黎曼幾何裏，兩點 p 和 q 之間可以有超過一條的路徑使得 E(x) 是極短的。

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幾何三十載

丘成桐
香港中文大學
數學科學研究所

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一個質點在空間的移動，可以由映射 x : [0,T]  R³ 來描述。它的速度向量是 ，它的動能是

。

給定空間中兩點 p 和 q ，我們考慮所有連接 p 和 q 的質點路徑，其中動能最小的路徑就是連結 p 和 q 的直線。

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假如量度速度向量時不用歐氏度量，而是用隨點變動的內積 <　>_x，我們還是可以定義動能

。

在空間每一點都可以變動的內積，即是說給出了黎曼度量，可以寫作一個張量 。

而上述的動能可以寫成

。

研究這種內積的幾何學叫做黎曼幾何，它推廣了歐氏幾何、雙曲幾何和橢圓幾何。

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在一般的黎曼幾何裏，兩點 p 和 q 之間可以有超過一條的路徑使得 E(x) 是極短的。

事實上這些路徑一定是測地線，從球上的北極到南極有無窮多條測地線。

一般來說，很多測地線不是 p 和 q 間最短的線，它們只是局部最短的，即是說在 [0,T] 的任意一個小的線段上是極短的。

在給定 p 和 q 時，我們考慮一個包括所有曲線的空間：

這個空間的拓樸性質可以由所有的從 p 到 q 的測地線和其上的Morse index 指標來決定（Morse 指標其實是縮短測地線長度的所有方向的維數），由_p,q 的拓樸可以推導空間本身的拓樸，這是Bott在古典群上的工作。

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在上述的討論裏，假如存在勢能(potential) V : M  R 則能量可以定義為

。

我們也可以類似的討論。

我們也可以讓 p = q ，並且不固定 p 的選取，這時可以得到所有從圓到 M 上的所有映射的空間，這個空間叫做 (M) 。

在研究粒子在固定空間 M 的量子化時，我們考慮 Feyman 積分

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由於每一條曲線可以用測地線組成的多邊形逼近，上述在 (M) 的積分可以用 Gauss 積分的方法得出它的值，它與 Laplace 算子的行列式有關。在 Rⁿ ， Laplace 算子的定義是

這個算子可以推廣到一般黎曼流形上。

它是幾何、拓樸和數學物理的一個重要橋樑。

在非線性方程的研究中，我們計算線性化算子。往往發現它是某種幾何的 Laplace 算子，因此非線性方程與幾何學有密切關係。

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Laplace 算子的譜在近代幾何起着極重要的作用。它們的乘積，通過重整化後就是 Laplacian 的行列式。現在來看 Laplace 算子的古典的處理方法。

我們來看一維空間的情形

所以

其中 ，當 y 很小時，f 可以看作 f 的平均值減 f 的值得出來的算子。

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一般來說， Laplace 算子可以看作將函數不斷採取平均值的一個算子。

一個古典問題：

在一個領域  的邊界上給定一個函數 f ，我們希望將 f 延拓到  裏，使得 極小，這叫 Dirichlet 邊值問題，這樣得到的 f 叫調和函數，它滿足  f = 0 。

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一個構造調和函數的方法為 Perron 方法，就是不斷的取函數的局部平均值， 直至它變為調和函數為止。

以後發現一個更好的辦法是解熱方程：

我們任意延拓 f 到領域  中，使得我們有給定的在邊界上的值，然後解以下的熱方程


此處  為 Laplace 算子。
這方程描述在時間為零時，熱的分佈由 f 給出，而到 t > 0 ，則由上述方程的解給出。

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當時間趨於無窮時，此問題的解會趨向於一個調和函數，並且保持 f 的邊值，因而解決了 Dirichlet 邊值問題。

