如果流形的拓扑没有这么简单，那么一般的 G-主丛不能在整体上分解为乘积 M * G, 但是在局部上可以分解，这种分解叫“局部平凡化”，与局部平凡化方式无关的量或者性质在物理上叫“规范不变的”。而在数学上，只有不依赖局部平凡化的概念才是丛上“良定”的概念。
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编辑者(shanqin-wang)前言：
（1）：这篇文章是在shanqin-wang发在观星楼的一个数学帖子引起的数学讨论。经过星空浩淼、季候风、yinhow、弱力三千 、kanax、StChenhua 等网友的不断讨论尤其是季候风网友的精彩解说，构成这个文章的基本素材。
（2）：本文不改变任何内容，但是为了排版的原因，将所有引用问题进行回答的内容中夹的各种分隔符号通通代之以引号如果是引用中套引用的，里面一层用单引号，至于引用谁的，请耐心看上下文。
（3）：为了连贯性，省去个别地方的自谦话或者客套话本文，必要的评价仍然保留，不影响讨论者的意图表达。
（4）：里面任何一位作者有意见补充的，请联系站长，以及时处理。
（1）：这篇文章是在shanqin-wang发在观星楼的一个数学帖子引起的数学讨论。经过星空浩淼、季候风、yinhow、弱力三千 、kanax、StChenhua 等网友的不断讨论尤其是季候风网友的精彩解说，构成这个文章的基本素材。
（2）：本文不改变任何内容，但是为了排版的原因，将所有引用问题进行回答的内容中夹的各种分隔符号通通代之以引号如果是引用中套引用的，里面一层用单引号，至于引用谁的，请耐心看上下文。
（3）：为了连贯性，省去个别地方的自谦话或者客套话本文，必要的评价仍然保留，不影响讨论者的意图表达。
（4）：里面任何一位作者有意见补充的，请联系站长，以及时处理。
1
shanqin-wang：
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我将从一个错误认识开始说，昨天（2005-12-12）在客栈看到一篇广义相对论的帖子里说到Minkowski时空中张量不分逆变和协变，并认为这是平直空间的共性。我将直接切入正题，把一些概念压到后面讲。
我们将Minkowski时空的线元写为ds^2=-dt^2+dx^2+dy^2+dz^2或者ds^2=dt^2-dx^2-dy^2-dz^2，我们可以将变换矩阵写成对角形式：
η_μν=diag（-1， 1， 1， 1）
或者：
η_μν=diag（1，-1，-1，-1）。
在Minkowski时空中进行线性变换，形式为：x_μ=η_μν. X^ν,其中“^ν”表示上标。
这时如果取：η_μν=diag（-1， 1， 1， 1）
则：x_0=- x^0，x_1= x^1，x_2= x^2，x_3= x^3，x_4= x^4，
如果取η_μν=diag（1，-1，-1，-1）
则x_0= x^0，x_1= -x^1，x_2=- x^2，x_3=- x^3，x_4=- x^4，
由于存在一个符号或者三个符号，因此逆变向量与协变向量使不一样，的这个不同由η_μν引起。
为什么我们在Euclidean空间中没有这个奇怪的结果？因为在Euclidean空间中取定正交坐标系后，变换矩阵为diag（1， 1， 1， 1），因此变换时x_μ= X^μ，上下指标相等，才导致逆变向量与协变向量相同，因此可以统称为矢量。
如果采取一般的仿射坐标系，各个坐标轴不是正交的，那么变换矩阵就不是对角形式，协变矢量和逆变矢量就不一样。这是绝对平直空间，但是仍然有这个差别。因此认为这两个矢量的差别是由引力或者说弯曲时空引起，是完全错误的。
从物理上看，我们考虑强等效原理，在一点无限小的领域内，弯曲时空由其切空间逼近，可以用加速度等效引力作用，当然整体上这是不行的。但是在无限小领域内可以这么做，这时候我们可以认为它没有引力，那么按照那种观点，岂不是让广义相对论都用不着区别协变和逆变了？
协变矢量和逆变矢量由相伴坐标（互易坐标基）可以给出很自然的解释。
如果坐标基变换时的矩阵为A，坐标分量的变换为A的逆矩阵转置（自然等于其转置矩阵的逆矩阵），所以称为逆变矢量。如果坐标基变换时的矩阵为A，坐标分量的变换为A，则称为协变矢量，此时也称为共变矢量。
张量是矢量的自然推广，所以这些定义可以直接迁移。如果一个张量变换时其矩阵变换的乘积因子都是逆变的，称为逆变张量，同样可以定义协变张量。如果有的因子为逆变，有的为协变，则称为混合张量。
广义相对论用2阶张量，因此只有三种情况，逆变，协变和“一个逆一个协”。
很显然，张量（我们将矢量归为一阶张量）的逆变和协变时由坐标变换引起的，与空间是否存在引力或者说是否弯曲毫无关系。也由于张量的变换借助于坐标这个局部观念，相对论的早期发展都是建立在局部观点上的，上世纪50年代后，微分几何已经盛行整体观点即映射观点了，张量也被定义为多重线性代数中的整体映射了。这不是这里要说的，此文到此为止。
正如星空浩淼所说：“只有用虚数时间的描述时，才不用区分协变张量和逆变张量。跟是不是平直空间没有关系。”因为经过wick旋转，η_μν=diag（1， 1， 1， 1），所以此时的变换和Euclidean空间（Descartes坐标系下）的变换一样。而对于一般坐标系，连这个特例都没有了。
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我将从一个错误认识开始说，昨天（2005-12-12）在客栈看到一篇广义相对论的帖子里说到Minkowski时空中张量不分逆变和协变，并认为这是平直空间的共性。我将直接切入正题，把一些概念压到后面讲。
我们将Minkowski时空的线元写为ds^2=-dt^2+dx^2+dy^2+dz^2或者ds^2=dt^2-dx^2-dy^2-dz^2，我们可以将变换矩阵写成对角形式：
η_μν=diag（-1， 1， 1， 1）
或者：
η_μν=diag（1，-1，-1，-1）。
在Minkowski时空中进行线性变换，形式为：x_μ=η_μν. X^ν,其中“^ν”表示上标。
这时如果取：η_μν=diag（-1， 1， 1， 1）
则：x_0=- x^0，x_1= x^1，x_2= x^2，x_3= x^3，x_4= x^4，
如果取η_μν=diag（1，-1，-1，-1）
则x_0= x^0，x_1= -x^1，x_2=- x^2，x_3=- x^3，x_4=- x^4，
由于存在一个符号或者三个符号，因此逆变向量与协变向量使不一样，的这个不同由η_μν引起。
为什么我们在Euclidean空间中没有这个奇怪的结果？因为在Euclidean空间中取定正交坐标系后，变换矩阵为diag（1， 1， 1， 1），因此变换时x_μ= X^μ，上下指标相等，才导致逆变向量与协变向量相同，因此可以统称为矢量。
如果采取一般的仿射坐标系，各个坐标轴不是正交的，那么变换矩阵就不是对角形式，协变矢量和逆变矢量就不一样。这是绝对平直空间，但是仍然有这个差别。因此认为这两个矢量的差别是由引力或者说弯曲时空引起，是完全错误的。
从物理上看，我们考虑强等效原理，在一点无限小的领域内，弯曲时空由其切空间逼近，可以用加速度等效引力作用，当然整体上这是不行的。但是在无限小领域内可以这么做，这时候我们可以认为它没有引力，那么按照那种观点，岂不是让广义相对论都用不着区别协变和逆变了？
协变矢量和逆变矢量由相伴坐标（互易坐标基）可以给出很自然的解释。
