Newton
力学建立在运动系统的构形空间———Riemann 流形上, Lagrange 力学建立在它的切
文章编号
:1000-0887(2001) 04-0393-11
Newton-Riemann
时空中的动力学( Ⅳ)
X
张荣业
(
中国科学院数学研究所,北京100080)
(
钱伟长推荐)
摘要
: 讨论了Newton-Riemann 时空中的Lagrange 力学及其与N-R 时空中的Newton 力学及Hamilton
力学的关系·
关 键 词
: Riemann 流形; 切丛; 余切丛; 纤维丛; 纤维; 向量场; 形式场;
外微分
; 绝对微分; Lie 导数; 泛函; 变分
中图分类号
: O31311 文献标识码: A
引 言
Lagrange
力学是分析力学的重要组成部分,它是Newton 力学的推广·
Newton
力学建立在运动系统的构形空间———Riemann 流形上, Lagrange 力学建立在它的切
丛上
, Hamilton 力学建立在它的余切丛或辛流形上· 为了用Lagrange 力学的理论处理时间相
关的力学问题或非平稳的物理过程则不能在上述的切丛上考虑· 如构形空间是
Riemann 流形
M
n , TM
是切丛, T
3
M
是余切丛, 则一般作者在TM ×R 上建立Lagrange 力学, 在T
3
M
×R
上建立
Hamilton 力学· 我们以自然的方式在N-R 时空N = R1 ×Mn 及其切丛TN 和余切丛
T
3
N
上考虑上述相应的问题, 推广到更一般的情形得到更一般广泛深入的结果, 进一步可沟
通相对论力学· 这样
Riemann 流形Mn 上的动力学是N-R时空N = R1 ×Mn 中的动力学的特
殊情形·
本文主要研究
TN 上的Lagrange 力学及其与N 上的Newton 力学和T
3
N
上的Hamilton 力
学的关系
,并给出分析力学的现代数学方法· 可参阅[1～5 ]·
1
几何结构
时空
N = R1 ×Mn 的几何结构如( Ⅰ) 、( Ⅱ) (见: 应用数学和力学,2000 年21 卷7 期,
746
—754 页;2001 年22 卷4 期,373 —381 页) 中所述,为便于后面的叙述,再简述如下·
设
Mn 是具有度量g 及连络D 的n -维Riemann 流形,代表空间· R1 是具有度量g0 的1-
维
Riemann 流形,代表Newton 观点的时间· Newton-Riemann时空是积流形N = R1 ×Mn ( M3 =
R
3 ,则N = R1 ×R3 是通常的Newton- Galile 时空) 是n + 1 维Riemann 流形· 在局部坐标系
( I
×U ,ψ = i d ×φ) 下,
393
应用数学和力学
,第22 卷第4 期(2001 年4 月)
Applied Mathematics and Mechanics 应用数学和力学编委会编
重庆出版社出版
X
收稿日期: 1998-09-06 ; 修订日期: 2000-09-11
作者简介
: 张荣业(1938 —) ,男,广东开平人,研究员,研究方向:微分几何,微分方程.
© 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
P( t , x) ∈ I ×U < N , ψ: ( t , x) | →( t , x1 , ⋯, xn) , (1)
则
N 上的时空度量,在( I ×U ,ψ) 下为
.g = g0 + g = d t ª d t + gjkd xj ª d xk , (2)
P
( t , x) ∈N ,切空间
T( t , x) N ≈ TtR1 © TxM; (3)
余切空间
T
3
( t ,
x) N ≈ T
3
t
R
1 © T
3
x
M; (4)
切丛
TN = ∪
( t ,
x) ∈N
T
( t ,
x) N ; (5)
余切丛
T
3
N =
∪
( t ,
x) ∈N
T
3
( t ,
x) N· (6)
设
5/ 5 t ,5/ 5 xj n
j =
1 为TN 在I ×U 上的标架场,则每一向量场V ∈ X r ( N) 可表为
V = 5/ 5 t + vj ( t , x) 5/ 5 xj ;
d
t ,d xj n
j =
1 为T
3
N
在( I ×U) 上的标架场,则每一形式场ω ∈F 1 ( N) 在I ×U 上可表为
ω = αd t +βj d xj ;
( t ,
x) 是N 的点,则( t , x ,1 , v) 是TN 的点, ( t , x ,1 , p) 是T
3
N
的点·
设
Π: TN →N , ( t , x ,1 , v) | →( t , x) ,
Π3
: T
3
N
→N , ( t , x ,1 , p) | →( t , x)
是丛投影
, (Π- 1 ( I ×U) ,. ψ) 是TN 的局部坐标系,
.