這個熱方程方法在廿世紀下半葉的微分幾何中佔了很重要的地位，它給出一個方法將外微分形式漸變為調和形式，因而給出 Hodge 理論一個簡單的證明。

這個證明也可以應用於 Atiyah-Singer 指標定理的局部證明。 Atiyah 和 Singer 研究一階橢圓線性微分算子 D 的解空間的維數。這個算子有對偶算子 D* ，我們也可考慮它的解空間的維數，兩個維數的差叫做算子 D 的指標。

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我們考慮算子 exp (-t D*D) – exp (-t DD*) 的迹 (trace)。當時間很大時，它給出算子的指標，但我們發覺在 0 < t <  ，它與時間 t 無關，因此它又可在 t  0 時計算。

在 t  0 ，熱方程的核可以用擾動的方法計算出來，它跟空間的曲率有關，因此指標可由曲率表示，而後者一般可由陳氏類來表達。

在這個過程中，我們看到兩個核函數有重要的消去的性質，當參數大和參數小時不變，因此描述量子力學的指標雖然在參數大時計算，但它與參數小的古典幾何的曲率得出來的陳氏類是一樣的。

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這個方法由 Witten 和其他作者推廣到更一般的超對稱的算子的計算中。近年的弦理論的對偶性理論與這些消去性有關，我們發現有些很難計算的量子場論的量（往往與幾何有關），可以變成擾動性的計算（強藕合與弱藕合對稱），以後所謂鏡對稱與這個推導有關。

鏡對稱對古典代數幾何學有很重要的貢獻，它解決了幾個古典問題，例如代數流形上的曲線的數量問題。

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熱方程是抛物方程的一種，它獨特的性質是在時間增長時，解會越來越平均並接近於一個穩定的橢圓方程的解。

舉個例子：

x : M  Rⁿ

是從曲面到歐氏空間的映射。

我們也可以定義它的能量

我們希望固定它的邊值 x :  M  Rⁿ ，然後不斷的連續變換 x 使得 E(x) 逹到最小值。

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這個變動可以由熱方程逹到

這是一個線性方程，不難瞭解。但是假如我們對 x 加上約束，要求 x 把 M 映射到 Rⁿ 裏的一個固定子流形 N ，可以得到一個抛物方程，但卻是一個非線性抛物方程。一般來說，這個方程沒有光滑的解。

假如有解的話，讓時間趨於無窮得到的映射叫做調和映射。

當 M 是二維時，我們對調和影射有比較深入的認識。

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二維空間在幾何學裏起着一個很重要的地位。理由是 E(x) 有保角不變的性質：

我們來看這是甚麼意思 ――

在 M 上有黎曼度量  g_ij dxⁱ dx^j ，如果有兩個向量 (a¹, a², … , a^m) 和 (b¹, … , b^m) ，我們定義它們的內積為  g_ij aⁱ b^j 。因此它們的夾角的餘弦為

假如我們將  g_ij dxⁱ dx^j 改為 e^  g_ij dxⁱ dx^j ，這個夾角不變，所以我們稱這種變換為保角變換。

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上面說的 E(x) 用黎曼度量寫成

其中 (g^ij) 為 (g_ij) 的逆矩陣，而當 g_ij 變成 e^ g_ij 時， g^ij 變成 e^- g^ij 。

當 M 是二維時， 變換成 ，因此 E(x) 在這個變換下不變。

這個事實對近代弦論有很重要的影響。

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這個演講剛開始時我們研究粒子走出一條
曲線的軌跡，但是假如粒子本身並非是一點，而
是一條閉面線，則走出的軌跡乃是一個曲面。

