拓扑学简介（一） 拓扑学简介（二） 拓扑学简介（三）1854年，28岁的黎曼在哥廷根大学发表就职演讲。这个职位是所谓无薪讲师，他的收入完全来自于听课的学生所缴纳的学费。即使是争取这样一个职位， 也需要提供一篇就职论文以及发表一个就职演讲。1853年他提交了就职论文，其中讨论了什么样的函数可以展开成三角级数的问题，并导致对定积分的第一个严 格数学定义。之后的就职演讲要求候选人准备三个演讲课题，委员会从中挑选一个作为正式演讲题目。黎曼选了两个思虑多时的课题，外加一个还未及考虑的课题 ——关于几何学的基本假设。他几乎确信委员会将挑选前面两个题目之一。然而，委员会的高斯偏偏就看中了第三个题目。当时黎曼正沉浸于电、磁、光、引力之间 的相互关系问题，从这样的深沉思考中抽身转而研究新的问题无疑是一种巨大的压力，再加上长期的贫穷，一度让黎曼崩溃。但不久他就重新振作起来，用 7 个星期时间准备了关于几何学基本假设的演讲。为了让数学系以外的委员会成员理解他的演讲，黎曼只用了一个公式，并且忽略了所有计算细节。尽管如此，估计在场鲜有人能理解这次演讲的内容。只有高斯为黎曼演讲中蕴含的深邃思想激动不已。
黎曼在演讲中提出了 “弯曲空间” 的概念，并给出怎样研究这些空间的建议。 “弯曲空间” 正是后世拓扑学研究的主要对象。在这些对象上，除了可以运用代数拓扑的工具，还可以运用微积分工具，这就形成了 “微分拓扑学”。
回到黎曼的演讲。黎曼认为，几何学的对象缺乏先验的定义，欧几里德的公理只是假设了未定义的几何对象之间的关系，而我们却不知道这些关系怎么来的， 甚至不知道为什么几何对象之间会存在关系。黎曼认为，几何对象应该是一些多度延展的量，体现出各种可能的度量性质。而我们生活的空间只是一个特殊的三度延展的量，因此欧几里德的公理只能从经验导出，而不是几何对象基本定义的推论。欧氏几何的公理和定理根本就只是假设而已。但是，我们可以考察这些定理成立的可能性，然后再试图把它们推广到我们日常观察的范围之外的几何，比如大到不可测的几何，以及小到不可测的几何。接着，黎曼开始了关于延展性，维数，以及将延展性数量化的讨论。他给了这些多度延展的量（几何对象）一个名称，德文写作 mannigfaltigkeit, 英文翻译为 manifold，英文字面意思可以理解为 “多层”，中国第一个拓扑学家江泽涵把这个词翻译为 “流形”，取自文天祥《正气歌》，“天地有正气，杂然赋流形”，而其原始出处为《易经》，“大哉乾元，万物资始，乃统天。云行雨施，品物流形。” 这个翻 译比英文翻译更加符合黎曼的原意，即多样化的形体。
黎曼定义的 “n 维流形” 大概是这个样子的：以其中一个点为基准，则周围每个点的位置都可以用 n 个实数来确定。后人将这种性质总结为：流形的局部与 n 维欧氏空间的局部具有相同的拓扑性质。如果进一步要求在流形的不同局部做微积分的结果可以互相联系起来，成为 “整体微积分”，则称此流形为 “微分流形”。一个简单的例子就是二维球面。我们都知道，二维球面上没有整体适用的坐标。经度和纬度是一组很好的坐标，但是在南北两极，经度无从定义。尽管如此，球面的每个局部都可以画在平面上，这就是地图。把各个区域的地图收集在一起，重叠的部分用比例尺协调一下，就得到整个球面。这样，坐标（或地图） 只存在于每个局部，而整个球面其实是地图之间的重叠关系。球面是二维流形，因为球面的局部同平面（二维欧氏空间）的局部具有相同的延展性质。球面的整体结构显然跟平面不同。沿着球面的某个方向往前走，比如，从赤道某点出发往东走，最终会回到出发点。而如果在平面上沿某个方向往前走则永不回到出发点。研究流形的整体结构，以及整体结构与局部结构之间的关系，就是 “拓扑学” 的核心课题。微分流形上可以使用微积分的工具，再辅之以前面介绍过的代数工具（同调群，同伦群），就形成了威力强大的 “微分拓扑学”。这门学问的发展使我们对 5 维以上的单连通微分流形（回忆先前介绍的 “单连通” 概念，即每条曲线可于流形内滑缩为一点）有了比较彻底的认识。
到了80年代，数学家对 4 维单连通 “拓扑流形” 也有了彻底的认识，然而 4 维 “微分流形” 却是无比复杂的对象。比如，直观上最简单的四维流形，四维欧氏空间，也就是所有 (x,y,z,t) 这样的数组组成的空间，有无穷多个“微分结构”，通俗一点说，这个流形上有无穷多种 “整体微积分” 可做，而我们通常做的四元微积分只是其中一种。这是 4 维的特殊性，因为其他维数的欧氏空间都跟我们的常识相符。也许 “4” 就是传说中的上帝之数，我们的宇宙就是用 4 个参数来描述的（3个参数表示空间，1 个参数表示时间），我们的时空是一个四维流形。
如果我们忘掉时间，只考察我们生活的空间。它的形态会是怎样？这是黎曼在演讲结尾提出的问题。这个问题到现在还没有答案。这个答案需要物理学家、天文学家、宇宙学家去寻找。宇宙空间会不会是一个三维球面？如果是三维球面，那我们沿着一个方向往前飞行，最终总会回到起点。
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67 Responses to “拓扑学简介（四）—— 流形”
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在 蝴蝶 发表的评论
是想说明人的占有欲强吗？
