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自旋世界(8)--韬光养晦
既然三维伊辛模型配分函数的求解这么困难，要对科学家们想象出来的四维或者更高维空间中的伊辛模型求解大概就该难于上青天了。可是，学问之道非常道啊，事实偏偏就不是这样。想象空间的维度越高，求解伊辛模型竟然就越简单。
究其物理原因似乎也不复杂。如果通俗一些说的话，四维及更高维空间网格的关联过于密切了，就是说一个自旋的近邻数很多，多到这个自旋必须乖乖地听从其邻居的。说得专业一点，就是每个自旋都不得不服从于其近邻自旋施加的的巨大有效磁场作用，你一个自旋孤零零地想折腾出一点什么花样大概很难。
由此可见，一维二维问题现在看来不难，因为自旋邻居稀疏，关联不够；四维及更高维问题也不难，因为自旋邻居太多，拥挤不堪，关联很强。难的就是三维问题，邻居数不多不少，关联不强不弱。
这几天我们看到张志东先生终于在网上“发表”了他对三维伊辛模型严格解的一个猜想(http://www.sciencenet.cn/blog/user_content.aspx?id=3196)，大家有兴趣可以去看看，虽然需要有相当深厚的学问才能完全看懂。三维空间似乎就是上帝专门制造出来为难他的众多子民的，特别是要刹刹那些伊辛模型大家的威风，可能也包括我们尊敬的杨振宁先生、郝院士以及新锐之一张志东先生，呵呵。
不过，三维伊辛模型大家们自然不必过于气馁，我们只需要韬光养晦，埋头攻关，总是有云开日出的那一天的。就像庞加莱猜想的证明一般，最近不是也被攻克了吗？只要不出现你也封顶我也会当凌绝顶的事情就行。
事实上，三维伊辛模型被研究了几十年，并非颗粒无收，还是有些许成绩的。主要的收获都在相变临界点附近。根据临界点附近的一些特殊性质，引入一些近似的话可以给出一些很好的结果。其中一种处理方法就是众所周知的级数展开法。据说对级数展开方法玩得最转的就是拉普拉斯了。他根据此不二秘籍在众多物理问题上都是屡试不爽、春风得意。究其详细，也不难解。此法的不二法则就是抓两头，带中间。我们先把极高温和极低温情况下的事情搞清楚，然后再向中间温区推进。这一方法比摸着石头过河还是要技高一筹，因此曾经有一段时间在三维伊辛模型问题求解上颇露锋芒。
另外一种方法的名字就很高深：重整化群方法。关于这一方法又有很多说道，即使在统计物理相变问题上的故事就很不平常。当年在研究临界现象问题时，一大批统计物理大家加入进来，所谓待重来---重整旧山河啊。到了卡丹诺夫等一帮人因提出标度不变性理论而以为马上要封顶时，半路杀出一位威尔逊先生。威尔逊原来的领域不是统计物理，而是核物理。天佑其人，他原本就擅长于核物理中应用的重整化方法，进入到统计物理领域之后很快就敏锐感觉到标度不变性与重整化之间的联系，从而一举成功登顶，代替卡丹诺夫等人去了斯德哥尔摩。
重整化群的物理图象与青天比起来也不难。你只要知道，在相变点附近网格的自旋关联区域变得很大很大，以至于将实际网格尺寸缩小一倍并不对这个关联区域的大小有任何影响，如此类推，我们可以一直不停地缩小网格，这个过程就称之为重整化过程。这话看起来不合逻辑，是吧？其实的确就是这么回事。你学过高等数学中的极限，网格尺寸变化对于自旋关联区域的影响等同于我正在靠近无穷大或者无穷小。可是，无穷大是多大？无穷小是多小？就是说你再怎么靠近它们其实还是离它们很远很远，你与它们之间的距离并没有因为你正在卖力地靠近它们而有任何变化。
泰戈尔说过什么“世界上最远的距离就是你在我身边我却不知道”之类的话，既然我不知道你在我身边，那么我怎么知道我与你有多远？：））
再回头重整化，最简单的做法就是将网格中一团自旋当成一个新自旋，将这些新自旋重新排成新的网格。这样网格尺寸就小了很多。因为网格是无穷大的，自旋关联区域也是无穷大的，这样处理对于网格的影响连死水微澜都没有做到。当然，对于新的网格，新自旋之间的关联强度要改变一下以补偿网格能量上的得失。
注：素材来自B. Hayes, American Scientist 88, 384 (2000)