閉二維的定向曲面已經在十九世紀全面瞭解，它由以下曲面得出

球
環
虧格>1的曲面

g = 2


g = 3

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在球的情形，任何黎曼度量可以保角變換到單位球。

在環的情形，任何黎曼度量可以保角變換到曲率為零的環：在平面上取平行四邊形，然後將對邊連接起來。

在虧格g>1時， Poincare 證明任何在這種曲面的黎曼度量可以保角的變換為曲率等於負一的曲面。

所有曲率負一的曲面可以由 6g - 6 自由度的空間來刻劃，此空間叫做 Teichmuller 空間。

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這種理論可以與在複變函數論中學過的單值化定理比較：

在 R² 中，任何一個單連通的領域可以保角地映射到單位圓。

比較一般的領域則可以保角的映射到一般如圖中的領域

一個很重要的事實是：在曲面上所有黎曼度量通過保角變換後都有常數的曲率，通過微分同胚後，這種空間是有限維的，它的維數是 6g-6 。

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我們考慮二維曲面如何變化到上述曲率為常數的空間。

我們將黎曼度量全部放在一起，然後用一個類似於上述的抛物型方程來改動黎曼度量

其中 K 乃是 g_ij 的曲率（在二維時只有一個曲率）。

Hamilton 和其他工作者證明這個方程有光滑解並當t，這個解收歛於 K = 常數的度量，他引進了熵的觀念並利用 Li-Yau 不等式。

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Hamilton 引入的熵基本上是用來控制方程的收歛性，它隨時間而増長，這是由推廣 Li-Yau 不等式而得到的。

二維空間的方程由 Hamilton 推廣到高維的黎曼空間，其想法有兩個不同的根據。

首先， Einstein 已經知道引力場是由一個類似於黎曼張量的張量  g_ij dxⁱ dx^j 所決定的，引力由整個曲率張量給出。其中有一部份曲率是由物質的分佈給出，這部份的張量叫做 Ricci 張量。

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假如我們用調和函數做坐標系統，我們發覺Ricci張量
為 R_ij = -  g_ij 。
影響幾何差不多一百年的 Einstein 方程就是


其中 R 是 R_ij 的迹 (trace)，而 T_ij 則是描寫物質分佈的張量。
如果沒有物質(vacuum) 的話， 可以證明 R_ij = 0 。
假如 Einstein 方程中加上 cosmology 常數，在沒有物質的情況下會它改變為

R_ij = C g_ij ，

其中 C 是常數。

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在黎曼幾何學中，研究甚麼空間有這種 Einstein 度量是一個最基本的問題，這個問題可以比喻為在空間上找一個最和階的度量。

最簡單的 Einstein 度量是常曲率空間，局部來說，它與圓球、歐氏空間或雙曲空間其中一個等價。整體來說，它由離散群來決定，例如在二維的黎曼曲面上存在曲率等於負一的度量，它們是 Poincare 圓盤 D 通過 SL (2, R) 中離散子群  作用的商得出的，它可以寫成 D/ 。

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可以證明在二維或三維空間中， Einstein 空間一定是常曲率空間。二維空間的拓樸的基本結構就全部由這些度量來決定。

在三維空間的時候， Thurston 猜測說任何三維空間都是由有限個擁有簡單的黎曼度量的空間聯結而成的，其中最基本的是常曲率空間，其次是一些由二維空間通過圓纖維構造出來的三維空間。

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Thurston 猜測包含了 Poincare 猜測。 Poincare 在二十世紀初猜測任何一個單連通的三維空間都與三維球同胚。單連通的定義是說在此空間中任何一個閉曲線可以連續收縮成一點。

Thurston 和 Poincare 的猜測可說是三維空間結構的最基本問題。Thurston 本人研究傳統的三維拓樸方法和雙曲幾何，其中重要的是 Mostow 剛性定理和黎曼曲面上的曲線分佈的理論，得到漂亮的結構性定理。

但是 Thurston 的方法需要假定存在所謂不可壓縮的曲面，這樣才可能進行空間的切割，除非有新的想法，不大可能將整個猜測證明。

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一九八零年， Hamilton 企圖推廣 Eells 和 Sampson 在調和映射的方法到黎曼度量去。他建議對度量做一個拋物方程，很自然的想到

