這個空間的拓樸性質可以由所有的從 p 到 q 的測地線和其上的Morse index 指標來決定（Morse 指標其實是縮短測地線長度的所有方向的維數），

在一般的黎曼幾何裏，兩點 p 和 q 之間可以有超過一條的路徑使得 E(x) 是極短的。

事實上這些路徑一定是測地線，從球上的北極到南極有無窮多條測地線。

一般來說，很多測地線不是 p 和 q 間最短的線，它們只是局部最短的，即是說在 [0,T] 的任意一個小的線段上是極短的。

在給定 p 和 q 時，我們考慮一個包括所有曲線的空間：

這個空間的拓樸性質可以由所有的從 p 到 q 的測地線和其上的Morse index 指標來決定（Morse 指標其實是縮短測地線長度的所有方向的維數），由_p,q 的拓樸可以推導空間本身的拓樸，這是Bott在古典群上的工作。

5

在上述的討論裏，假如存在勢能(potential) V : M  R 則能量可以定義為

。

我們也可以類似的討論。

我們也可以讓 p = q ，並且不固定 p 的選取，這時可以得到所有從圓到 M 上的所有映射的空間，這個空間叫做 (M) 。

在研究粒子在固定空間 M 的量子化時，我們考慮 Feyman 積分

6

由於每一條曲線可以用測地線組成的多邊形逼近，上述在 (M) 的積分可以用 Gauss 積分的方法得出它的值，它與 Laplace 算子的行列式有關。在 Rⁿ ， Laplace 算子的定義是

這個算子可以推廣到一般黎曼流形上。