， 它 们 具 有 某 种 基 本 的 数 学 性 质。 Yang-Mills 方 程 的 数 学 基 础 是 纤 维 丛。 这 种 观 念 Dirac 就 曾 有 过。 Dirac 的 一 篇 基 本 论 文 中 就 讲 到 这 种 数 学。 但 Dirac 没 有 数 学 的 工 具。 所 以 他 在 讲 这 种 观 念 时， 不 但 数 学 家 不 懂， 就 连 物 理 学 家 也 不 懂。 不 过， 其 中 有 一 个 到 现 在 还 未 解 决 的 物 理 含 义， 即 有 否 磁 单 极 (magnetic monople)。 可 能 会 有。 就 是 说， 有 否 这 样 的 场， 它 的 曲 率 不 等 于 0 (曲 率 是 度 量 场 的 复 杂 性 的)？ 物 理 上 要 是 发 现 了 这 种 场， 会 是 件 不 得 了 的 事 实。 这 些 观 念 的 数 学 不 简 单。
Yang-Mills 方 程 反 过 来 影 响 到 拓 扑。 现 在 的 基 础 数 学 中， 所 谓 低 维 拓 扑 (二 维， 三 维， 四 维) 非 常 受 人 注 意。 因 为 物 理 空 间 是 四 维 空 间。 而 四 维 空 间 有 许 多 奇 妙 的 性 质。 我 们 知 道 代 数 几 何、 曲 线 论、 复 变 函 数 论 等 许 多 基 础 数 学 理 论 是 二 维 拓 扑。 而 现 在 必 到 四 维， 四 维 有 spinor 理 论， 有 quantum 结 构。 四 维 与 物 理 更 接 近。 它 的 结 构 是 Lorentz 结 构， 而 不 是 Riemann 结 构。 这 方 面 有 很 多 工 作 可 做。 根 据 Yang-Mills 方 程， 对 于 四 维 拓 扑， Atiyah 的 学 生 英 国 数 学 家 Simon Donaldson 有 很 重 要 的 贡 献。 其 中 有 一 个 结 果 就 是 利 用 Yang-Mills 方 程 证 明 四 维 Euclid 空 间 R4 有 无 数 微 分 结 构 与 其 标 准 结 构 不 同。 这 一 结 果 最 近 又 由 Seiberg-Witten 的 新 方 程 大 大 的 简 化 了。 这 是 最 近 拓 扑 在 微 分 几 何、 理 论 物 理 应 用 方 面 最 引 人 注 意 的 进 展。
二 维 流 形 的 发 展 有 一 段 光 荣 的 历 史， 牵 涉 到 许 多 深 刻 的 数 学， 可 以 断 言， 三 维、 四 维 流 形 将 更 为 丰 富 和 神 妙。
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陈大师说了，数学上早就有，Yang只是给了它物理意义而已。
又及：
Hermann Weyl 第 一 个 看 出 这 个 势 不 是 一 个 确 定 的 函 数。 它 可 以 变 化。 这 在 物 理 上 叫 做 规 范 (gauge， 不 完 全 确 定 的， 可 以 变 化 的)， 这 就 是 物 理 上 规 范 场 论 的 第 一 个 情 形。
这句话怎么理解。规范是指什么东东？
又及：
Hermann Weyl 第 一 个 看 出 这 个 势 不 是 一 个 确 定 的 函 数。 它 可 以 变 化。 这 在 物 理 上 叫 做 规 范 (gauge， 不 完 全 确 定 的， 可 以 变 化 的)， 这 就 是 物 理 上 规 范 场 论 的 第 一 个 情 形。
这句话怎么理解。规范是指什么东东？
回复：3楼
规范和电磁理论中的规范变换差不多啊。。。。。B=rotA，可以给A加上一个函数的梯度，梯度的旋度为0，这样不改变可观测的B，场论中，给场（波函数量子化后成为的算符）乘上个e^ia，拉格朗日量不变，所导出的方程也不变，这也是规范变换。e^ia的复共轭是e^-ia，是e^ia的倒数，是幺正的，于是说这种拉格朗日在U群（幺正群）下不变。Weyl当年搞广相，当时他提出个理论，认为给度规乘个函数得到的度规也是有意义的，他管这种变换叫规范变换（也叫共形变换），这种理论竟能统一电磁理论和引力。。。可惜他是错的。。Einstein指出他有与实验不符的情况。pauli相对论上有。后来pauli（他是广相大神和量子大神）发现电磁理论的量子力学是规范不变的（这里是乘相位e^ia），于是鼓动外尔和约当研究这个。
规范和电磁理论中的规范变换差不多啊。。。。。B=rotA，可以给A加上一个函数的梯度，梯度的旋度为0，这样不改变可观测的B，场论中，给场（波函数量子化后成为的算符）乘上个e^ia，拉格朗日量不变，所导出的方程也不变，这也是规范变换。e^ia的复共轭是e^-ia，是e^ia的倒数，是幺正的，于是说这种拉格朗日在U群（幺正群）下不变。Weyl当年搞广相，当时他提出个理论，认为给度规乘个函数得到的度规也是有意义的，他管这种变换叫规范变换（也叫共形变换），这种理论竟能统一电磁理论和引力。。。可惜他是错的。。Einstein指出他有与实验不符的情况。pauli相对论上有。后来pauli（他是广相大神和量子大神）发现电磁理论的量子力学是规范不变的（这里是乘相位e^ia），于是鼓动外尔和约当研究这个。
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