但是右方的 g_ij 在坐標變換後變得沒有意義，在調和坐標系統時它卻是 -R_ij ，所以代之而考慮

則是有意義的事情。

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Hamilton 以深入的分析方法證明：假如始值的 g_ij 有正定的 Ricci 張量時，上述方程有解，同時在時間趨於無窮時，收歛於一個常曲率空間。這可以說是近代幾何學上的一個奠基性工作。

在一九八一年，我邀請他到普林斯頓研究所作報告後，我立時建議多個研究生做這方面的工作，並考慮複幾何的相應情形。在這方面 Bando 和曹懷東都做了重要的工作。

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在此之前，有不少的幾何學家已經考慮平面曲線的變動問題，每一條曲線都有曲率，我們可沿着曲線的法方向來推動曲線，推動的速度是它的曲率，如此得到的方程也是拋物方程與 Hamilton 的方程極為類似。 Grayson、Hamilton 和 Gage 證明任何一個光滑的閉曲線可以光滑地變動為圓形的一點。

這個定理就如同 Hamilton 流在二維黎曼曲面一樣，在整個變動的過程中並不出現奇異點。

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Hamilton 的文章發表以後， Huisken 在一九八四年發現類似的定理：
在三維歐氏空間裏，任何凸閉曲面可以沿着法線，用平均曲率推動，最後會變成球面形狀的點。此處凸曲面與 Ricci 曲率為正的相類似。
假如曲面開始時不是凸的，則可以出現奇異點，並在奇異點出現後，將曲面分裂。

(1) (2) (3)
我們叫這個流為平均曲率流。

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Hamilton 和我在一九八五年在加州大學共事，他的辦公室在我的辦公室旁邊。我建議用他的流來解決 Thurston 的猜測，一方面與平均曲率流比較，一方面與 Sacks-Uhlenbech 在二維黎曼曲面上調和映射的 bubbling 過程相似。但是最令人擔心的是分裂時的奇異點如何處理，是否有無窮多次的分裂，同時分裂後的幾何如何處理。

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為了控制奇異點的性質，我建議 Hamilton 用我和 Peter Li 剛完成的關於熱方程的估值和理論。在幾年內，Hamilton 將Li-Yau 估值發展成使我驚異的深入理論。他在一九九五年發表一篇極為重要的文章，解釋 Thurston 的幾何分解可以在控制奇異點的假設下推導出來。這篇文章將整個流的研究帶入新的境界。然後， Hamilton 與我致力於推廣類似於 Li-Yau 不等式的估值，希望能夠用來控制 Hamilton 流的奇異點 。

兩年前，Perelman 公佈了三篇文章，裏面的新想法可以用來處理一些奇異點的問題， Ricci 流的研究得到極大的進展。

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雖然如何處理流形分裂後的問題還沒有完全解決，但迄今的纍纍成果，已經讓我們看到幾何分析的威力。

除了 Hamilton Ricci 流對幾何結構的重要貢獻外，我們也期望與它類似的平均曲率流對拓樸學的貢獻，假如它不產生到奇異點的話，它給出一條自然 (canonical) 路徑將曲面變動成球面，存在這種途徑叫做 Smale 猜測（它的拓樸證明由 Hatcher 給出）。

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值得注意的是在研究 Hamilton 的 Ricci 流時，大量的偏微分方程的估值問題需要解決。施皖雄的博士論文、Li-Yau-Hamilton 不等式，和其他有關的非線性估值都佔據重要的位置，在這裏也用到極小子流形的理論，有部份是 Schoen-Yau 在解決正質量猜想時得出的不等式。

事實上在七十年代時 Meeks-Yau 就曾利用極小子流形來解決重要的三維拓樸問題，在這二十年來拓樸學家利用這個想法得出不少結果。

這幾年來朱熹平和其合作者用 Hamilton 流獲得複幾何中很重要的成果，對我作的一個有關的重要猜想的解決推進了一大步。

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四維空間的主要工具是 Donaldson 和 Seiberg-Witten 理論。前者是由 Yang-Mills 理論裏面的 self-dual 規範場的模空間得出拓樸空間的不變量，以後由比較簡單的 Seiberg-Witten 方程簡化。這些理論在四維空間有特別意義，其中一個原因是它的保角不變性。