如果坐标基变换时的矩阵为A，坐标分量的变换为A的逆矩阵转置（自然等于其转置矩阵的逆矩阵），所以称为逆变矢量。如果坐标基变换时的矩阵为A，坐标分量的变换为A，则称为协变矢量，此时也称为共变矢量。
张量是矢量的自然推广，所以这些定义可以直接迁移。如果一个张量变换时其矩阵变换的乘积因子都是逆变的，称为逆变张量，同样可以定义协变张量。如果有的因子为逆变，有的为协变，则称为混合张量。
广义相对论用2阶张量，因此只有三种情况，逆变，协变和“一个逆一个协”。
很显然，张量（我们将矢量归为一阶张量）的逆变和协变时由坐标变换引起的，与空间是否存在引力或者说是否弯曲毫无关系。也由于张量的变换借助于坐标这个局部观念，相对论的早期发展都是建立在局部观点上的，上世纪50年代后，微分几何已经盛行整体观点即映射观点了，张量也被定义为多重线性代数中的整体映射了。这不是这里要说的，此文到此为止。
正如星空浩淼所说：“只有用虚数时间的描述时，才不用区分协变张量和逆变张量。跟是不是平直空间没有关系。”因为经过wick旋转，η_μν=diag（1， 1， 1， 1），所以此时的变换和Euclidean空间（Descartes坐标系下）的变换一样。而对于一般坐标系，连这个特例都没有了。
季候风：
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逆变和协变的区别应该是向量空间V与其对偶空间V*的差别吧，即使在欧氏空间，这个区别仍然存在。如果V 上有非退化对称双线性函数g( , ) , 那么 V 与 V* 有一个由这个双线性函数决定的一一对应 h: V --> V*。这个一一对应就是指标的升降。如果 {e_i} 是 V 的任一个基（不一定是正交基），{f^i} 是其对偶基，那么 h(e_i) 是 V* 里的一个元素，就是 V 上的线性函数，它的定义是 = g(e_i, e_j) = g_{ij} = g_{ik} . 这里 < , > 是取值， ( , ) 是内积。所以 h(e_i) = g_{ik}f^k.
任一向量 v= v^i e_i, 它在一一对应下的像 h(v) = v^i h(e_i) = v^i g_{ik}f^k = (v^i g_{ik} ) f^k. 所以指标的升降就是告诉你在这个同构下，对于对偶的基底，坐标怎么变换。
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逆变和协变的区别应该是向量空间V与其对偶空间V*的差别吧，即使在欧氏空间，这个区别仍然存在。如果V 上有非退化对称双线性函数g( , ) , 那么 V 与 V* 有一个由这个双线性函数决定的一一对应 h: V --> V*。这个一一对应就是指标的升降。如果 {e_i} 是 V 的任一个基（不一定是正交基），{f^i} 是其对偶基，那么 h(e_i) 是 V* 里的一个元素，就是 V 上的线性函数，它的定义是 = g(e_i, e_j) = g_{ij} = g_{ik} . 这里 < , > 是取值， ( , ) 是内积。所以 h(e_i) = g_{ik}f^k.
任一向量 v= v^i e_i, 它在一一对应下的像 h(v) = v^i h(e_i) = v^i g_{ik}f^k = (v^i g_{ik} ) f^k. 所以指标的升降就是告诉你在这个同构下，对于对偶的基底，坐标怎么变换。
yinhow：
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在某个群表示作用下的“矢量”， 有什么好的和有趣的性质？ 譬如说SL（2，Z）下的矢量X(aw+b/cw+d)=R((a,b);(c,d))X(w)，其中w取值在上半复平面。
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在某个群表示作用下的“矢量”， 有什么好的和有趣的性质？ 譬如说SL（2，Z）下的矢量X(aw+b/cw+d)=R((a,b);(c,d))X(w)，其中w取值在上半复平面。
季候风：
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群G作用下的矢量就是一个群G的表示空间里的元素。群表示 V 可以看做群同态 G---> GL(V). 在 Minkowski 时空 M， 每一点x都有一个自然的群，就是 Lorentz 群 SO(3,1)，是这一点的正交标架变换群。 SO(3,1) ---> GL(4) 是自然嵌入，所以每一点的切向量空间 TxM 都是 Lorentz 群的表示，这个表示就是物理学家所谓“矢量”， 而这一点的余切空间 T*xM 是其对偶表示，也是所谓“协变矢量”。表示的张量积还是表示，所以切空间和余切空间的多重张量积上也有 Lorentz 群的作用，这就是物理学家说的“张量表示”。
在量子理论中，体系的对称群保持测量值的概率分布，所以是一个酉表示 G ---> U. 但是如果群G 不是单连通的，那么我们可能得不到真正的酉表示而只是射影酉表示。所以不仅要考察 Lorentz 群 SO(3,1) 的表示，还要考察其泛复叠群 Spin(3,1) = SL(2,C) 的表示。这个群最简单的表示是平凡表示 C^n，SL(2,C) ---> GL(n,C)，所有的群元都映成恒等，这个表示空间里的元素就是“标量”。第一个非平凡表示是二维的，这个表示空间里的元素就是最简单的“旋量”。
有些量子体系除了时空对称性 （Lorentz 群的作用）以外还有内部对称性，比如电磁对称性 （U(1) 群作用 ）和 色对称性 （SU(3) 群作用）。这些对称性也被看做是每一时空点有一个群G, 作用在这一点的某个线性空间上。比如标量表示 C^n 就容许 U(1) 作用（当然，究竟有没有这个作用还是要看 Lagrangian 的形式），把每个分量乘上e^{i a}. 所有点的群应该被放在一起作为一个对象，这就是 M 上的 G-主丛。因为 M 是可缩的，所以这个 G-主丛同构于笛卡儿积 M * G，换句话说，这个丛是平凡的. 这种分解不唯一，不同的分解方式叫做不同的“规范”，或者叫“平凡化”，与分解方式无关的量和性质就叫做“规范不变的”。
如果流形的拓扑没有这么简单，那么一般的 G-主丛不能在整体上分解为乘积 M * G, 但是在局部上可以分解，这种分解叫“局部平凡化”，与局部平凡化方式无关的量或者性质在物理上叫“规范不变的”。而在数学上，只有不依赖局部平凡化的概念才是丛上“良定”的概念。
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群G作用下的矢量就是一个群G的表示空间里的元素。群表示 V 可以看做群同态 G---> GL(V). 在 Minkowski 时空 M， 每一点x都有一个自然的群，就是 Lorentz 群 SO(3,1)，是这一点的正交标架变换群。 SO(3,1) ---> GL(4) 是自然嵌入，所以每一点的切向量空间 TxM 都是 Lorentz 群的表示，这个表示就是物理学家所谓“矢量”， 而这一点的余切空间 T*xM 是其对偶表示，也是所谓“协变矢量”。表示的张量积还是表示，所以切空间和余切空间的多重张量积上也有 Lorentz 群的作用，这就是物理学家说的“张量表示”。