在 《永生的海拉》连载开始 发表的评论
为科学献身，其实也没什么。
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追求独特行为但上两种行为自相矛盾...其实按顺序都干一次不就好了么。
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感觉有内涵……
在 怀疑 发表的评论
幻想的画面：前面几句想大棒伺候，最后一句瞬间感动。
在 蝴蝶 发表的评论
我好像明白了什么。。。好吧，我其实什么都没明白。。。
在 博彩公司的秘密：赔率是这样练成的 发表的评论
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在 蝴蝶 发表的评论
境界的不断提升啊~
在 我知道你知道我知道你知道我知道。。。 发表的评论
把猜疑链放到多方博弈会怎样？
在 [小红猪]观点：科学家啊，别太相信自己的直觉 发表的评论
“...具备科学知识与否跟公众的态度之间的关联很有限。与之相反，信任、情绪、社会身份，以及问题本身是如何构建的，这些因素对公众的影响力更大..."呵呵应该对有志于科普的各位有启发吧。我想目前松鼠会的风格适于本身已经对科学感兴趣的人群。这些人热衷于逻辑等等，从大多数回帖中可看出。我们其实并不是
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我在乐山，只有遥望的份了。。。
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我一直在想，如果我 知道A，那么我自己也知道 我知道A ，我自己还 知道自己（知道自己知道A），我还知道（。。。（。。（）））。。。这样，我们知道任何一个事情，就会知道无穷多的事情，我们的大脑应该早崩溃了。。。
在 猎龙方寸间 发表的评论
这个不错，请问如何加入这个集邮大军呢？
八卦一下，莫非作者是看片会上坐我前排的松鼠？
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SB问题. 空间就是空间. 三维球面的空间又是个什么东西. 撑得
至于一些奇怪的图形，大概属于分形几何的范畴，其最大的特征并非拓扑性质，而是“自相似”。对分形几何的研究渗透了一些拓扑思想，比如分形的维数怎样定义，测度怎样定义，但是拓扑学的主要工具还没有进入分形几何的研究中。
学了7年数学仍然对拓扑心有余悸的人路过……
我泪奔
难道这个这么难吗？
对数学热爱的人一定是对万事万物有着无穷的好奇心的人，似乎看到的不是数学逻辑，看的到的是世界的本质。
但是做3D的时候必然接触到楼主所说的点线面啊之类的东东~
在人物脸部建模的时候，理论上说~布线就要考虑到拓扑学~
而实际上~搞这行的人中很少有人懂数学~布线的时候主要还是从素描课学来的结构体积关系下手~
真懂数学的，多半是开发软件的人而不是做美术的人。
如果楼主能将拓扑的知识用3D建摸的例子讲一讲~那就善哉善哉了~
因为单从美术的角度运用3D工具~布线的时候难免不尽科学~
另外~记得在周老虎的某个第三方鉴定报告中~有一句“拓扑学分析为平面”~
这句话怎么个意思？？？
谢谢~
好像是生活中建筑学用到的数学知识和理论数学研究的关系一样。。。一堆完美数对建造完美的建筑关系不大。。。
不知道我是否表达的清楚？
而拓扑学对美术的价值也许是哲学层面上的，比如 Ecsher 的画作。
现在图像中的流形学习主要是用来降维（science上的两篇--LLE,ISOmap）,总感觉流形在图像中的应用应该不止于此，起码数学上流形的产生不是用来解决降维问题的吧。。不知道作者对这方面有什么看法。
再有，我读拓扑、流行方面的知识感觉很难理解，不知道其他人学习过程都是这样，还是我学习数学的天分不够，呵呵：）
再次感谢：）
如果是的话~请加油哦~因为UV真的很烦 : )
学材料的人飘过
这句话怎么个意思？？？”
呵呵，人家就随便这么一说吧。千万别信。
数学科普经常会扔出一个公式，然后花很多时间解释它的意义；而有时其效果不如读者自己花10分钟独立思考这个公式的意义。没有公式的数学科普如过眼云烟，其实不会在读者记忆中留下任何东西，也很难使读者对数学增进理解。
我从学数学的学生到教数学的老师，最大的体会就是：数学不是在课堂上学到的。老师一般不可能让学生在课堂上就 “懂”，必须通过课前预习、课后复习、独立思考和做习题，才能真正懂得课堂讲授内容。与此类似，也不可能通过略读科普来增进对数学的了解或理解，如果是几何，还可以通过一个小例子让读者思考，而介绍其他数学领域恐怕是离不开公式的。
2007年美国最顶尖的年轻数学家们试图写一本书向高中以上文化程度的民众解释现代数学的书。结果这本1000多页的书写成以后，编纂者们不得不承认，它甚至不能被一般掌握大学数学知识的民众理解。
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前两天发现有张图片无法显示，今天打开一片空白。
用N个实数来确定的一定可以用一个实数来确定。
{0.abcdefg...,0.ABCDEFG...} 0.aAbBcCdDeEfFgG....
黎曼的意思说白了就是n维流形上一点附近的点可以相对的有个坐标。