四維空間有可能存在的一種幾何結構叫做辛結構。當存在辛結構時，Taubes 創造了一個極為重要的理論，他證明了擬全純曲線的個數可以用來構造 Seiberg-Witten 拓樸不變量。很多重要的辛幾何定理因此得到證明。從這裏也可以看到黎曼曲面和高維拓樸的關係。

辛幾何包含了代數曲面的理論，但是代數曲面的內容豐富得多，如何去構造代數結構仍是一個重要的命題。

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四維空間的拓樸結構問題至今仍是數學上一個最困難的問題。一般來說高維空間的拓樸是用切割空間的方法來進行研究的。我們希望將拓樸的問題變成代數的問題來處理。例如以同調群、同倫群和特徵類作為基本的計算量，我們希望創造一本字典使我們能找出空間的一切拓樸性質，而代數的記錄方法是最為明瞭的。

因此在給定一個代數量時，我們要想辦法將它用幾何方法表示出來，例如同調群裏面的元素，可以用浸入到空間的子流形表示。問題是：這些浸入的子流形會自行相交，這些相交的量有一部份可以用代數方法來代表，我們希望通過一個過程來變動子流形，使得它的幾何相交的點與代數給出的量一樣，假如這個變動成功的話，幾何意義則可由代數方法給出。

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這是微分拓樸學中的一個至為要緊的方法， Whitney 在研究流形浸入到歐氏空間時就研究這個問題，他發覺可以利用二維圓盤的嵌入來解決其中的困難。

D

在研究四維空間時重要的工具，乃是尋找有特殊對稱的曲面的存在性。 Taubes 的工作精義在於在四維空間有辛結構時，存在擬全純曲線。如何決定四維空間存在辛結構卻是極為困難的問題，四維空間的拓樸結構將會是本世紀數學的一個基本問題。

但是如何把二維圓盤嵌入四維空間是一個難題（在高維空間時，圓盤可以通過擾動而成為嵌入的圖形）。

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近代幾何最主要的活動大部份圍繞於帶有內對稱的結構而開展，一方面要構造這種結構，一方面要尋找這些結構的性質。在二維和三維空間，我們大部時間在尋找常曲率空間的結構，在三維空間，這些結構與紐結(knot) 的拓樸性質有關，例如： Chern-Simons 的理論或 Yang-Baxter 理論都有很豐富的內容。除了這些結構外，二維和三維空間還有仿射和投影結構，它們也有精彩的內容，很多重要的方向還待開發。

一般來說，在一個給定的空間上，可能有無窮多個類似的結構，它們本身成為一個新的空間，我們叫它做結構的模空間。模空間上的結構可以由原來的結構引出。這些新的結構有時比原來的結構容易計算而甚至更為重要。

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舉個例子來說，在數學上最重要的模空間就是由所有在一個二維曲面上的複結構所組成，就是前面談到的 Teichmuller 空間，它的商 (quotient) 叫做曲面的模空間，在代數幾何和近代弦理論起着極為重要的地位。

由於曲面上有不同的結構，因此在模空間上亦有不同的幾何結構，例如它有 Weil-Peterson 的黎曼度量，有 Bergman 度量，有 Kahler-Einstein 度量等等。這兩年來，劉克峰、孫小峯和我終於搞清楚這些幾何中間的關係，這個古典的空間蘊含了種種不同的訊息，有微分幾何的、有代數幾何的、有算術幾何的、有弦理論的。