在量子理论中，体系的对称群保持测量值的概率分布，所以是一个酉表示 G ---> U. 但是如果群G 不是单连通的，那么我们可能得不到真正的酉表示而只是射影酉表示。所以不仅要考察 Lorentz 群 SO(3,1) 的表示，还要考察其泛复叠群 Spin(3,1) = SL(2,C) 的表示。这个群最简单的表示是平凡表示 C^n，SL(2,C) ---> GL(n,C)，所有的群元都映成恒等，这个表示空间里的元素就是“标量”。第一个非平凡表示是二维的，这个表示空间里的元素就是最简单的“旋量”。
有些量子体系除了时空对称性 （Lorentz 群的作用）以外还有内部对称性，比如电磁对称性 （U(1) 群作用 ）和 色对称性 （SU(3) 群作用）。这些对称性也被看做是每一时空点有一个群G, 作用在这一点的某个线性空间上。比如标量表示 C^n 就容许 U(1) 作用（当然，究竟有没有这个作用还是要看 Lagrangian 的形式），把每个分量乘上e^{i a}. 所有点的群应该被放在一起作为一个对象，这就是 M 上的 G-主丛。因为 M 是可缩的，所以这个 G-主丛同构于笛卡儿积 M * G，换句话说，这个丛是平凡的. 这种分解不唯一，不同的分解方式叫做不同的“规范”，或者叫“平凡化”，与分解方式无关的量和性质就叫做“规范不变的”。
如果流形的拓扑没有这么简单，那么一般的 G-主丛不能在整体上分解为乘积 M * G, 但是在局部上可以分解，这种分解叫“局部平凡化”，与局部平凡化方式无关的量或者性质在物理上叫“规范不变的”。而在数学上，只有不依赖局部平凡化的概念才是丛上“良定”的概念。
星空浩淼：
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“在量子理论中，体系的对称群保持测量值的概率分布”
考虑到在量子场论的水平上，场算子不能解释为几率幅，所以上面这句话可以更一般地描述成：在群的作用下，群表示空间中定义的内积不变。
事实上，正是为了定义内积，才给出空间的对偶空间概念（或者说给出“矢量”的“泛函”概念）。例如，为了能够引入时空距离（或长度）概念（相当于同一个矢量之间的内积），就需要引入逆变协变矢量概念；为了定义概率，要引入波函数的共轭波函数。
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“在量子理论中，体系的对称群保持测量值的概率分布”
考虑到在量子场论的水平上，场算子不能解释为几率幅，所以上面这句话可以更一般地描述成：在群的作用下，群表示空间中定义的内积不变。
事实上，正是为了定义内积，才给出空间的对偶空间概念（或者说给出“矢量”的“泛函”概念）。例如，为了能够引入时空距离（或长度）概念（相当于同一个矢量之间的内积），就需要引入逆变协变矢量概念；为了定义概率，要引入波函数的共轭波函数。
季候风：
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跟星空浩淼兄探讨一下： 对偶空间跟内积是两回事。完备的内积空间（Hilbert空间）跟其对偶空间存在自然的反线性同构，但是一般的拓扑向量空间的对偶空间跟原来的空间完全是两回事。当然，很多物理学家不理会这些区别，比如量子力学和量子场论的教材里就会定义什么叫 delta 函数之间的内积，实际上 delta 函数存在于 Hilbert 空间的一个稠密子空间 S 的对偶空间 S* 中, 而 Hilbert 空间的内积是不能扩张到 S*上面去的。所以Dirac曾经在他的书里面强调，delta 函数的意义只体现在积分中，用数学的语言就是说，只能把 delta 当作线性泛函来使用。泛函分析的发展已经基本完成了量子力学的数学化，参考 Methods of Modern Mathematical Physics (I, II, III, IV), by Reed & Simon.
在量子场论中，仍然不能避免 delta 函数的“非法”使用，这也是因为相应的数学还没有发展起来。不过在简单的情形（拓扑场论，二维Yang-Mills，共形场论），还是可以用严格的数学语言来描述的。
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跟星空浩淼兄探讨一下： 对偶空间跟内积是两回事。完备的内积空间（Hilbert空间）跟其对偶空间存在自然的反线性同构，但是一般的拓扑向量空间的对偶空间跟原来的空间完全是两回事。当然，很多物理学家不理会这些区别，比如量子力学和量子场论的教材里就会定义什么叫 delta 函数之间的内积，实际上 delta 函数存在于 Hilbert 空间的一个稠密子空间 S 的对偶空间 S* 中, 而 Hilbert 空间的内积是不能扩张到 S*上面去的。所以Dirac曾经在他的书里面强调，delta 函数的意义只体现在积分中，用数学的语言就是说，只能把 delta 当作线性泛函来使用。泛函分析的发展已经基本完成了量子力学的数学化，参考 Methods of Modern Mathematical Physics (I, II, III, IV), by Reed & Simon.
在量子场论中，仍然不能避免 delta 函数的“非法”使用，这也是因为相应的数学还没有发展起来。不过在简单的情形（拓扑场论，二维Yang-Mills，共形场论），还是可以用严格的数学语言来描述的。
星空浩淼：
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回风兄：我提到对偶空间与内积，是想说明人们定义对偶空间的意图，并且认为这个意图就是为了能够一般地定义内积。并不是把对偶空间与内积等同起来。另外我记得在微分形式理论中定义了两种微分符号，其意图也跟这个类似。如果继续深入探讨，我只有翻翻书把以前的东西复习一下才行，光凭记忆很可能会出错，不像你们是专业的，可谓手到擒来。我以前学过泛函分析，小波分析，张量分析与旋量，群论，微分几何（没有全部学，例如同调上同调这些东西没有来得及学，也许以后补起来）等，这些东西不用，忘的很快。现在感觉自己作论文，主要还是在用本科数学（数学分析，线性代数，复变函数，数理方程与特殊函数，概率论等），也许这是肤浅的标志，好在我可以用“工科不是理科”作为借口自我糊弄一下，呵呵！在这里我主要还是跟你们多多学习，虽然偶尔跟贴凑一下热闹，但如果我们意见有分歧，我多半以你们为准，呵呵！
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回风兄：我提到对偶空间与内积，是想说明人们定义对偶空间的意图，并且认为这个意图就是为了能够一般地定义内积。并不是把对偶空间与内积等同起来。另外我记得在微分形式理论中定义了两种微分符号，其意图也跟这个类似。如果继续深入探讨，我只有翻翻书把以前的东西复习一下才行，光凭记忆很可能会出错，不像你们是专业的，可谓手到擒来。我以前学过泛函分析，小波分析，张量分析与旋量，群论，微分几何（没有全部学，例如同调上同调这些东西没有来得及学，也许以后补起来）等，这些东西不用，忘的很快。现在感觉自己作论文，主要还是在用本科数学（数学分析，线性代数，复变函数，数理方程与特殊函数，概率论等），也许这是肤浅的标志，好在我可以用“工科不是理科”作为借口自我糊弄一下，呵呵！在这里我主要还是跟你们多多学习，虽然偶尔跟贴凑一下热闹，但如果我们意见有分歧，我多半以你们为准，呵呵！
kanex：
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忍不住也说一下"更现代"的观点.
dual的概念在现代数学占有相当重要的位置. 从Category Theory来看, 是一个将所有C中的所有morphism反向的category，叫C^op.