ψ
: ( t ,
x ,1 , v) ∈Π- 1 ( I ×U) | →( t , x1 , ⋯, xn ,1 , v1 , ⋯, vn) ∈ Rn+1 ×Rn+1 ,
(
Π
3 - 1 ( I ×U) ,.ψ3
)
是T
3
N
的局部坐标系,
.
ψ
3
: ( t ,
x ,1 , p) ∈Π3 - 1 ( I ×U) | →( t , x1 , ⋯, xn ,1 , p1 , ⋯, pn) ∈ Rn+1 ×Rn+1 ,
N = R
1 ×Mn 是纤维丛: N →
Π
1
R
1 , ( t , x) | →
Π
1
t ,
P
t ∈ R1 ,纤维Π- 1
1
( t) = Nt , (也记作Mn
t
)
是n- 维Riemann 流形Mn
t
·
2
N-R 时空中的Lagrange 力学
设
I = [ t0 , t1 ] < R1 ,
γ: I →N , t | →( t , x ( t) ) ∈N (7)
是时空
N 中的曲线,称世界线,其全体记作Ck ( I , N) , k 是k 次连续可微·
γ
在TN 中的提升:
.γ: I → TN , t | →. γ( t) = ( t , x ( t) ,1 , Ûx ( t) ) ; (8)
在
T
3
N
中的提升:
.γ: I → T
3
N , t |
→. γ( t) = ( t , x ( t) ,1 , p ( t) ) ; (9)
映射
L : TN → T
3
N , ( t ,
x ,1 , v) | →( t , x ,1 , p) (10)
是丛同构
,且
.γ= L (. γ) · (11)
在局部坐标系
( I ×U ,ψ) 下,
γ( t) = ( t , x ( t) ) = ( t , x1 ( t) , ⋯, xn ( t) ) , (12)
394
张 荣 业
© 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved.
V = Û γ = (1 , Ûx ( t) ) = (1 , Ûx1 ( t) , ⋯, Ûx n ( t) ) = 5/ 5 t + Ûx j ( t) 5/ 5 xj ∈ Tγ( t) N , (13)
Vb = d t + gjk
Û
x
j
d xk = d t + pkd xk ∈ T
3
γ
( t) N , (
14)
且
Vb = L ( V) , pk = gjk
Û
x
j
· (15)
又
. γ( t) = ( t , x1 ( t) , ⋯, xn ( t) ,1 , Ûx 1 ( t) , ⋯, Ûx n ( t) ) = ( t , xj ( t) ,1 , Ûx j ( t) ) , (16)
.V = .γ
·
= (
1 , Ûx j ,0 , ¨xj) = 5/ 5 t + Ûx j5/ 5 xj + ¨xj5/ 5Ûxj ∈ T. γ( t) ( TN) , (17)
. γ( t) = ( t , x1 ( t) , ⋯, xn ( t) ,1 , p1 ( t) , ⋯, pn ( t) ) = ( t , xk ( t) ,1 , pk ( t) ) , (18)
.X = .γ
·
= (
1 , Ûx k ,0 , Ûpk) = 5/ 5 t + Ûx k5/ 5 xk + Ûpk
5
/ 5 pk ∈ T. γ( t) ( T
3
N) ; (
19)
.
γ
3
t = t
. .γ = t , .γ3
d
t = d.γ3
t =
d t ,
.
γ
3
x
= x . .γ = x ( t) , .γ3
d
x = d.γ3
x
= d x . .γ,
.
γ
3
v
= v . .γ = Ûx ( t) ,
.
γ
3
t = t
. .γ = t , .γ3
d
t = d.γ3
t =
d t ,
.
γ
3
x
= x . .γ = x ( t) , .γ3
d
x = d.γ3
x
= d x . .γ,
.
γ
3
p
= p . .γ = p ( t) , .γ3
d
p = d.γ3
p
= d p . .γ,
L
3
t = t
. L = t , L 3
1
= 1 . L = 1 ,
L
3
x
= x . L = x , L 3
p
k = pk
.