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近代弦理論將曲線的軌跡看成是一個曲面，在其上研究整個軌跡的古典Action而加以量化後，得出極為漂亮的數學理論。最重要的原動力由弦理論提供，為了對弦振動量子化，他們提出共形場論的重要性，超對稱共形代數的表示理論提供了極為豐富的數學啟示，很多極為重要的公式，例如 Verlinde 公式，例如 Witten 在模空間上發現關於陳類積分的公式，將原來古典的由 Mumford 和其他代數幾何學家發展的理論大大提昇。

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由於弦理論建基於超對稱的存在性，要求玻子和費子可以對應，所以在曲線劃出的軌跡上，古典的能有玻子和費子的對稱性，量化的結果亦要求時空上有超對稱的觀念。基本上我們要求時空有固定的旋子 (spinor)（它的微分等於零），這種空間或者可以叫做超對稱空間。

二十年前就發現我們熟習已久的複幾何裏面的 Kahler 度量是超對稱的，所以黎曼曲面也是超對稱的。

在考慮弦理論的真空的狀態時，也要求時空沒有物質，因此也要求它的 Ricci 張量等於零。這種空間的存在是我在1976年時用偏微分方程證明的。

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因此這類空間一般叫做 Calabi-Yau 空間（它的存在是由 Calabi 猜測的），這二十年來，這個空間的幾何理論極為豐富，弦論的發展要求這種空間有所謂鏡對稱的存在性，一個空間的量子場論可以與其他完全不同空間的量子場論等價，從而得出計算這種場論的方法，在幾何學上解決了困擾代數幾何學一百年來的問題。從前跟我的一個博士後 Brian Greene 開始這方面的鏡對稱的研究，Vafa、Witten 等作了啓發性的貢獻，劉克峰、連文豪和我先在鏡對稱上做了嚴格的數學證明以後，劉克峰、劉秋菊、周軍和李駿等在最近 Vafa 的猜想上得到極為重要的貢獻。

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除了 Calabi-Yau 空間外，還有兩類極為重要的超對稱空間，它們與李群有關，一個是G₂，一個是 Spin(7)。它們的結構還不很清楚，但是已經有很好的開始，很多幾何學家如 Joyce、Hitchin、梁廼聰、Zaslow、Gukov、Sparks和我都做了一些貢獻，這方面的幾何在未來十年應當會有重要的發展。

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在研究這些幾何時，很重要的工具是空間裏帶有超對稱的子流形和規範場，還有他們中間的關係。

例如在 Calabi-Yau 空間的理論裏，代數子流形當然是其中重要的帶超對稱的子流形，還有一類叫做 special Lagrangian 子流形，它在 Calabi-Yau 流形中有結構性的重要。 Strominger-Yau-Zaslow 理論需要它的存在， SYZ 理論已經得到很多重要的支持，以後會繼續發展下去，它以幾何的方法解釋了鏡對稱的來源。

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在這裏值得提出的是在代數幾何和算術幾何裏面的 Hodge 猜想，這個猜想極為重要，將會是這個世紀幾何上一個重要發展的里程碑。國內教育部提供大量經費給團隊來研究這個問題，事實上，據我所知，未有國內或國外華裔數學家真正去考慮過這個問題，我希望國內幾何學家把注意力於在這個重要問題上。

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黎曼曲面的理論不單在弦理論和高維空間發揮了極大的功用，在工程問題上也有其着力之處。現在給大家看一些顧險峰、王雅琳和我在圖像處理上的工作，我們大量地利用了這方面的工具。

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幾何頌

穹蒼廣而善美兮何天理之悠悠

先哲思而念遠兮奚術算之久留

形與美之交接兮心與物之融流

臨新紀以展望兮翼四力以真求

豈原爆之非妄兮實萬物之始由

曲率淺而達深兮時空坦而寡愁

曲率極而物毀兮黑洞冥而難求

相遷變而規物兮幾何雅其遠謀

揚規範之場論兮柘樸衰而復留

時空盪而物生兮新數學其始流

惟對稱之內薀兮類不變而久悠

道深奧而動心兮惟精析之能圖

質與量之相成兮匪線化之能籌