Thurston 几何化猜想;2维流形唯一的拓扑不变量，即Euler示性数，通过Gauss-Bonnet定理控制了所有可能的几何

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Thurston的八正道 Ⅰ

10/08/2011 by zx31415

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八正道(the Eightfold Way)是佛家语。粒子物理学中有利用的8维自伴随表示描述介子和自旋的重子的理论，称为Gell-mann的八正道。在3维流形理论中也有8种标准几何(model geometry)，我仿照成例，称之为Thurston的八正道。
这个系列介绍与Thurston八正道相关的一些结果。主要参考文献是
Thurston Three-dimensional geometry and topology
Thurston Three dimensional manifolds, Kleinian groups and hyperbolic geometry

W.Thurston(1946- )

Thurston意义下的标准几何指的是流形与作用在上的微分同胚Lie群，满足
(1)连通且单连通；
(2)的作用是可递的，且的稳定子群是紧致的；
(3)在所有满足(2)的群中是极大的；
(4)存在紧致的以为万有覆叠，称为此种几何的紧模型；
注意到(2)允许我们赋予一个-不变的完备Riemann度量使之成为齐性空间。
注记1
2维标准几何是容易分类的。此时流形的Gauss曲率是常数，通过尺度放缩，不妨设为-1，0，1。另一方面，熟知仅有的带有常截面曲率-1，0，1(换言之，满足物理上各向同性要求)的单连通完备Riemann流形为，和，对应双曲几何，欧氏几何和球面几何。
为分类3维标准几何，考虑的单位元所在的连通子群及的稳定子。的单连通性保证了是连通的，因而是的连通闭子群。此处只有3种可能：，或。
Thurston证明了3维标准几何仅有如下8种：
(a)：为，或；
这是注记1中所提到的结论的简单推论；
(b)：此时是以某个2维标准几何为底空间的纤维丛。与纤维正交的联络有曲率0或1，进一步的分类给出
(b1)曲率为0：或；
(b2)曲率为1：幂零几何(为底)或几何(为底)；
(c)：可解几何；
(b)和(c)的证明及所涉及的几何的具体特性留待之后讨论。
回到拓扑的层面。以记3维闭流形。注意，3维时拓扑流形，分片线性流形和微分流形这3个范畴是一致的。
称为素流形，如果除平凡分解外无法分解成3维流形的连通和。任意3维闭流形都可以(在同胚意义下)唯一分解为素流形的连通和。
Milnor A unique factorization theorem for 3-manifolds
注记2
对2维的情况，熟知有更强的分类定理：所有闭曲面的同胚类是由和在下生成的交换半群，是单位元。
素分解对应的几何操作是沿着切开流形。进一步，可以沿环面将流形切得更“均匀”。
(Thurston几何化猜想) 任何可定向的闭的3维素流形都可以沿环面切开，使得每块切片带有上述8种标准几何结构之一。
Thurston对Haken流形证明了几何化猜想(但从未发表过完整的证明)。这个结果被称为双曲化定理，是他获得1982年Fields奖的原因之一。这一工作体现了惊人的几何直觉，以至于被戏称为Thurston怪兽定理。
Thurston Hyperbolic structures on 3-manifolds Ⅰ：Deformation on acylindrical manifolds
注记3
我们曾讨论过简单得多的2维流形的几何化：无需切开流形，单值化定理直接保证了3种标准几何结构之一的存在。这是引导Thurston提出几何化猜想的主要线索之一。
注记1，2，3是互相联系的：2维流形唯一的拓扑不变量，即Euler示性数，通过Gauss-Bonnet定理控制了所有可能的几何。正如Thurston所说，3维流形研究的难点(同时也是有趣之处)是缺少这样有力的不变量。