正如季风兄所说, covariant和contravariant的本质是在A和A的dual之间映射时的一个性质的区别:
对于从C到D的functor来说, 如果将C中的f: X->Y映射到F(f): F(X)->F(Y) [当然, 还要满足一些原则: F(id_X) = id_F(X), F(g o f) = F(g) o F(f)], 那么就叫covariant functor, 通常的functor都属于这种.
如果将C中的f: X->Y映射到F(f): F(Y)->F(X) [当然, 还要满足一些原则: F(id_X) = id_F(X), F(g o f) = F(f) o F(g)], 那么就叫contravariant functor, 或者也可以写做C^op -> D.
这样说可能太抽象了. 我们拿时空中矢量的例子说明一下:
时空中的矢量其实是什么呢? 当然就是从时空到vector space的一个functor而已. 在时空上加一个变换, 就是在左边的一个morphism, 然后到右边如果是一个顺着的morphism就是covariant, 逆着的morphism就是contravariant.
以此类推可以有很多例子, 例如homology是covariant, cohomology是contravariant.
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忍不住也说一下"更现代"的观点.
dual的概念在现代数学占有相当重要的位置. 从Category Theory来看, 是一个将所有C中的所有morphism反向的category，叫C^op.
正如季风兄所说, covariant和contravariant的本质是在A和A的dual之间映射时的一个性质的区别:
对于从C到D的functor来说, 如果将C中的f: X->Y映射到F(f): F(X)->F(Y) [当然, 还要满足一些原则: F(id_X) = id_F(X), F(g o f) = F(g) o F(f)], 那么就叫covariant functor, 通常的functor都属于这种.
如果将C中的f: X->Y映射到F(f): F(Y)->F(X) [当然, 还要满足一些原则: F(id_X) = id_F(X), F(g o f) = F(f) o F(g)], 那么就叫contravariant functor, 或者也可以写做C^op -> D.
这样说可能太抽象了. 我们拿时空中矢量的例子说明一下:
时空中的矢量其实是什么呢? 当然就是从时空到vector space的一个functor而已. 在时空上加一个变换, 就是在左边的一个morphism, 然后到右边如果是一个顺着的morphism就是covariant, 逆着的morphism就是contravariant.
以此类推可以有很多例子, 例如homology是covariant, cohomology是contravariant.
星空浩淼：
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其实我说的跟风兄说的“逆变和协变的区别应该是向量空间V与其对偶空间V*的差别吧”这个意思类似，用向量空间V的基矢与其对偶空间V* 的基矢之间的内积来定义度规，有了度规，定义逆变和协变也好，表达空间距离也好，都很方便。在微分几何中，扮演向量空间V的基矢与其对偶空间V*的基矢角色的，往往就是两种微分符号（我忘了叫什么名字，不知是不是“微分”与“余微分”？）。在我看来，这就是引入两种微分符号的意图，仍然是为了能够定义内积（或张量缩并运算）。“即使在欧氏空间，这个区别仍然存在。”关于这个，一般物理教材的开头，先要作一些符号约定。对于时空坐标，如果第四维时间采用实数的，就要给出度规张量的约定，因为此时矢量有逆变协变之分；但是如果第四维采用虚数时间，就用不着了，因为此时的伪欧式空间（因为第四维坐标是虚数的不是实数的，所以不是真正的欧式空间）中的矢量，没有逆变协变之分。
弱力三千：
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“即使在欧氏空间，这个区别仍然存在。”
关于这个，一般物理教材的开头，先要作一些符号约定。对于时空坐标，如果第四维时间采用实数的，就要给出度规张量的约定，因为此时矢量有逆变协变之分；但是如果第四维采用虚数时间，就用不着了，因为此时的伪欧式空间（因为第四维坐标是虚数的不是实数的，所以不是真正的欧式空间）中的矢量，没有逆变协变之分。
采用虚时间后：
“η_μν=diag（1， 1， 1， 1），所以此时的变换和Euclidean空间（Descartes坐标系下）的变换一样。
而对于一般坐标系，连这个特例都没有了。 ”
现在我们讨论Euclidean空间，采用正交直角坐标系，形式上是一样的，本质当然不一样。
所以是否一样，取决于讨论形式还是本质。说一样，没有错，说不一样，更没有错：）
yinhow：
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问题：
1）实数轴上（全部或区间）生活着形形式式的函数，可谓千千万万，万万千千。它们组成什么样的空间，如何划分和细分？如何用线性代数和几何的语言来描述他们？
2）TAYLOR级数展开，我可以把（1,x,x^2, x^3,...）看作是一组矢量基，那么它的对偶矢量是什么，内积怎么定义？
星空浩淼：
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“1）实数轴上（全部或区间）生活着形形式式的函数，可谓千千万万，万万千千。它们组成什么样的空间，如何划分和细分？如何用线性代数和几何的语言来描述他们？”
这个，应该在泛函分析中有研究。物理上比较感兴趣的是Hilbert空间，即完备的内积空间。以函数作为研究对象，以函数构成各种空间中的元素。此时的“线性代数”是线性泛函吧。
“2）TAYLOR级数展开，我可以把（1,x,x^2, x^3,...）看作是一组矢量基，那么它的对偶矢量是什么，内积怎么定义？”
TAYLOR级数展开中，要用一些积分来描述不同基底之间的正交性，这些积分其实就是内积表达式。还有傅立叶级数展开也类似。如果把（1,x,x^2, x^3,...）看作是一组基（不一定是矢量基），估计它的对偶基还是它本身。
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其实我说的跟风兄说的“逆变和协变的区别应该是向量空间V与其对偶空间V*的差别吧”这个意思类似，用向量空间V的基矢与其对偶空间V* 的基矢之间的内积来定义度规，有了度规，定义逆变和协变也好，表达空间距离也好，都很方便。在微分几何中，扮演向量空间V的基矢与其对偶空间V*的基矢角色的，往往就是两种微分符号（我忘了叫什么名字，不知是不是“微分”与“余微分”？）。在我看来，这就是引入两种微分符号的意图，仍然是为了能够定义内积（或张量缩并运算）。“即使在欧氏空间，这个区别仍然存在。”关于这个，一般物理教材的开头，先要作一些符号约定。对于时空坐标，如果第四维时间采用实数的，就要给出度规张量的约定，因为此时矢量有逆变协变之分；但是如果第四维采用虚数时间，就用不着了，因为此时的伪欧式空间（因为第四维坐标是虚数的不是实数的，所以不是真正的欧式空间）中的矢量，没有逆变协变之分。
弱力三千：
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“即使在欧氏空间，这个区别仍然存在。”