L = gjk
Û
x
j
;
(
20)
. γ( t) = L . . γ( t) = ( t , xk ( t) ,1 , gjk
Û
x
j
( t) ) = ( t , xk ( t) ,
1 , pk ( t) ) · (21)
单位质点在
Mn 中运动的动能
T =
〈
Vb , V〉
2
=
1
2
g ( V , V) =
1
2
gjkvjvk ; (22)
在
N 中运动的动能:
.T = .g ( .V , .V) / 2 =
〈
.Vb , .V〉
2
= T +
1
2
; (23)
势能
U = U( t , x) ,则总机械能E 与.E :
E = T + U = T + U +
1
2
-
1
2
= .E -
1
2
= .T + U -
1
2
, (24)
二者等效· 由
E =
〈
Vb , V〉
2
+ U =〈Vb , V〉-
〈
Vb , V〉
2
- U =
〈
Vb , V〉- L , L = T - U ,
于是
E . L - 1 ( t , x ,1 , p) = (〈Vb , V〉- L) . L - 1 ( t , x ,1 , p) =
glk pk pl - L . L - 1 ( t , x ,1 , p) = H( t , x ,1 , p) ∈F 0 ( T
3
N) ,
L ( t , x ,1 , v) = gjkvjvk - H . L ( t , x ,1 , v) = ( pkvk - H) . L ( t , x ,1 , v) , (25)
故
Ld t = ( pkd xk - Hd t) . L = θ. L , (26)
其中
L ∈F 0 ( TN) , ( ∈ Ck ( TN , R) ) , Ld t ∈F 1 ( TN) ·
又
.γ3
t = (
L . . γ)
3
t =
.γ 3L 3
t =
.γ 3
t = t ,
故
L . .γd t = .γ3
( L
d t) = .γ3
(
θ
. L) = θ. L . .γ = θ. .γ· (27)
如上
, γ ∈ Ck ( I , N) ,则.γ ∈ Ck - 1 ( I , TN) , .γ = L . .γ ∈ Cr ( I , T
3
N)
·
Newton-Riemann
时空中的动力学( Ⅳ) 395
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泛函
J (γ) =∫t1
t
0
L ( t ,
x ( t) ,1 , Ûx ( t) ) d t =∫t
t
0
L
. .γd t =∫t1
t
0
θ
. .γ, (28)
即
J (γ) =∫.γ
L
d t =∫.γ
θ
. L =∫.γ
θ
· (29)
这样
, J 是Ck ( I , N) 上的Cl 类泛函,分别表为1- 形式Ld t ∈F 1 ( TN) 及θ ∈F 1 ( T
3
N)
在曲
线
.γ < TN 及.γ < T
3
N
上的线积分· 设J 的定义域为
D ( J ) = γ ∈ Ck ( I , N) | γ( t0) = ( t0 , x0) ,γ( t1) = ( t1 , x1) ,
x0 = x ( t0) , x1 = x ( t1) ,固定·
下面考虑
J 的变分问题· N 是Riemann流形,不是特殊的Rn ,不能象在Rn 中那样,简单地
令
γs = γ + sh 而考虑J 的变分问题· 现考虑如下:
设曲线
γ ∈ Ck ( I , N) 全部位于坐标邻域I ×U 中,且端点固定· 不然,则取γ在I ×U
中的部分
,并固定这部分上的不同的两点为γ( t0) 、γ( t1) · γ在I ×U 中的这部分也是D ( J )
的元素· 设此曲线或其在
I ×U 中的部分, 在任意向量场u ≠cÛ γ产生的单参数微分同胚群
σ
s
s
∈I 作用下, 微小变形, 端点固定, 从而得到γs ( t) =σs
.
γ( t) = ( t + s , x . σs
.
