Tuesday, January 29, 2013

随机函数的谱分解 Feynman 发明了路径积分以后，量子理论看起来便不那么反传统了，路径积分的被积函数都是经典的，交换的力学量，被一个幺模复值泛函 加权，得到经典观测值

随机函数的谱分解--中国百科网

Feynman 发明了路径积分以后，量子理论看起来便不那么反传统了，路径积分的被积函数都是经典的，交换的力学量，被一个幺模复值泛函 加权，得到经典观测值



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漫谈几何量子化（一，二，三）[复制链接]

季候风
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1#
发表于 2008-1-22 04:39:14|只看该作者|倒序浏览
漫谈几何量子化（一）小史

从数学上理解“量子化” 是数学物理的课题之一。应用量子理论来探索新的数学对象和新的数学性质，根据某些学者提议，可以叫做 “物理数学”。自从量子力学诞生，数学家就一直在思索量子化的数学本质。我个人来揣度 Weyl 当初对量子化的理解，可以说是用代数来细化几何。 在广义相对论提出以后，量子力学尚在酝酿之时，Weyl 已经试图把电磁学纳入几何框架，即所谓 规范场论。在他看来，经典物理基础理论对应于几何。矩阵力学和波动力学出现以后，Weyl 第一个从数学上描述了量子力学，这就是他的著作《群论与量子力学》，他的语言基本上是当时的抽象代数。“经典物理用几何描述, 量子物理用代数描述”，这可以视为对量子化的一种理解。

矩阵力学和波动力学统一在“变换理论”框架下，这使得具有深刻分析背景的 von Neumann 意识到，某种函数空间上的微分算子理论对应于波动力学，而这种空间的代数结构可以用来归纳矩阵力学。因为这种函数空间已经被 Hilbert 的学生 Schmidt 研究过，而大家普遍相信是 Hilbert 的思想引导了对这种函数空间的研究，所以 von Neumann 用了 Hilbert space 这个名字。 据数学史研究者澄清，Hilbert space 的主要思想基本来自于 Schmidt 本人。von Neumann 的名著〈量子力学的数学基础〉用分析和代数的结合体 －－－ 算子代数来描述量子物理，他的基本定理是 Stone-von Neumann 定理：由坐标和动量生成的“Heisenberg 代数” [tex][Q,P]=\mathrm{i}\hbar[/tex] 只有唯一的自伴表示等价类，其中一个代表的表示空间是坐标的平方可积函数空间，坐标和动量分别表示为算子

.

这种对量子理论的理解可以大致总结为“非交换”观点，因为 Hilbert 空间 可以被理解为来源于力学变量的“非交换性”（更准确地说是“几乎交换性”）。由 von Neumann 这一脉相承而来的是我个人认为最有希望切入量子化本质的“非交换几何”。

[ 本帖最后由 季候风 于 2008-2-3 12:57 编辑 ]
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季候风
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2#
发表于 2008-1-22 09:02:50|只看该作者

漫谈几何量子化（二）闲话

Feynman 发明了路径积分以后，量子理论看起来便不那么反传统了，路径积分的被积函数都是经典的，交换的力学量，被一个幺模复值泛函 加权，得到经典观测值。由量子力学的概率解释，经典观测值应该是可观察量特征值的期望，这样路径积分非常像概率模型，权泛函就像概率密度一样。这里其实我很不理解的是，作为传播子（又叫 Green 函数或基本解），



的模方是粒子从 a 到 b 的迁移概率，而权函数本身的模方永远是 1，因而不能被视为任何同概率密度有关的量。从这个角度来说，可观察量 的期望为什么是



是非常难以理解的一个巧合。

在从算子描述推演路径积分的过程中，如果用虚时间，就得到完美的概率解释。这相当于考虑欧氏指标的时空背景。在这种数学模型中，量子理论可以理解成某些无穷维空间上的特殊概率测度理论。由于路径积分在 non-abelian 规范理论，弦论中的关键作用，这个解释也是很多数学物理学家努力探索的方向。近些年在随机面的数学理论方向有很多发展，这相当于研究二维欧氏时空量子理论的数学基础。

