高涌泉 作用量S(x(t))並不是一般的函數，因為一個點x無法經由S(x(t))對應到一實數，而必須有一整條路徑才可成立這對應關係，x(t)→S(x(t))。不過我們仍然可以把S(x(t))看成一個廣義的函數（泛函），而用類似微積分中求極值的辦法去求【瀏覽原件】，並證明【瀏覽原件】是牛頓方程式的解

作用量S(x(t))並不是一般的函數，因為一個點x無法經由S(x(t))對應到一實數，而必須有一整條路徑才可成立這對應關係，x(t)→S(x(t))。不過我們仍然可以把S(x(t))看成一個廣義的函數（泛函），而用類似微積分中求極值的辦法去求【瀏覽原件】，並證明【瀏覽原件】是牛頓方程式的解

1995年 3月303期｜上一篇｜下一篇 ＃發行日期：1995、03 ＃期號：0303 ＃專欄： ＃標題：量子力學、費曼與路徑積分 ＃作者：高涌泉 ．相對論與量子力學 ．理查‧費曼 ．古典力學 ．最小作用量原理 ．量子世界 ．路徑積分 ．漢密爾頓量 ．圖一 ．圖二 ．圖三 ．圖四 ．圖五		量子力學、費曼與路徑積分 相對論與量子力學 毫無疑問的，二十世紀物理學中最重要的二個成就是相對論（Relativity）與量子力學（Quantum mechanics）。然而這兩門學問誕生的方式與展現的風格，卻大不相同。相對論（狹義與廣義）出現時，就已經像一顆雕琢精緻、光芒耀眼的鑽石，是一完美無缺的藝術品。其創造者愛因斯坦（A.Einstein, 1879～1955）從一個非常基本的物理原則，即「對稱原理」出發，推演出一套幾乎無懈可擊的數學架構，所以相對論有一種非得如此不可的氣勢。難怪愛因斯坦曾很有信心地對朋友說：「沒有人在理解它之後，能逃離這理論的魔力」。 雖然相對論在一般人的印象裡是一個非常玄妙深奧的理論，其實比較起來，描述微觀世界規則的量子力學是更為怪異，幾近於荒誕的學說。相對論可以說是愛因斯坦一人的心血結晶，而量子力學卻是集眾人之力，一點一滴累積起來的。不過在建立量子力學過程中，還是有一些關鍵時刻，特別是在1925年海森堡（W.Heisenberg, 1901～1976）發現：任何一個物理量都可以由一矩陣來代表。海森堡找到了這些矩陣所應遵循的方程式。海森堡的成功來自於他對實際物理現象的深刻了解，以及誰也無法解釋的靈感。 在海森堡提出他的矩陣力學半年之後，薛丁格（E.Schrodinger, 1887～1961）發表了另一個方程式，也可以正確地計算出與實驗結果相符的物理量。薛丁格的出發點是將物質（例如電子）看成是波動。這和海森堡依舊把電子當成粒子是截然不同的。不過人們很快地就理解到海森堡與薛丁格二人的理論在數學上是等價的（equivalent），所以我們終究只有一套而非兩套量子力學。 先前筆者已提過，相對論是從一個非常自然的物理原則出發，繼而推導出數學方程式。而在量子力學的情形則是在尚未能看清全局時，我們就已找到了適用的方程式。許多物理學者，包括一些對量子力學有很大貢獻的人，曾以為人們很快就會發現量子力學出錯的地方。沒想到我們至今仍未碰到量子力學有任何不妥之處。這是非常驚人的；總之，儘管今天物理學者還在爭辯量子力學方程式的物理意義為何，這些方程式的正確倒是無庸置疑的。 理查‧費曼 在本篇文章中，筆者想介紹量子力學最有趣的一種數學表現方式，即理查‧費曼（Richard Feynman,1918～1988，依發音應翻譯成理查‧范恩曼）所發明的路徑積分（Path Integral）。