費曼指出當→時，只有古典路徑對（5）式的積分有貢獻，其他非古典路徑的貢獻互相抵消掉了

粒子所经历的路径(转贴)思考自然 2010-05-01 20:57
路徑積分另一個長處是：很容易看出在數學上量子力學是如何和古典力學連接起來。於古典物理中，
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是不扮演任何色的。所以如果在（5）式中讓
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趨近於零，我們應該要看得出古典力學的架構。費曼指出當
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→時，只有古典路徑對（5）式的積分有貢獻，其他非古典路徑的貢獻互相抵消掉了。這一點曾讓費曼的指導教授惠勒（Wheeler，他在原子核及黑洞的研究領域，有傑出的成就）非常高興，因為它讓我們更明白量子力學是如何過渡到古典力學的。惠勒還特別跑去見愛因斯坦，希望費曼的新觀點能說服愛因斯坦接受量子力學。愛因斯坦抗拒量子力學的理由相當深奧，所以他還是未被惠勒轉化成量子力學的信仰者。不過惠勒如此積極的反應，可代表一般物理學者給路徑積分的評價。

目前費曼的路徑積分、海森堡的矩陣力學及薛丁格的波動力學，可說是量子力學理論三個最重要的數學表現形式。這些不同的形式都各有其優點。近年來，路徑積分在量子力學之外，也滲透進統計力學及數學中的幾何、拓撲等領域。數學家發現他們也得懂一點路徑積分才能閱讀最新的數學成果。一些數學家也努力於為路徑積分建立一嚴謹的數學基礎。我們可預見：在未來，路徑積分會是一更廣闊蓬勃的研究領域，這是其發明者在50年前完全沒有想到的。

最後筆者必須說明，費曼發明路徑積分的靈感，來自狄拉克發表於1933年的一篇文章。狄拉克的文章提出一個問題：古典力學中很重要的作用量這個觀念是如何出現在量子力學中的？〔海森堡與薛丁格的理論只運用了古典力學中的漢密爾頓量（Hamiltonian）〕，而狄拉克自己也給了初步的答案。我們可以說路徑積分是兩位天才合力建造出的一個美妙理論。