关于这个，一般物理教材的开头，先要作一些符号约定。对于时空坐标，如果第四维时间采用实数的，就要给出度规张量的约定，因为此时矢量有逆变协变之分；但是如果第四维采用虚数时间，就用不着了，因为此时的伪欧式空间（因为第四维坐标是虚数的不是实数的，所以不是真正的欧式空间）中的矢量，没有逆变协变之分。
采用虚时间后：
“η_μν=diag（1， 1， 1， 1），所以此时的变换和Euclidean空间（Descartes坐标系下）的变换一样。
而对于一般坐标系，连这个特例都没有了。 ”
现在我们讨论Euclidean空间，采用正交直角坐标系，形式上是一样的，本质当然不一样。
所以是否一样，取决于讨论形式还是本质。说一样，没有错，说不一样，更没有错：）
yinhow：
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问题：
1）实数轴上（全部或区间）生活着形形式式的函数，可谓千千万万，万万千千。它们组成什么样的空间，如何划分和细分？如何用线性代数和几何的语言来描述他们？
2）TAYLOR级数展开，我可以把（1,x,x^2, x^3,...）看作是一组矢量基，那么它的对偶矢量是什么，内积怎么定义？
星空浩淼：
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“1）实数轴上（全部或区间）生活着形形式式的函数，可谓千千万万，万万千千。它们组成什么样的空间，如何划分和细分？如何用线性代数和几何的语言来描述他们？”
这个，应该在泛函分析中有研究。物理上比较感兴趣的是Hilbert空间，即完备的内积空间。以函数作为研究对象，以函数构成各种空间中的元素。此时的“线性代数”是线性泛函吧。
“2）TAYLOR级数展开，我可以把（1,x,x^2, x^3,...）看作是一组矢量基，那么它的对偶矢量是什么，内积怎么定义？”
TAYLOR级数展开中，要用一些积分来描述不同基底之间的正交性，这些积分其实就是内积表达式。还有傅立叶级数展开也类似。如果把（1,x,x^2, x^3,...）看作是一组基（不一定是矢量基），估计它的对偶基还是它本身。
季候风
：
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1）研究什么样的函数空间取决于你的目的。所有函数组成线性空间，加法和数乘都是点点定义的。还可以做点点乘法，使函数空间成为一个函数代数。这个函数空间由于不具有有趣的拓扑结构，所以没有什么用。
实数上有 Lebesgue 测度，所以可以定义 Lp 空间，即 p 次可积函数空间。其中 L2 是一个 Hilbert 空间，其它只是Banach 空间。L1 上有卷积代数。
闭区间 [a,b] 上有所有连续函数组成的空间 C[a,b]. 其上有自然的范数，最大绝对值范数。在这个范数下成为Banach 空间。
顺便说一句，Hilbert 空间， Banach 空间都是完备距离空间。我们总是希望一个距离空间是完备的，这样才能比较自由地取极限。
k 次可微函数空间 C^k[a,b] 不管作为 Lp[a,b] 的子空间还是 C[a,b] 的子空间都是不完备的。更小的子空间是紧支集无穷次可微函数空间C_0^infinity。但就是这个非常小的子空间，仍然在 Lp 和 C[a,b] 里稠密。
除了 L2 空间以外，还有其它的 Hilbert 空间，就是一系列的 Sobolev 空间，这些空间是关于 k 次可微函数空间的自然完备化。
关于函数空间的理论是实分析和泛函分析的内容。现代实分析本质上是研究测度空间上的函数空间的理论，很大一部分推动力来自于对 Fourier 分析的深入研究。泛函分析研究拓扑结构和线性结构结合在一起引起的有趣的现象。当然， 推广的 Fourier 分析也是泛函分析的主要成果之一。
2） {1, x, x^2, ...} 是多项式空间的基。区间[a,b] 上的多项式空间 P[a,b] 关于最大值范数的完备化就是连续函数空间 C[a,b]. 连续函数空间的对偶空间是所谓“有界变差函数空间”，有界变差函数就是两个单调函数的差。因为单调函数对应于分布，所以一个有界变差函数实际上是一个测度。所以更方便的观点就是，连续函数空间的对偶空间是一些满足一定条件的测度（有界变差测度）构成的空间 M[a,b] 。不同的测度给出不同的积分，所以这也复合直观印象，即积分（定积分）是函数空间上的线性泛函。多项式空间 P[a,b] 的对偶空间是比 M[a,b] 更大的空间，但是我不知道究竟是什么空间。Taylor 展开所涉及的极限过程（一致收敛）就是在 C[a,b] 里面的收敛。
多项式空间P[a,b]上可以定义 L2 内积或者 Sobolev 内积。
有一点值得强调的就是，很多拓扑向量空间并不是Hilbert 空间。比如有界变差测度空间 M[a,b] 就不是 Hilbert 空间。
总结一下， C[a,b]* = M[a,b], Lp* = Lq where 1/p + 1/q =1, 特别的，L2* = L2.
P[a,b]* = ?? （更多测度的空间？） > M[a,b]
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1）研究什么样的函数空间取决于你的目的。所有函数组成线性空间，加法和数乘都是点点定义的。还可以做点点乘法，使函数空间成为一个函数代数。这个函数空间由于不具有有趣的拓扑结构，所以没有什么用。
实数上有 Lebesgue 测度，所以可以定义 Lp 空间，即 p 次可积函数空间。其中 L2 是一个 Hilbert 空间，其它只是Banach 空间。L1 上有卷积代数。
闭区间 [a,b] 上有所有连续函数组成的空间 C[a,b]. 其上有自然的范数，最大绝对值范数。在这个范数下成为Banach 空间。
顺便说一句，Hilbert 空间， Banach 空间都是完备距离空间。我们总是希望一个距离空间是完备的，这样才能比较自由地取极限。
k 次可微函数空间 C^k[a,b] 不管作为 Lp[a,b] 的子空间还是 C[a,b] 的子空间都是不完备的。更小的子空间是紧支集无穷次可微函数空间C_0^infinity。但就是这个非常小的子空间，仍然在 Lp 和 C[a,b] 里稠密。
除了 L2 空间以外，还有其它的 Hilbert 空间，就是一系列的 Sobolev 空间，这些空间是关于 k 次可微函数空间的自然完备化。
关于函数空间的理论是实分析和泛函分析的内容。现代实分析本质上是研究测度空间上的函数空间的理论，很大一部分推动力来自于对 Fourier 分析的深入研究。泛函分析研究拓扑结构和线性结构结合在一起引起的有趣的现象。当然， 推广的 Fourier 分析也是泛函分析的主要成果之一。
2） {1, x, x^2, ...} 是多项式空间的基。区间[a,b] 上的多项式空间 P[a,b] 关于最大值范数的完备化就是连续函数空间 C[a,b]. 连续函数空间的对偶空间是所谓“有界变差函数空间”，有界变差函数就是两个单调函数的差。因为单调函数对应于分布，所以一个有界变差函数实际上是一个测度。所以更方便的观点就是，连续函数空间的对偶空间是一些满足一定条件的测度（有界变差测度）构成的空间 M[a,b] 。不同的测度给出不同的积分，所以这也复合直观印象，即积分（定积分）是函数空间上的线性泛函。多项式空间 P[a,b] 的对偶空间是比 M[a,b] 更大的空间，但是我不知道究竟是什么空间。Taylor 展开所涉及的极限过程（一致收敛）就是在 C[a,b] 里面的收敛。
多项式空间P[a,b]上可以定义 L2 内积或者 Sobolev 内积。
有一点值得强调的就是，很多拓扑向量空间并不是Hilbert 空间。比如有界变差测度空间 M[a,b] 就不是 Hilbert 空间。
总结一下， C[a,b]* = M[a,b], Lp* = Lq where 1/p + 1/q =1, 特别的，L2* = L2.