這理論發表於1948年《現代物理評論》（Review of Modern Physics）期刊上。費曼其實更早在1941年就已完成這一工作；當年他才23歲，還是研究生。只因為二次大戰期間費曼投入曼哈坦（Manhattan）原子彈製造計畫，所以延遲發表這一項在很多人的評價裡是費曼最重要的作品。 費曼是二十世紀後半期風頭最健的物理學家，他在台灣也頗為一般人所知。原因是有關於他傳奇事蹟的中文書籍有不少讀者。凡是讀過《別鬧了費曼》（Surely you are joking, Feynman）、《你管別人怎麼想》（What do you care what other people think）或《天才的軌跡》（Genius）的讀者，很難不著迷於費曼那熱情的性格，獨特的人生觀及不凡的遭遇。 話說回來，讓費曼在物理界成名的，倒不是路徑積分而是他在量子電動力學上的貢獻。特別是他所發明的費曼圖，已成為理論物理學者不可缺少的研究工具。圖一是費曼圖的一個例子。這個圖代表電子與電子的碰撞。 其中實線代表電子，波浪線代表光子（交互作用）。每個費曼圖除了給所要描述的物理現象一個非常直覺、清楚的圖像外，還可以幫助我們輕易而精確地分析這些現象。原因是費曼有一套人們稱為費曼法則（Feynman Rule）的步驟，可以將費曼圖對應到特定的數學式子。透過這個數學式子的計算，我們就能定量地掌握費曼圖所代表的物理現象。一般而言，較複雜的費曼圖（見圖二）所對應的數學式子，處理起來也比較困難，這往往要借助計算機才能得到結果。 二次大戰結束後，物理學家從武器研發工作回到學術崗位。那時量子電動力學是研究焦點。在眾多逐鹿者之中，徐文格（J.Schwinger）與朝永振一郎（Sin Ichiro Tomonaga）最早得到突破，他們率先從複雜的計算中取得與精密實驗一致的結果。費曼則以他的費曼圖異軍突起，甚至有後來居上的聲勢。朝永、徐文格與費曼三人的工作為二十世紀後半眾多理論物理進展打下基礎，稱得上具承先啟後的樞紐地位。為此他們三人共同獲得1965年諾貝爾獎。三人中較年輕的費曼、徐文格二人皆出生於1918年，也都因癌症於近年去逝。二人都在年輕時已顯露其數理天才，也都是很早就被認定會在科學上有了不起的貢獻。二人之間有一種很微妙的，既是科學道路上的伙伴也是競爭者的關係。1945年，在美國發展原子彈的洛斯阿拉摩斯（Los Alamos）實驗室，費曼與徐文格第一次見面。那時兩人只有27歲，而徐文格已發表有二、三十篇文章，算是小有名氣。費曼對徐文格說：「我什麼都還沒作出來時，你卻已在一些事情上留下名字了。」費曼那時不知道，假如他們二人自第一次見面起就不再有新作品，從後代眼光看，費曼憑他的路徑積分就足以和徐文格分庭抗禮、平起平坐，甚或還略勝一籌的。 古典力學 回到本文主題，以下筆者就要介紹路徑積分。這得從古典力學講起。古典力學的核心是牛頓運動方程式，這方程式可以描述物體（如粒子）的運動軌跡。它的形式是大家都很熟悉的 F＝ma （l） 其中F代表物體所受的力，m是物體質量，a是加速度；也就是物體所在位置對時間的二次微分。一旦知道物體在某一時刻ti的位置xi及其速度vi，我們就可以經由解牛頓方程式（l），得到物體在ti以後時刻的軌跡（見圖三）。 最小作用量原理 自十七世紀牛頓發表他的名著《自然哲學的數學原理》闡明其力學原理以來，人們仍不斷地在充實古典力學的數學架構。除了靠解微分方程式以求得運動軌跡之外，另外還有一個從表面上看很不相同，但其實在數學上是等價的方法，也就是從積分觀點著手的「最小作用量原理」（least action principle）。