薛丁格自己才了解到，原来物理里头，不只要用实数，而且要用虚数，既然用了虚数，就不要讨论拉长因子，而要讨论相位因子

一个有名的数学家，他又喜欢做一些哲学的跟物理学里头的探讨，他就说，我要响应爱因斯坦的观念，他说，我现在引进一个几何的观念，这个几何的观念，可以解释电磁学，他这个几何的观念，就是这个图。他引进了这么一些因子，这个因子，我翻译成拉长因子，把一个东西拉长缩短，他引进了一个拉长因子，过了四年，薛丁格，这个是在薛丁格写出薛丁格方程以前四年，薛丁格注意到了怀特这个文章，他写了一篇文章，他说他现在发现了一个非常值得惊异的性质，这是一个什么性质呢？因为刚才我讲，波尔在1913年把原子的结构，有了一个初步的重要的讨论，那么，引进了我想在座很多同学都会记得，因为中学物理学讲了，比如说，氢气的电子有一个轨道，这个轨道量子化，这是波尔第一个1913年所讲出来的。1922年，Weyl做这件事情，他说好，我们把波尔这个轨道拿来，绕着这个轨道研究一下Weyl的拉长因子是多少，他一算出来以后就发现拉长因子里头，是一个指数，上头一个方括号，他把这个方括号对于波尔的轨道算了一下，得出来的是一个这样子的结果，是一个整数n，乘上常数，对于一个Y，这个Y是Weyl文章里面就已经有的，他把这件事情说这是一个很奇怪的、很值得注意的一个性质。从今天的眼光看起来，他的这篇文章，最特别的一点，不是他所讲的特别的性质，是在他的文章末角，他讲了这么一句话，在最后，可以说是一个附加的注解上面他讲了，假如你要把Weyl的Y，写成负的I乘h，h就是常数，I大家知道，是负一的平方根，就是所谓虚数，他说，如果把Y取成虚数的话，那么这个拉长因子，就等于1，这个观念，当时很显然薛丁格发现了，他不懂这是什么意思，也没有再发展下去，为什么不发展下去呢？原因因为他还是和Weyl一样，相信Y是一个实数，不应该有I的，不应该有负一的平方根在里头，所以，这一句话只是随便讲了一下子，很快就不再讲了，这个文章就没有了。从今天看起来，他当时做了一个大的错误。因为假如当时他把这一点拿去仔细研究一下，他就会在1922年发现了量子力学，而不是等到三年以后，海森堡，四年以后他自己才发展出来量子力学，所以这个当然是代表当时要接受一个虚数，在基本物理学里头，不是一个大家所能够接受的，更不是薛丁格所喜欢接受的。可是假如我们接受了这一点，把虚数给加到里头去，那么，我们就会发现到，因为你加上了I，所以，拉长因子，Weyl所讲的拉长因子就不是一个拉长因子了，变成相位因子，相位因子是一个复数，这个变化从拉长因子到相位因子之间，就是加入了一个负1的平方根，这件事情从今天看起来是有决定性的影响，在这个以前，物理学所讨论的数，都是普通的数，就是实数，可以是1，可以是1.5，可以是π，3.1416等等，可是这些都是实数，虚数是名字就看得出来，是虚的，是幻想出来的，虚数在算学家引进的原因，是大家记得要解二次方程式的时候，如果不用虚数，尤其方程式是没有解的，可是用了虚数就能解，可是这个是数学家所做的，物理学家所做的跟现实有关系，所以不觉得负1的平方根应该引到物理里头来，这也是薛丁格并没有认识到他当时已经找到了极为重要的一点，可是他又退缩了。可是过了几年以后，等到量子力学发现了以后，好几个人，包括薛丁格自己才了解到，原来物理里头，不只要用实数，而且要用虚数，既然用了虚数，就不要讨论拉长因子，而要讨论相位因子，这个相位因子，把I放进去以后，就写成这样子，这个是以后物理学的发展一个极为重要的新的方面。那么这个发展所得出来的结果，在1929年使得大家了解了，这个就是Weyl，他写了一篇重要的文章，叫做Gauge  symmetry  of  electromagnetis，中文翻译成电磁学的规范对称性，换句话说，电磁学的重要发展，在19世纪是麦克斯韦方程式，麦克斯韦方程式是与今天无线电的发展，电视的发展，以及现在网络所有这些发展，X光，激光都是直接发生影响，可是麦克斯韦方程式的结构，在以前，在1929年以前的了解，跟虚数没有关系，是实数。而这个了解，从今天看起来，不够深刻。更深的一个了解，是要引进虚数，引进虚数以后，引进一个对称的观点，叫做规范对称性，规范对称性与相位因子有密切的关系。