P[a,b]* = ?? （更多测度的空间？） > M[a,b]
StChenhua
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除了一些变态函数，各Lp空间应该是一种分类方式吧，这是Banach空间，适当定义了内积又有很多Hilbert空间，还有最普通的vector space。再说同样的集合定义了不同的元素间关系或操作又会生成不同的代数结构，所以这个三两句没办法说得清吧。是不是应该先定义好内积才能定义对偶基？
季候风：
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在量子力学的数学理论中，比较重要的除了 L2 空间，就是 Schwartz 空间 S （速降函数空间）及其对偶 S* （space of tempered distributions, 暂且翻译为“调和分布空间”吧 ）。
S 里面的元素就是“波包”， 在无穷远极快趋于零的函数，S* 包含一些物理里很重要的函数，比如平面波 e^{i kx}， 常数函数，delta 函数，当然它也包含一些更抽象的元素。
Fourier 变换最自然的定义域是 L2, 但是经过 Schwartz 和其它人的努力，现在 Fourier 变换可以定义在 S* 上。就是说，虽然对所有平面波的积分即使在西赛罗意义上也是发散的，但是我们的确可以严格地定义什么叫常数 1 的 Fourier 变换，而且证明它就是 delta.
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除了一些变态函数，各Lp空间应该是一种分类方式吧，这是Banach空间，适当定义了内积又有很多Hilbert空间，还有最普通的vector space。再说同样的集合定义了不同的元素间关系或操作又会生成不同的代数结构，所以这个三两句没办法说得清吧。是不是应该先定义好内积才能定义对偶基？
季候风：
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在量子力学的数学理论中，比较重要的除了 L2 空间，就是 Schwartz 空间 S （速降函数空间）及其对偶 S* （space of tempered distributions, 暂且翻译为“调和分布空间”吧 ）。
S 里面的元素就是“波包”， 在无穷远极快趋于零的函数，S* 包含一些物理里很重要的函数，比如平面波 e^{i kx}， 常数函数，delta 函数，当然它也包含一些更抽象的元素。
Fourier 变换最自然的定义域是 L2, 但是经过 Schwartz 和其它人的努力，现在 Fourier 变换可以定义在 S* 上。就是说，虽然对所有平面波的积分即使在西赛罗意义上也是发散的，但是我们的确可以严格地定义什么叫常数 1 的 Fourier 变换，而且证明它就是 delta.
季候风：
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“除了一些变态函数，各Lp空间应该是一种分类方式吧，这是Banach空间，适当定义了内积又有很多Hilbert空间，还有最普通的 vector space。再说同样的集合定义了不同的元素间关系或操作又会生成不同的代数结构，所以这个三两句没办法说得清吧。是不是应该先定义好内积才能定义对偶基？”
“分类方式” 是什么意思？ 只有 L2 是 Hilbert 空间，其它 Lp 都不是。Hilbert 空间是全凸的 Banach 空间，满足平行四边形恒等式。
对偶空间要么是从纯线性的角度定义的，要么包含了拓扑信息。拓扑向量的空间的对偶空间定义为其上所有“连续”线性泛函的空间。这里引号表示强调。
要说对偶概念跟内积有关系，那就是，内积定义了范数，范数又定义了距离，距离定义了拓扑，从而定义了什么叫“连续”。另外就是，完备内积空间 H （就是 Hilbert 空间）的对偶空间 H* 与 H 有自然的反线性同构，就是说，每个向量都自然可以看做是一个连续线性泛函。这可能是为什么长期与 Hilbert 空间打交道的物理学家会觉得“对偶”和“内积”是一回事。
StChenhua ：
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嘿嘿我回的是yinhow兄和星空兄的帖子，不过晚了一步。要说对偶概念跟内积有关系，那就是，内积定义了范数，范数又定义了距离，距离定义了拓扑。
这是实用的观点吧。看书有不懂的地方，还得问季候风老师几个问题^_^。dual space 是否只能对Banach空间定义？或者在某范数下非完备的空间是否也可以定义dual？另外yinhow兄的帖子里说的是dual basis，这是GR中用内积定义的吗？还是对偶空间的基？
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“除了一些变态函数，各Lp空间应该是一种分类方式吧，这是Banach空间，适当定义了内积又有很多Hilbert空间，还有最普通的 vector space。再说同样的集合定义了不同的元素间关系或操作又会生成不同的代数结构，所以这个三两句没办法说得清吧。是不是应该先定义好内积才能定义对偶基？”
“分类方式” 是什么意思？ 只有 L2 是 Hilbert 空间，其它 Lp 都不是。Hilbert 空间是全凸的 Banach 空间，满足平行四边形恒等式。
对偶空间要么是从纯线性的角度定义的，要么包含了拓扑信息。拓扑向量的空间的对偶空间定义为其上所有“连续”线性泛函的空间。这里引号表示强调。
要说对偶概念跟内积有关系，那就是，内积定义了范数，范数又定义了距离，距离定义了拓扑，从而定义了什么叫“连续”。另外就是，完备内积空间 H （就是 Hilbert 空间）的对偶空间 H* 与 H 有自然的反线性同构，就是说，每个向量都自然可以看做是一个连续线性泛函。这可能是为什么长期与 Hilbert 空间打交道的物理学家会觉得“对偶”和“内积”是一回事。
StChenhua ：
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嘿嘿我回的是yinhow兄和星空兄的帖子，不过晚了一步。要说对偶概念跟内积有关系，那就是，内积定义了范数，范数又定义了距离，距离定义了拓扑。
这是实用的观点吧。看书有不懂的地方，还得问季候风老师几个问题^_^。dual space 是否只能对Banach空间定义？或者在某范数下非完备的空间是否也可以定义dual？另外yinhow兄的帖子里说的是dual basis，这是GR中用内积定义的吗？还是对偶空间的基？
季候风：
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在很多范畴里都可以谈论对偶空间。
比如线性范畴，也就是我们只考虑线性空间及它们之间的线性映射，那么任一线性空间 V, 可以定义对偶空间 V* 为 V 上所有线性函数的空间。这种定义一般会在代数研究中采用。比如量子群，它跟自己的线性对偶就有很多代数上的紧密联系。
在拓扑线性空间范畴，也就是我们考虑带有相容拓扑结构的线性空间及它们之间的连续线性映射，那么正如我说，对偶空间定义为连续线性函数空间。在这个范畴里，线性函数一般被叫做线性泛函，因为考察的多半是函数空间，函数空间上的函数传统上称为泛函。
如果能在这里画个图，我就能说清楚这些空间之间的关系。应该可以安全的说，拓扑向量空间范畴包含了绝大部分应用于其它学科的空间。 线性赋范空间，不管完备与否，都是拓扑向量空间，因而都能定义对偶空间。