這個原理的敘述是這樣的： 若我們要知道當物體從（ti,xi）時空點走到（tf,xf）時空點，到底是循著那一條路徑x(t)時[見圖四，在無窮多可能的路徑中，筆者只代表性地劃了三條路徑x1(t),x2(t),x3(t)〕，我們只要計算一個積分： 【瀏覽原件】 （2） 在積分式子中，v(t)是物體在t時刻的速度，【瀏覽原件】，所以【瀏覽原件】也就是動能，v(x(t))是物體在x(t)位置的位能。把任何一條路徑x(t)代入蕞n分式（2），都有一個相對應的值S(x(t))，S被稱為作用量（action）。物體真正走的路徑只有一條，讓我們把它記作【瀏覽原件】。【瀏覽原件】的特點就是：它所對應的作用量【瀏覽原件】比其他所有不對的路徑所對應的S值都還要小。亦即【瀏覽原件】是S(x(t))函數的極小值（見圖五）。我們可以從數學上證明對應到最小作用量的路徑【瀏覽原件】，也滿足牛頓運動方程式。在微積分中，我們若要求某一個函數f(x)的極大或極小值，我們只要算f(x)的微分【瀏覽原件】，而後找【瀏覽原件】的解就可得到答案。前面提到的作用量S(x(t))並不是一般的函數，因為一個點x無法經由S(x(t))對應到一實數，而必須有一整條路徑才可成立這對應關係，x(t)→S(x(t))。不過我們仍然可以把S(x(t))看成一個廣義的函數（泛函），而用類似微積分中求極值的辦法去求【瀏覽原件】，並證明【瀏覽原件】是牛頓方程式的解（對細節有興趣的讀者，可參閱任何一本理論力學教科書或是費曼非常有名的物理學演講《Feynman Lectures on Physics》中的第二冊十九章。） 從最小作用量原理的觀點來理解古典力學，我們得到的是一個與微分觀點截然不同的意象。我們並不是一小段一小段逐步地推算出物體的軌跡，而是將所有可能路徑拿來比較，找出給我們最小作用量的路徑。在某一些問題中，最小作用量原理其實比微分方程式更方便。 量子世界 古典力學的架構雖完備，卻不能適用於原子尺度大小的微觀世界。在那裡我們得改用量子力學的法則，而這些法則是我們完全無法從在古典力學裡所獲得的經驗去理解的。在古典物理中，我們可以同時測量在某一時刻物體的位置與速度（動量），所以可以得知往後物體運動的情形。但在量子世界裡，我們不能同時測知物體的位置與速度，所以無法完全掌握物體動向（即測不準原理）。也就是說，我們得放棄「物體運動是循著某一特定路徑」這一概念。 若經由測量，我們得知某物體（例如電子）在ti時刻位於xi位置，我們並不能確知在tf時刻（tf＞ti），物體會在那裡。量子力學能夠告訴我們的是：如何計算物體在tf時刻可能位於xf的機率有多少。我們將這機率記作P(tixi→tfxf)。要知道P，得先計算一個叫作機率振幅（probability amplitude）的複數〈tf,xf ︳ti,xi〉（這記號是量子力學創造者之一狄拉克（Dirac）發明的）而機率P就等於 P(tixi→tfxf)＝ ︳〈tf,xf ︳ti,xi〉︳2 （3） 因為機率振幅（由它可推導出許多讀者可能知道的「波函數」）本身是複數，不可能是一個可測量的物理量，所以它的物理意義一直為人爭論不休。在此筆者不談這一棘手的問題，我們要學的是費曼計算機率振幅的辦法。費曼給了以下一個算式： 【瀏覽原件】（4） 方程式右邊的S(x(t))是路徑x(t)的作用量，【瀏覽原件】，是普郎克常數除以2π（嚴格講，必須在（4）式右邊乘上一個常數A，A可由機率守恆的條件來決定）。