γ( t) )
∈
D ( J ) , t + s ∈ I1
<
I ,则泛函J (γ) 变为
h ( s) = J (γs) · (30)
对每一固定的
t ∈ I 是s 的函数· 由微积分知,若它在s = 0 达到极值,则必须
d
d
s
h ( s)
s =
0
=
d
d
s
J (
γs)
s =
0
=
0· (31)
于是
0 =
d
d
s
J (
γs)
s =
0
=
∫t1
t
0
d
d
s
L
. .γs ( t)
s =
0
d
t , (32)
而
d
d
s
L
. .γs ( t) =
5
L
5
t
+
5
L
5
xj
5
xj . σs (γ( t) )
5
s
+
5
L
5
Ûx j
5
Ûx j . σs (γ( t) )
5
s
=
5
L
5
t
+ u
j (σs (γ( t) ) )
5
L
5
xj +
d
d
t
u
j (σs (γ( t) ) )
5
L
5
Ûxj =
L.u (γs
( t) )
L
. .γs ( t) , (33)
d
d
s
L
. .γs ( t)
s =
0
= L
.u (γ( t) ) L . . γ( t) , (34)
其中
.u = 5/ 5 t + uj5/ 5 xj +
d
uj
d
t
5
/ 5Ûx j ∈ X ( TN) , (35)
Π3 .u = u = 5/ 5 t + uj5/ 5 xj ∈ X ( N) , (36)
u
是σs 的无穷小生成元· 由(31) 、(32)
d
d
s
J (
γs)
s =
0
=
∫t1
t
0
L
.u (γ( t) ) L . . γ( t) d t = 0 , (37)
从而
L.u (. γ( t) ) L . . γ( t) = 0· (38)
定理
211 γ ∈D ( J ) 是泛函J 的平稳点(极值点) 若在γ上对任意向量场u ∈X r ( N) ,
u
≠ cÛ γ, L . .γ 关于向量.u ∈ X ( TN) 的Lie 导数为0 , c 是常数·
又
0 =
d
d
s
J (
γs)
s =
0
=
∫t1
t
0
5
L
5
t
+ u
j (γ( t) )
5
L
5
xj +
d
d
t
u
j (γ( t) )
5
L
5
Ûx j d t =
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张 荣 业
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∫t1
t
0
5
L
5
t
+
5
L
5
xj -
d
d
t
5
L
5
Ûx j uj (γ( t) ) d t +
5
L
5
Ûx
j
uj (γ( t) )
t
1
t
0
,
u
= 5/ 5 t + uj5/ 5 xj ∈X r ( N) 任意,且u ≠cÛ γ,γ在u 产生的变换群σs 作用下连续变形而
端点不变
,故在端点γ( t0) 、γ( t1) 、u (γ( t0) ) = u (γ( t1) ) = 0· 上式第二项为0· 故有
5
L . .γ
5
t
=
0 ,
5
L . .γ
5
xj -
d
d
t
5
L . .γ
5
xj = 0· (39)
5
L/ 5 t = 0 由时间均匀流逝引起· 它表明L 不显含t ,或显含t 而视t 不变· (39) 表明,对每
一固定的
t ∈ I1
<
I ,在N 的纤维Nt (也记作Mn
t
)
的切丛TMn
t
上.γ 也就是γ(在TN 中的提升)
应满足
Lagrange 方程,而要从L 导出Lagrange 方程只要视L 中的t 不变· 这对应着对每一瞬
时
t 的Newton 运动定律·
如所周知
,L-方程的解(曲线) 是泛函达到极值的γ ∈D ( J ) · 于是有
定理
212 J 的平稳点γ ∈D ( J ) 是L-方程的解·
定理
213 γ ∈D ( J ) 是J 的平稳点,若且仅若它是L-方程的解·
在力学上它表现为
:
定理
214 γ ∈ Ck ( I , N) 是一质点的运动轨线,若下述之一成立:
1
1γ ∈D ( J ) < Ck ( I , N) 是J 的平稳点;
2
1 在γ ∈D ( J ) 上, P u ∈ X r ( N) , u ≠ c Û γ, c = const ,
L.u (γ( t) ) L . .γ = 0 ;
3
1γ是L- 方程的解·
注意变换群
σs 把γ ∈ Ck ( I , N) 变为γs =σs (γ) ∈Cl ( I , N) , t + s ∈ I1
<
I· 对每一
固定的
t ∈ I ,σs (γ( t) ) 是过点γ( t) ∈ N 以s 为参数的曲线, 其切向量是u = 5/ 5 t + uj .
σ
s
(
γ( t) )
5/ 5 xj ∈ Tγs
( t) N· 当s = 0 时
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