相对论是有限维流形上的理论，那些张量都是有限维空间上的张量。在有限维，线性范畴和线性拓扑范畴没有区别。有限维空间都可以看做实内积空间，而且是完备的。就像我之前的帖子说过，完备内积空间的对偶空间可以等同于自身，这种情况，一个线性函数 f 在向量 v 上取值相当于 f 所对应的向量 w_f 与 v 做内积， f(v) = (w_f, v). 广义相对论中带有下指标的都是余切空间的元素在对偶自然基底下的坐标， 带有上指标的是切空间的元素在自然基底下的坐标。度量就是以光滑方式给每一点的切空间一个内积，有了这个内积，切空间和其对偶，余切空间，有一个自然同构，这个同构在坐标上的反应就是指标的升降。比如，本来 v^i 是一个切向量 v 在自然基底下的坐标，那么 g_{ij} v^i 是一个带有下指标的量，就是 v 所对应的余切向量 f_v 在对偶自然基底下的坐标。
说着说着忘记了原来的问题，yinhow 那个问题是关于无穷维空间的，与 GR 没什么关系 。
不好意思，刚刚意识到同时有三个人在回 yinhow 的帖子（说明 yinhow 的问题问得好）。之前一直没注意，有点自说自话。
补充一下，在无穷维空间，通常难以找到一组基。Hilbert 空间是非常好的结构，以至于我们很容易找到规范正交基，但是这个基并不是代数基，为了强调这个区别，一般我们把它叫“Hilbert 基” 或者 “规范正交基”。
to yinhow: 对偶是“空间”范畴到自身的函子，一般我们不能谈论一个矢量的对偶，只能谈论一个空间的对偶。只有在 Hilbert 空间的情况，才能谈论矢量的对偶，就是这个矢量在由内积决定的与对偶空间的自然同构下的像。多项式空间上虽然可以定义内积，但是它并不完备，所以不是 Hilbert 空间，不能谈论矢量的对偶。
to StChenhua: 在无穷维，对偶基的概念可能不是那么重要，因为无穷维空间的对偶空间的“维数”可能比原来的空间大，所以很难谈论“对偶”基。
to 星空浩淼： 在 Taylor 理论中，讨论一致收敛性，所以最大值范数决定的拓扑是重要的。内积定义的拓扑也非常自然，但是它在 Fourier 理论中起着更本质的作用。
星空浩淼：
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谢谢风兄，可以说把该说的都说到了，而且简明扼要。我对泛函内容的一些记忆，也因为你后来的一些帖子而有所恢复（毕竟才丢下两年），呵呵！
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在很多范畴里都可以谈论对偶空间。
比如线性范畴，也就是我们只考虑线性空间及它们之间的线性映射，那么任一线性空间 V, 可以定义对偶空间 V* 为 V 上所有线性函数的空间。这种定义一般会在代数研究中采用。比如量子群，它跟自己的线性对偶就有很多代数上的紧密联系。
在拓扑线性空间范畴，也就是我们考虑带有相容拓扑结构的线性空间及它们之间的连续线性映射，那么正如我说，对偶空间定义为连续线性函数空间。在这个范畴里，线性函数一般被叫做线性泛函，因为考察的多半是函数空间，函数空间上的函数传统上称为泛函。
如果能在这里画个图，我就能说清楚这些空间之间的关系。应该可以安全的说，拓扑向量空间范畴包含了绝大部分应用于其它学科的空间。 线性赋范空间，不管完备与否，都是拓扑向量空间，因而都能定义对偶空间。
相对论是有限维流形上的理论，那些张量都是有限维空间上的张量。在有限维，线性范畴和线性拓扑范畴没有区别。有限维空间都可以看做实内积空间，而且是完备的。就像我之前的帖子说过，完备内积空间的对偶空间可以等同于自身，这种情况，一个线性函数 f 在向量 v 上取值相当于 f 所对应的向量 w_f 与 v 做内积， f(v) = (w_f, v). 广义相对论中带有下指标的都是余切空间的元素在对偶自然基底下的坐标， 带有上指标的是切空间的元素在自然基底下的坐标。度量就是以光滑方式给每一点的切空间一个内积，有了这个内积，切空间和其对偶，余切空间，有一个自然同构，这个同构在坐标上的反应就是指标的升降。比如，本来 v^i 是一个切向量 v 在自然基底下的坐标，那么 g_{ij} v^i 是一个带有下指标的量，就是 v 所对应的余切向量 f_v 在对偶自然基底下的坐标。
说着说着忘记了原来的问题，yinhow 那个问题是关于无穷维空间的，与 GR 没什么关系 。
不好意思，刚刚意识到同时有三个人在回 yinhow 的帖子（说明 yinhow 的问题问得好）。之前一直没注意，有点自说自话。
补充一下，在无穷维空间，通常难以找到一组基。Hilbert 空间是非常好的结构，以至于我们很容易找到规范正交基，但是这个基并不是代数基，为了强调这个区别，一般我们把它叫“Hilbert 基” 或者 “规范正交基”。
to yinhow: 对偶是“空间”范畴到自身的函子，一般我们不能谈论一个矢量的对偶，只能谈论一个空间的对偶。只有在 Hilbert 空间的情况，才能谈论矢量的对偶，就是这个矢量在由内积决定的与对偶空间的自然同构下的像。多项式空间上虽然可以定义内积，但是它并不完备，所以不是 Hilbert 空间，不能谈论矢量的对偶。
to StChenhua: 在无穷维，对偶基的概念可能不是那么重要，因为无穷维空间的对偶空间的“维数”可能比原来的空间大，所以很难谈论“对偶”基。
to 星空浩淼： 在 Taylor 理论中，讨论一致收敛性，所以最大值范数决定的拓扑是重要的。内积定义的拓扑也非常自然，但是它在 Fourier 理论中起着更本质的作用。
星空浩淼：
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谢谢风兄，可以说把该说的都说到了，而且简明扼要。我对泛函内容的一些记忆，也因为你后来的一些帖子而有所恢复（毕竟才丢下两年），呵呵！
yinhow：
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“常常直接用集合{dx}和{δ/δx}分别作为协变矢量和逆变矢量的坐标基。”如果在“函数空间”，这些可以写成{δ /δf(x)}和{δf(x)}? 譬如说一个RIEMANN面上所有度规（函数）组成的空间，我们考虑度规的变化与什么量有关，有无拓扑限制？
“要说对偶概念跟内积有关系，那就是，内积定义了范数，范数又定义了距离，距离定义了拓扑，从而定义了什么叫“连续”。”按我的理解，两个函数的内积，I(f,g)=I(f*g), 一种可能的情况是乘起来再积分。这里*是普通的乘法，和加法在一起，满足交换结合律。如果*不是普通的乘法，如Morita(?)乘法，后面的范数，距离，拓扑等，有无根本性的变化？
季候风：
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“如果在“函数空间”，这些可以写成{δ/δf(x)}和{δf(x)}? 譬如说一个RIEMANN面上所有度规（函数）组成的空间，我们考虑度规的变化与什么量有关，有无拓扑限制？”
可以像由一块一块的欧氏空间粘起来构造有限维流形那样，用一块一块的拓扑向量空间（流形的模型空间）粘起来构造无穷维流形。注意到微分不过是映射的线性化，只需要线性结构就能定义可微性。所以原则上来说可以以同样的方式定义什么叫无穷维微分流形，这里可能会面对一些技术细节问题，就不细说了。
如果模型空间是一个函数空间 H，那么的确可以谈论“切向量” 。与有限维不同的是，函数空间很难确定一组基，所以在局部坐标系（一个扭曲的 H 的一部分）中，切向量没有 {d/dx_i} 这组自然基底。某一点的一个切向量就是一族在该点“相切”的曲线。你们搞物理的应该很习惯这个看法，把曲线对其参数做Taylor展开，线性项的“系数” 就是这个切向量。这个“系数”实际上是一个 H （作为平直的线性空间）中的元素（一个函数）。这其实不过是一般变分方法的形式化而已。
