微分方程可分為動態方程,動態方面, 比如說Navier Stoke’s,Euler 方程

微

分方程可分為動態方程和

靜

態方程。動態方面, 比如說Navier Stoke’s

方

程或Euler 方程, 一般動態方程是很難的

問題, 然而我們天天遇到的都是動態問題

丘

成桐院士演講:

偏

微分方程的方法

時

間: 81年5月29日

地

點:國立中央大學數學系

記

錄:鄭宗琳

我

今天要用通俗一點的方式來講偏微分

方

程的方法; 首先, 什麼是偏微分方程呢? 其

實

微分方程有好幾種, 基本上是由物理上的

定

律或基本物理到應用時的方程; 有些則來

自

工程或幾何上; 較靜態者尚有源自數論的。

是

以不同的學科產生不同的微分方程。

微

分方程的來源直接影響方法; 由於微

分

方程自己的方法可以解決很多物理上的問

題

, 所以很多物理學家或研究工程方面的人

會

找數學家來討論微分方程。但是, 有時我們

無法

單靠自己的想像和抽象的方法來解決那

個

微分方程的定律所支配的物理(或幾何) 的

現

象, 因為微分方程的方法大半和其來源有

關

, 所以了解物理(或幾何) 現象有助於解決

該

微分方程。微分方程的方法無法完全由數

學

用抽象的方法導出。

(

一) 動態(dynamics) 和靜

態

(statics) 方程

一

般而言, 微分方程可分為動態方程和

靜

態方程。動態方面, 比如說Navier Stoke’s

方

程或Euler 方程, 一般動態方程是很難的

問

題, 然而我們天天遇到的都是動態問題。我

個人對

於靜態方面的問題較熟悉, 靜態問題

主

要在研究有些東西在平衡(equilibrium)

時的狀

況。

動

態方程有時間因素在裡頭, 如下列方

程

(1):

f

t = F(t, f) (1)

這

方程雖和時間有關, 但只要令ft = 0,

則可

得到一個新的方程, 這是較簡單的設法。

有時

候, 我們毋須如此做, 可以引進一「極限

環

」(limit cycle) 的觀念: 設有一個軌道(orbit),

當

ft 6= 0 時, 若時間夠長, 這軌道會

不

停的轉; 如果它慢慢地向某一軌道趨近, 如

圖

(a), (1) 變成一個和時間無關的方程, 此

方

程就機率上而言只和f 本身有關。吾人可

由此極

限環得到一個平衡狀態的方程。

1

2

數學傳播十七卷二期民82年6月

(a)

研究動態方程十分有助