既然三维伊辛模型配分函数的求解这么困难，要对科学家们想象出来的四维或者更高维空间中的伊辛模型求解大概就该难于上青天了。可是，学问之道非常道啊，事实偏偏就不是这样。想象空间的维度越高，求解伊辛模型竟然就越简单。
究其物理原因似乎也不复杂。如果通俗一些说的话，四维及更高维空间网格的关联过于密切了，就是说一个自旋的近邻数很多，多到这个自旋必须乖乖地听从其邻居的。说得专业一点，就是每个自旋都不得不服从于其近邻自旋施加的的巨大有效磁场作用，你一个自旋孤零零地想折腾出一点什么花样大概很难。
由此可见，一维二维问题现在看来不难，因为自旋邻居稀疏，关联不够；四维及更高维问题也不难，因为自旋邻居太多，拥挤不堪，关联很强。难的就是三维问题，邻居数不多不少，关联不强不弱。
这几天我们看到张志东先生终于在网上“发表”了他对三维伊辛模型严格解的一个猜想(http://www.sciencenet.cn/blog/user_content.aspx?id=3196)，大家有兴趣可以去看看，虽然需要有相当深厚的学问才能完全看懂。三维空间似乎就是上帝专门制造出来为难他的众多子民的，特别是要刹刹那些伊辛模型大家的威风，可能也包括我们尊敬的杨振宁先生、郝院士以及新锐之一张志东先生，呵呵。
不过，三维伊辛模型大家们自然不必过于气馁，我们只需要韬光养晦，埋头攻关，总是有云开日出的那一天的。就像庞加莱猜想的证明一般，最近不是也被攻克了吗？只要不出现你也封顶我也会当凌绝顶的事情就行。
事实上，三维伊辛模型被研究了几十年，并非颗粒无收，还是有些许成绩的。主要的收获都在相变临界点附近。根据临界点附近的一些特殊性质，引入一些近似的话可以给出一些很好的结果。其中一种处理方法就是众所周知的级数展开法。据说对级数展开方法玩得最转的就是拉普拉斯了。他根据此不二秘籍在众多物理问题上都是屡试不爽、春风得意。究其详细，也不难解。此法的不二法则就是抓两头，带中间。我们先把极高温和极低温情况下的事情搞清楚，然后再向中间温区推进。这一方法比摸着石头过河还是要技高一筹，因此曾经有一段时间在三维伊辛模型问题求解上颇露锋芒。
另外一种方法的名字就很高深：重整化群方法。关于这一方法又有很多说道，即使在统计物理相变问题上的故事就很不平常。当年在研究临界现象问题时，一大批统计物理大家加入进来，所谓待重来---重整旧山河啊。到了卡丹诺夫等一帮人因提出标度不变性理论而以为马上要封顶时，半路杀出一位威尔逊先生。威尔逊原来的领域不是统计物理，而是核物理。天佑其人，他原本就擅长于核物理中应用的重整化方法，进入到统计物理领域之后很快就敏锐感觉到标度不变性与重整化之间的联系，从而一举成功登顶，代替卡丹诺夫等人去了斯德哥尔摩。
重整化群的物理图象与青天比起来也不难。你只要知道，在相变点附近网格的自旋关联区域变得很大很大，以至于将实际网格尺寸缩小一倍并不对这个关联区域的大小有任何影响，如此类推，我们可以一直不停地缩小网格，这个过程就称之为重整化过程。这话看起来不合逻辑，是吧？其实的确就是这么回事。你学过高等数学中的极限，网格尺寸变化对于自旋关联区域的影响等同于我正在靠近无穷大或者无穷小。可是，无穷大是多大？无穷小是多小？就是说你再怎么靠近它们其实还是离它们很远很远，你与它们之间的距离并没有因为你正在卖力地靠近它们而有任何变化。
泰戈尔说过什么“世界上最远的距离就是你在我身边我却不知道”之类的话，既然我不知道你在我身边，那么我怎么知道我与你有多远？：））
再回头重整化，最简单的做法就是将网格中一团自旋当成一个新自旋，将这些新自旋重新排成新的网格。这样网格尺寸就小了很多。因为网格是无穷大的，自旋关联区域也是无穷大的，这样处理对于网格的影响连死水微澜都没有做到。当然，对于新的网格，新自旋之间的关联强度要改变一下以补偿网格能量上的得失。
注：素材来自B. Hayes, American Scientist 88, 384 (2000)
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