phymath999: 如果 R^3 上有李群结构，那么应该有三个左不变向量场

Monday, August 6, 2012

如果 R^3 上有李群结构，那么应该有三个左不变向量场

标题: 请教个李群的问题 [打印本页]

作者: 天涯 时间: 2009-4-1 23:29 标题: 请教个李群的问题

如果给定一个向量场，比如说 $\mathbb R^3$ 上的向量场： $X=\frac{\partial}{\partial x}$ , $Y=\frac{\partial}{\partial y}+x\frac{\partial}{\partial z}$ ，
怎么找到它满足的Lie群的群定律（group law）？

作者: 季候风 时间: 2009-4-2 10:56

不懂，哪个李群？

作者: 天涯 时间: 2009-4-2 14:13

$\mathbb R^3$ 上的李群
比如这个例子，向量场：
$X=\frac{\partial}{\partial x}+y\frac{\partial}{\partial z}$
$Y=\frac{\partial}{\partial y}-x\frac{\partial}{\partial z}$
就能在 $\mathbb R^3$ 引进一个左平移不变李群
$(x,y,z)\cdot(x',y',z')=(x+x',y+y',z+z'+xy'-yx')$
这个就是海森堡群？

[ 本帖最后由天涯于 2009-4-3 02:15 编辑 ]

作者: 季候风 时间: 2009-4-2 20:58

如果 R^3 上有李群结构，那么应该有三个左不变向量场。比如对 Heisenberg 群结构，
$(L_{(x,y,z)})_* ( \partial_x , \partial_y,\partial_z) = ( \partial_x + y \partial_z, \; \partial_y -x \partial_z ,\; \partial_z )$

也许你的问题是：任给三个向量场，是否存在 R^3 上的群结构使这三个向量场成为左不变向量场？

作者: 天涯 时间: 2009-4-2 23:27

应该是这样的吧。给了向量场，怎么找到一个李群使这些向量场是左平移不变的？有没有一般的做法？

作者: 季候风 时间: 2009-4-3 00:29

首先，要计算三个向量场 X, Y, Z 之间的李括号，确定它们组成李代数（即，李括号在三个向量场的展开系数必须是常数）。设单位元为 e= (a,b,c), 求指数映射：对任何 $\xi = (u,v,w)$ , 在初值条件 $\mathbf{x}(0) = (a,b,c)$ 下解微分方程组 $\dot{\mathbf x} = uX(\mathbf x) + vY(\mathbf x) + wZ(\mathbf x)$ ，（ (a,b,c,u,v,w) 均为参数），其解即为指数映射 $\mathbf x(t, \xi) = : \exp\, t\,(uX+vY+wZ)$ .

计算指数映射的逆映射 $\xi(\mathbf x)$ ,
然后用 Campbell-Hausdorff 公式
$\mathbf x \mathbf x' = \exp(uX+vY+wZ) \,\exp(u'X+v'Y+w'Z) =$
$= \exp (f(\xi,\xi') X + g(\xi,\xi') Y + h(\xi,\xi') Z) = \mathbf x(\xi'')$

其中 $\xi'' = (f(\xi,\xi'),\;g(\xi,\xi'),\;h(\xi,\xi'))$ 由 Campbell-Hausdorff 公式得到。参见
http://en.wikipedia.org/wiki/Baker-Campbell-Hausdorff_formula

这些过程一般不容易有显示解。好的情形包括：向量场分量是线性函数，而且它们之间的李括号是中心元，这样微分方程有显示解，Campbell-Hausdorff 展开式只有有限项。Heisenberg 群正是这样一个简单情况。

单位元是否任意选取，我不是很确定。以上过程总可以把 (a,b,c) 当作参数，任何步骤对 (a,b,c) 有限制，即是对单位元选取的限制。

作者: 天涯 时间: 2009-4-3 03:20

谢谢斑竹耐心的回复。不过我还是不明白（我没有李群的知识）。
现在有个例子是这样的，考虑 $\mathbb R^4$ 上的向量场：
$X=\frac{\partial}{\partial x}+y\frac{\partial}{\partial z}+y^2\frac{\partial}{\partial w}$
$Y=\frac{\partial}{\partial y}$
$Z=\frac{\partial}{\partial z}$
$W=\frac{\partial}{\partial w}$

可否在 $\mathbb R^4$ 上引入一个群结构，使得向量场 $\{X,Y,Z,W\}$ 是左平移不变的？
如果存在，则群定律是什么？请版主不吝赐教。

[ 本帖最后由天涯于 2009-4-3 03:34 编辑 ]

作者: 天涯 时间: 2009-4-3 03:28

I can only understand the follows:

Let $A=aX+bY+cZ+dW$ and $A'=a'X+b'Y+c'Z+d'W$ .
Then by CBH formula

$e^Ae^{A'}=e^{A+A'+\frac{1}{2}[A,A']+\frac{1}{12}[A,[A,A']]-\frac{1}{12}[A',[A,A']]}}$

[ 本帖最后由天涯于 2009-4-3 03:32 编辑 ]

作者: 季候风 时间: 2009-4-3 04:29

在你的例子里，[X,Y] = -Z - 2y W, 展开系数不是常数，所以它们不能构成李群的一组左不变向量场。

作者: 天涯 时间: 2009-4-3 21:08

引用:

原帖由 季候风 于 2009-4-3 04:29 发表
在你的例子里，[X,Y] = -Z - 2y W, 展开系数不是常数，所以它们不能构成李群的一组左不变向量场。

那我修正一下
$Z=\frac{\partial}{\partial z}+2y\frac{\partial}{\partial w}$ ,
其他三个不变，是不是就可以了呢？谢谢季兄。

作者: 季候风 时间: 2009-4-4 03:12

的确可以，现在
$[X,Z] = [X,W] = [Y,W] = [Z,W] =0, \quad [X,Y] = -Z , \; [Y,Z] = 2W$ ,

假设单位元为原点. 解方程组
$\dot{\mathbf x} = uX + vY + r Z +s W$ ,
即
$\dot{x} = u, \; \dot{y} = v, \; \dot{z} = uy + r, \; \dot{w} = uy^2+2ry + s$
初值为原点，
解得
$x =ut,\; y=vt\; z = \frac12\,uv t^2 + rt \; w = \frac13 uv^2t^3 + vrt^2+st$
所以指数映射为
$\exp(uX+vY+rZ+sW) = (u,v, \; \frac12\,uv+r,\; \frac13\,uv^2+vr+s)$
其逆映射为
$u = x,\;v =y,\; r = z -\frac12\,xy,\; s = w-\frac13\,xy^2+ y(z-\frac12\,xy)$
利用此逆映射，把空间中的点表示成指数，然后做乘法
$(x,y,z,w)(x',y',z',w') = \exp(uX+vY+rZ+sW)\;\exp(u'X+v'Y+r'Z+s'W)$
用 Campbell-Hausdorff, 得到一个指数，其系数是 (x,y,z,w,x',y',z',w') 的函数，然后再用指数映射，得到此指数对应的点，此点就是乘积。

[ 本帖最后由季候风于 2009-4-4 03:24 编辑 ]

作者: 天涯 时间: 2009-4-4 16:21

明白了，谢谢季兄，辛苦了！

[ 本帖最后由天涯于 2009-4-4 17:31 编辑 ]

phymath999

Monday, August 6, 2012

如果 R^3 上有李群结构，那么应该有三个左不变向量场

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