也就是說，要得到機率振幅，我們需要計算所有從(ti,xi)時空點到(tf,xf)時空點可能的路徑（例如x1(t),x2(t),x3(t),見圖四）所對應的作用量，然後計算eis(x(t))，並將它們加起來。因此在量子力學中除了對應到最小作用量的古典路徑之外，其他在古典世界中不會出現的路徑，也有不可忽視的作用。 路徑積分 我們也可以把（4）式寫成積分的形式： 【瀏覽原件】 （5） 不過它的內涵和（4）式是完全一樣的。因為我們要將所有路徑的貢獻積（加）起來，方程式（5）的右邊就被稱為路徑積分。它最大的好處就是給機率振幅一個很圖像式的詮釋角度。讓我們比較可以從幾何的觀點而非純代數操作的角度來理解量子力學。 路徑積分另一個長處是：很容易看出在數學上量子力學是如何和古典力學連接起來。於古典物理中，是不扮演任何色的。所以如果在（5）式中讓趨近於零，我們應該要看得出古典力學的架構。費曼指出當→時，只有古典路徑對（5）式的積分有貢獻，其他非古典路徑的貢獻互相抵消掉了。這一點曾讓費曼的指導教授惠勒（Wheeler，他在原子核及黑洞的研究領域，有傑出的成就）非常高興，因為它讓我們更明白量子力學是如何過渡到古典力學的。惠勒還特別跑去見愛因斯坦，希望費曼的新觀點能說服愛因斯坦接受量子力學。愛因斯坦抗拒量子力學的理由相當深奧，所以他還是未被惠勒轉化成量子力學的信仰者。不過惠勒如此積極的反應，可代表一般物理學者給路徑積分的評價。 目前費曼的路徑積分、海森堡的矩陣力學及薛丁格的波動力學，可說是量子力學理論三個最重要的數學表現形式。這些不同的形式都各有其優點。近年來，路徑積分在量子力學之外，也滲透進統計力學及數學中的幾何、拓撲等領域。數學家發現他們也得懂一點路徑積分才能閱讀最新的數學成果。一些數學家也努力於為路徑積分建立一嚴謹的數學基礎。我們可預見：在未來，路徑積分會是一更廣闊蓬勃的研究領域，這是其發明者在50年前完全沒有想到的。 最後筆者必須說明，費曼發明路徑積分的靈感，來自狄拉克發表於1933年的一篇文章。狄拉克的文章提出一個問題：古典力學中很重要的作用量這個觀念是如何出現在量子力學中的？〔海森堡與薛丁格的理論只運用了古典力學中的漢密爾頓量（Hamiltonian）〕，而狄拉克自己也給了初步的答案。我們可以說路徑積分是兩位天才合力建造出的一個美妙理論。 高涌泉任教於台灣大學物理系，本刊編輯委員 漢密爾頓量 高涌泉 古典力學中的漢密爾頓量（Hamiltonian），一般記作H，基本上就是能量。也就是： 【瀏覽原件】 在本文中，我們介紹了作用量S(x(t))〔見2)式]，S(x(t))是函數【瀏覽原件】＝動能－位能於路徑x(t)上的積分值。L被稱為拉格蘭其量（Lagrangian）。漢密爾頓（W.R.Hamilton,1805～1865）與拉格蘭其（J.L.Lagrange,1736～1816）皆是於古典力學有重大貢獻的數學家。 在海森堡的矩陣力學中，漢密爾頓量H成為一個矩陣，而海森堡的力學方程式為： 【瀏覽原件】 其中x(t)也是矩陣，代表物體的位置。 H在薛丁格的波動力學中，變成一個數學算符（operator），它可以作用在函數上。薛丁格有名的波動方程是： 【瀏覽原件】 其中【瀏覽原件】是波函數。【瀏覽原件】代表物體出現在(t,x)時空點的機率密度。
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