在“一维欧氏时空”，量子的运动完全由 Brownian motion 的数学理论刻画。显然，这种刻画不适用于真实世界，因为时间是实数而不是虚数。Brownian motion 非常适合描述股票等金融产品的价格随机性，如今已广泛用于金融市场理论。股票价格可以视为以时间为指标的一个随机过程（或者本质等价的，路径空间上的一个高斯测度），而随机面理论相当于研究有两个实指标的随机过程，我们应该期望这个理论会有一些跟我们社会生活相关的重要应用。

对于量子这个概念有着许多种不同理解，也许说明这个概念还不是基本概念（至少从数学上来说）。现在言归正传，说说量子化与几何的微妙关系。

[ 本帖最后由 季候风 于 2008-2-3 12:58 编辑 ]
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星空浩淼
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3#
发表于 2008-1-22 13:03:42|只看该作者

Re: 漫谈几何量子化（一）

季候风兄写得非常好！可能有了Latex书写数学公式的软件之后，才能真正发挥写文章的优势 。期待后面的系列
物理上称作算符的，数学上常称作算子。
从经典力学进入量子力学，带来了哪些根本的变化？除了本文提到的“非交换性”（或“非对易性”），我还同意杨振宁等人提到的“在物理概念上使用了虚数”（见他的“负一的平方根、复相位与薛定谔”一文）。过去虚数的使用仅仅为了数学方便，量子力学中的虚数却是不可或缺的。严格说来，在电磁场理论中已经在物理概念上使用虚数了，例如电磁波在截止波导内，沿波导方向上的波数分量变成虚数，电磁波变成evanescent波。但是这不奇怪，由于光子的特殊性，电磁场理论本质上直接是相对论性的和量子力学的。

通常路径积分的结果对应一个概率幅，它对应沿无穷多不同路径的跃迁概率幅的叠加。在路径积分中求期待值的公式，不光你困惑，许多人都困惑（包括我在内），因为这里面涉及求和或积分的加权因子不对应概率而是对应概率幅。例如，在量子力学中如何计算平均时间，是一个难题，有人就用路径积分方法，但得到的方法有多种，有人利用概率幅、而有人利用由概率幅构造出来的概率，哪种方法都有不能令人满意之处。

关于“量子理论可以理解成某些无穷维空间上的特殊概率测度理论”，这一点可以从多个不同角度上看出。例如，对于量子力学的测量理论，无论是传统的PV（“投影取值测度”）还是推广到现在的POVM（“正算子取值测度”）理论，PV和POVM都对应“谱测度”（只是前者同时对应投影算符），这个谱测度，可以看作是概率算符或概率测度。从另一个角度上看，有人试图把量子力学描述成相空间上的经典统计力学——唯一有点特殊的是，对应的分布函数不是正定的，但是如果考虑到Heisenberg不确定性原理，则分布函数仍然是正定的。统计力学的数学基础是概率统计。如果我没有记错，几何量子化建立在辛几何基础之上的，而辛几何又是建立在相空间上的（可能我的理解比较狭义）。因此，把量子理论理解成某些无穷维空间上的概率测度理论也好，理解成PV或POVM描述的“谱测度”也好，描述成相空间上的经典统计力学也好，可能这些跟几何量子化之间在物理上存在某种内在的统一性。

最后，季候风兄提到“在‘一维欧氏时空’，量子的运动完全由 Brownian motion 的数学理论刻画。”，这里是(1+1)维（即2维）还是真的就是一维？

BTW，关于Stone-von Neumann 定理，说来惭愧，以前我不知道这个定理，后来我研究一个问题，为了得到我愿望中的答案，我不得不强行假定Stone-von Neumann 定理成立，但是又没有证据。后来才知道我的假设早已经有Stone-von Neumann 定理作保证。
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blackhole
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4#
发表于 2008-1-22 15:23:20|只看该作者

