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前面说到，数学上求解一个自旋系统的配分函数可不是一件容易的事情。从最简单的情况开始：四个自旋箭头组成的阵列。我们掰起指头就可以数出来这一网格的箭头排列方式有16种，对每一种排列都可以计算出其总的能量H，从而算出exp(-H/T)，然后将16种情况的exp(-H/T)之和求出来，就是配分函数，称之为波尔兹曼权重。譬如，温度T=2时，波尔兹曼权重为27.05；而对应所有四个箭头朝上状态的波尔兹曼权重为7.39，所以这一状态出现的概率就是7.39/27.05=0.27。也就是说，在温度T=2时，如果你长时间地观察这个四个自旋箭头组成的网格，你会看到，四个箭头全部朝上情况出现的概率就使0.27。看看，统计物理描述的依辛模型之物理核心就是如此简单明了。
当然，简单的物理并不表示我们就可以悠然自得了，因为自旋箭头一旦多了，事情计算起来就变得非常麻烦。我们说问题多得罄竹难书了就是这个意思。因为要得到某种自旋排布出现的概率，先要将所有可能排布的波尔兹曼权重都算出来，麻烦就麻烦在这里。看看一个由40个自旋箭头排布的网格，可能的排布方式有一万亿种，我们就更不要说400、4000或者40000个自旋排布的网格了。即使用目前最快的计算机可能都觉得无能为力。而问题的最终目标是要求出自旋数目趋于无限时的波尔兹曼权重和---即配分函数。
人类总有很多天才生活在其中。现在我们知道，计算一个无限大的二维自旋网格的配分函数很难却并非不可能。1944年，在耶鲁大学教化学的昂萨格求出了这个配方函数--针对二维正方网格。当然，他不是用数数的办法，而是利用繁杂的代数知识搞定的。所以我们说问题的物理很简单很美，剩下的是数学家的事情。
有了配分函数就有了一切！昂萨格给出，二维自旋网格的磁矩在居里温度Tc以下与(Tc-T)^(1/8)成正比，有大小相等符号相反的两个值。而在Tc以上，自旋排列是混乱无序的，意味着磁矩为零。这一结果毫无疑问与我们上面的唯象讨论相吻合。
正如郝柏林先生说的，求解三维依辛模型的配分函数一直是人类的梦想，这其中伴随着很多功利和很多清纯的故事和八卦，在此就不一一提及了，后面我们只是说说三维依辛模型在物理上与二维依辛模型不同的地方。
维度这个东西在依辛模型中到底有多大的威力是常人所始料不及的。二维网格和三维网格有些什么区别？我们马上能够回答的只是二维网格是一个平面，而三维网格不是。事情当然不会这么简单，几何空间形态远远不是二维与三维模型不同的根源，根源主要来自于所谓拓扑学上的差别。
拓扑学本身就是很难理解的事情，我似乎没有办法将事情在科普层次上说清楚，因此在此向各位道歉。问题的大意大概可以按想象的几何实验来描述。我们先构建一个三维立方网格，将这个网格想象成一块可以无限变形的橡皮。这样一来，我们可以将这块橡皮沿一个方向施加剪切变形，从而将三维网格的一层一层切开，最终铺展成一个很大的准二维平面。可是这样做会使得层与层之间的自旋键相互交叠，导致拓扑学上的缠结。为理解这一点，我们可以想象在一张纸上我们可以一笔画出一个二维正方网格，却无法一笔画出一个三维网格，所谓缠结就是这个意思。
在经历了几十年的失败之后，最近有人尝试利用上面的拓扑学操作来求解三维依辛模型问题。他们的基本想法是从一个二维正方网格开始，然后加上一个不在二维平面内的自旋，这样一步一步地使得网格由二维--准二维--最终向三维趋近。可惜的是，研究发现每加上一个自旋，求解问题的难度都增加一倍！这种处理方法是否有效还未可知，但是其中的困难已经可想而知了，不，是难以预测了！
注：素材来自B. Hayes, American Scientist 88, 384 (2000)
当然，简单的物理并不表示我们就可以悠然自得了，因为自旋箭头一旦多了，事情计算起来就变得非常麻烦。我们说问题多得罄竹难书了就是这个意思。因为要得到某种自旋排布出现的概率，先要将所有可能排布的波尔兹曼权重都算出来，麻烦就麻烦在这里。看看一个由40个自旋箭头排布的网格，可能的排布方式有一万亿种，我们就更不要说400、4000或者40000个自旋排布的网格了。即使用目前最快的计算机可能都觉得无能为力。而问题的最终目标是要求出自旋数目趋于无限时的波尔兹曼权重和---即配分函数。
人类总有很多天才生活在其中。现在我们知道，计算一个无限大的二维自旋网格的配分函数很难却并非不可能。1944年，在耶鲁大学教化学的昂萨格求出了这个配方函数--针对二维正方网格。当然，他不是用数数的办法，而是利用繁杂的代数知识搞定的。所以我们说问题的物理很简单很美，剩下的是数学家的事情。
有了配分函数就有了一切！昂萨格给出，二维自旋网格的磁矩在居里温度Tc以下与(Tc-T)^(1/8)成正比，有大小相等符号相反的两个值。而在Tc以上，自旋排列是混乱无序的，意味着磁矩为零。这一结果毫无疑问与我们上面的唯象讨论相吻合。
正如郝柏林先生说的，求解三维依辛模型的配分函数一直是人类的梦想，这其中伴随着很多功利和很多清纯的故事和八卦，在此就不一一提及了，后面我们只是说说三维依辛模型在物理上与二维依辛模型不同的地方。
维度这个东西在依辛模型中到底有多大的威力是常人所始料不及的。二维网格和三维网格有些什么区别？我们马上能够回答的只是二维网格是一个平面，而三维网格不是。事情当然不会这么简单，几何空间形态远远不是二维与三维模型不同的根源，根源主要来自于所谓拓扑学上的差别。
拓扑学本身就是很难理解的事情，我似乎没有办法将事情在科普层次上说清楚，因此在此向各位道歉。问题的大意大概可以按想象的几何实验来描述。我们先构建一个三维立方网格，将这个网格想象成一块可以无限变形的橡皮。这样一来，我们可以将这块橡皮沿一个方向施加剪切变形，从而将三维网格的一层一层切开，最终铺展成一个很大的准二维平面。可是这样做会使得层与层之间的自旋键相互交叠，导致拓扑学上的缠结。为理解这一点，我们可以想象在一张纸上我们可以一笔画出一个二维正方网格，却无法一笔画出一个三维网格，所谓缠结就是这个意思。
在经历了几十年的失败之后，最近有人尝试利用上面的拓扑学操作来求解三维依辛模型问题。他们的基本想法是从一个二维正方网格开始，然后加上一个不在二维平面内的自旋，这样一步一步地使得网格由二维--准二维--最终向三维趋近。可惜的是，研究发现每加上一个自旋，求解问题的难度都增加一倍！这种处理方法是否有效还未可知，但是其中的困难已经可想而知了，不，是难以预测了！
注：素材来自B. Hayes, American Scientist 88, 384 (2000)
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