无穷维流形上的微分（余切向量）肯定不是 df, 因为 f 现在是流形的局部坐标系 （H）里面的东西，而不是流形上的函数。我们不如用 F （以纪念 Floer）来记流形上的函数，就是从流形到实数（复数）的映射，按传统的说法，这个 F 是泛函。那么 delta F 就是一个余切向量（如果是 Banach 流形，余切空间跟切空间的性质将非常不同。比如如果我们以 C[a,b] 为模型构造无穷维流形，那么一个余切向量就是一个测度 M_F） 。
现在来看方向导数，即，泛函 F 沿 f 方向的变化率。这个变化率是 delta F ( f ) = M_F (f). 测度怎么作为线性泛函？通过积分。测度可以粗略等价为积分核，所以我们看到，传统意义上的“泛函变分导数” 就是这个“积分核”。但是很多测度不是对 Lebesgue 测度绝对连续的，或者换句话说，很多测度没有“密度”，它们不能通过真正的积分核实现。其中一个例子就是delta 函数对应的测度，这个测度没有真正的密度函数，它的密度是 delta. 这时候“泛函变分导数”就不能表示为一个函数，而只能保持测度（或者分布）的形式。
度规的空间是一个线性空间（对称二阶张量场组成的空间）里的凸集，所以本质上是线性的。对于这个空间，以上这些东西都没有必要。就像我们考虑实数域或者复数域或者高维欧氏空间上的分析，当然用不着切空间啊什么的。但是如果我们考虑 Einstein 方程的解空间上的几何和分析，我们就需要以上概念了。
还有一些理论在解运动方程之前面对的就是非线性无穷维空间，比如非线性 sigma 模型。对这个理论做数学上的研究就需要无穷维流形的概念。 “‘要说对偶概念跟内积有关系，那就是，内积定义了范数，范数又定义了距离，距离定义了拓扑，从而定义了什么叫“连续”’。 按我的理解，两个函数的内积，I(f,g)=I(f*g), 一种可能的情况是乘起来再积分。这里*是普通的乘法，和加法在一起，满足交换结合律。如果*不是普通的乘法，如Morita(?)乘法，后面的范数，距离，拓扑等，有无根本性的变化？”
如果你是专门关心 Morita 乘法对内积的影响，那么我不知道。首先你必须定义什么叫对一个函数系数的形式幂级数的积分（如果我没有搞错 Morita 乘法的定义的话）。
如果你是想知道不同的内积对于拓扑的影响，那么答案是，的确有影响。比如光滑函数的空间，可以定义 L2 内积和 Sobolev 内积，它们所诱导的拓扑不一样。L2 拓扑更“细”，也就是，有更多开集，或者说，在 L2 拓扑下更难以收敛。
星空浩淼：
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呵呵，小王盖的这栋搂，是这里的又一个经典。希望昌海兄有办法把这里很有学术价值的原创贴及其精彩讨论，让我们可以打包下载:-)
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“常常直接用集合{dx}和{δ/δx}分别作为协变矢量和逆变矢量的坐标基。”如果在“函数空间”，这些可以写成{δ /δf(x)}和{δf(x)}? 譬如说一个RIEMANN面上所有度规（函数）组成的空间，我们考虑度规的变化与什么量有关，有无拓扑限制？
“要说对偶概念跟内积有关系，那就是，内积定义了范数，范数又定义了距离，距离定义了拓扑，从而定义了什么叫“连续”。”按我的理解，两个函数的内积，I(f,g)=I(f*g), 一种可能的情况是乘起来再积分。这里*是普通的乘法，和加法在一起，满足交换结合律。如果*不是普通的乘法，如Morita(?)乘法，后面的范数，距离，拓扑等，有无根本性的变化？
季候风：
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“如果在“函数空间”，这些可以写成{δ/δf(x)}和{δf(x)}? 譬如说一个RIEMANN面上所有度规（函数）组成的空间，我们考虑度规的变化与什么量有关，有无拓扑限制？”
可以像由一块一块的欧氏空间粘起来构造有限维流形那样，用一块一块的拓扑向量空间（流形的模型空间）粘起来构造无穷维流形。注意到微分不过是映射的线性化，只需要线性结构就能定义可微性。所以原则上来说可以以同样的方式定义什么叫无穷维微分流形，这里可能会面对一些技术细节问题，就不细说了。
如果模型空间是一个函数空间 H，那么的确可以谈论“切向量” 。与有限维不同的是，函数空间很难确定一组基，所以在局部坐标系（一个扭曲的 H 的一部分）中，切向量没有 {d/dx_i} 这组自然基底。某一点的一个切向量就是一族在该点“相切”的曲线。你们搞物理的应该很习惯这个看法，把曲线对其参数做Taylor展开，线性项的“系数” 就是这个切向量。这个“系数”实际上是一个 H （作为平直的线性空间）中的元素（一个函数）。这其实不过是一般变分方法的形式化而已。
无穷维流形上的微分（余切向量）肯定不是 df, 因为 f 现在是流形的局部坐标系 （H）里面的东西，而不是流形上的函数。我们不如用 F （以纪念 Floer）来记流形上的函数，就是从流形到实数（复数）的映射，按传统的说法，这个 F 是泛函。那么 delta F 就是一个余切向量（如果是 Banach 流形，余切空间跟切空间的性质将非常不同。比如如果我们以 C[a,b] 为模型构造无穷维流形，那么一个余切向量就是一个测度 M_F） 。
现在来看方向导数，即，泛函 F 沿 f 方向的变化率。这个变化率是 delta F ( f ) = M_F (f). 测度怎么作为线性泛函？通过积分。测度可以粗略等价为积分核，所以我们看到，传统意义上的“泛函变分导数” 就是这个“积分核”。但是很多测度不是对 Lebesgue 测度绝对连续的，或者换句话说，很多测度没有“密度”，它们不能通过真正的积分核实现。其中一个例子就是delta 函数对应的测度，这个测度没有真正的密度函数，它的密度是 delta. 这时候“泛函变分导数”就不能表示为一个函数，而只能保持测度（或者分布）的形式。
度规的空间是一个线性空间（对称二阶张量场组成的空间）里的凸集，所以本质上是线性的。对于这个空间，以上这些东西都没有必要。就像我们考虑实数域或者复数域或者高维欧氏空间上的分析，当然用不着切空间啊什么的。但是如果我们考虑 Einstein 方程的解空间上的几何和分析，我们就需要以上概念了。
还有一些理论在解运动方程之前面对的就是非线性无穷维空间，比如非线性 sigma 模型。对这个理论做数学上的研究就需要无穷维流形的概念。 “‘要说对偶概念跟内积有关系，那就是，内积定义了范数，范数又定义了距离，距离定义了拓扑，从而定义了什么叫“连续”’。 按我的理解，两个函数的内积，I(f,g)=I(f*g), 一种可能的情况是乘起来再积分。这里*是普通的乘法，和加法在一起，满足交换结合律。如果*不是普通的乘法，如Morita(?)乘法，后面的范数，距离，拓扑等，有无根本性的变化？”
如果你是专门关心 Morita 乘法对内积的影响，那么我不知道。首先你必须定义什么叫对一个函数系数的形式幂级数的积分（如果我没有搞错 Morita 乘法的定义的话）。
如果你是想知道不同的内积对于拓扑的影响，那么答案是，的确有影响。比如光滑函数的空间，可以定义 L2 内积和 Sobolev 内积，它们所诱导的拓扑不一样。L2 拓扑更“细”，也就是，有更多开集，或者说，在 L2 拓扑下更难以收敛。
星空浩淼：
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呵呵，小王盖的这栋搂，是这里的又一个经典。希望昌海兄有办法把这里很有学术价值的原创贴及其精彩讨论，让我们可以打包下载:-)
Anna§索菲亚 在 2011-09-27
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