Re: 漫谈几何量子化（一）

量子力学中的虚数却是不可或缺的。
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
真是如此吗?我到觉得量子力学中的虚数只是给量子力学更大的便利而已,而不是不可或缺.
显然,拿Shrodinger方程来说,完全可以取波函数的实部和虚部,或模和相位,分别得到一个方程.
用这两个实数方程,显然可以得到所有其他结果,只是麻烦而已.
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星空浩淼
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5#
发表于 2008-1-22 15:41:36|只看该作者

Re: 漫谈几何量子化（一）

回blackhole兄：
Shrodinger当年得到Shrodinger方程之后，出于习惯性思维，他千方百计地想办法去掉虚数单位，但结果是失败的。D. Bohm为了给出量子力学的量子势解释，把量子力学方程变成两个有着经典类比的方程，他试图用这种办法重现现有量子力学的一切，但好像不完全成功，而且那里存在一些问题和争议。

量子力学统计跟经典力学统计之间一个很大的差别就是：波函数（概率幅）的叠加干涉。取波函数的实部和虚部分别得到一个方程，那么概率幅之间的叠加干涉不好描述。特别地，当你用这类办法去掉虚数单位之后，你如何描述量子隧穿现象呢？
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shanqin
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6#
发表于 2008-1-22 20:26:30|只看该作者

Re: 漫谈几何量子化（一）

写得很精彩
PS：二楼第一个公式的积分公式出了小问题。
假如不曾一起逆着风
破着浪
我还不明了倔强
原来是一种力量
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季候风
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7#
发表于 2008-1-22 21:14:12|只看该作者

Re: 漫谈几何量子化（一）

从数学上来看，如果承认量子力学的概率解释，那么虚数产生的根源也许还是 Stone-von Neumann 定理。也许用实值函数组成的空间不能形成 Heisenberg 关系（不管交换子带不带虚数单位）的有概率解释的表示。

跟路径积分类似的无穷维空间上的测度不同于算子理论中的谱测度，谱测度的可测空间都是一个算子的谱点集合，一般来说是实数集或复数集的闭子集，虽然可能非常复杂，但并非无穷维的空间。

shanqin, 公式什么地方有问题？
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shanqin
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8#
发表于 2008-1-22 21:19:33|只看该作者

Re: 漫谈几何量子化（一）

paths omega from a to b.没有见过积分号下面这样写过的啊，以前见到一些作用量的积分号下面，也就是积分号一个，下限是a，上限是b。不知道这种写法是什么时候有的？
假如不曾一起逆着风
破着浪
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季候风
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9#
发表于 2008-1-22 21:50:47|只看该作者

Re: 漫谈几何量子化（一）

哦，多谢提醒，我修正了一下，意思就是在道路空间上积分
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blackhole
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10#
发表于 2008-1-22 22:31:24|只看该作者

Re: 漫谈几何量子化（一）

Shrodinger当年得到Shrodinger方程之后，出于习惯性思维，他千方百计地想办法去掉虚数单位，但结果是失败的。
～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～
这件事我不清楚。如果有这件事，我宁愿把它理解为“结果都不理想”，及不用虚数很不方便。

D. Bohm为了给出量子力学的量子势解释，把量子力学方程变成两个有着经典类比的方程，他试图用这种办法重现现有量子力学的一切，但好像不完全成功，而且那里存在一些问题和争议。
～～～～～～～～～～～～～～～～～～
他的不完全成功应该不在于不使用虚数，而在于理论解释方面。

量子力学统计跟经典力学统计之间一个很大的差别就是：波函数（概率幅）的叠加干涉。取波函数的实部和虚部分别得到一个方程，那么概率幅之间的叠加干涉不好描述。
～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～
只是不好描述而已。并非不可能。

特别地，当你用这类办法去掉虚数单位之后，你如何描述量子隧穿现象呢？
～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～
这个可以跟电磁理论中使用虚数的情况比较。量子隧穿现象与电磁波的衰减在数学形式上完全一致。而我们知道电磁理论原本可以只用实数表示，用复数表示时取结果的实部即得实数表示的结果。如何只用实数描述量子隧穿与如何只用实数描述电磁波衰减是一样的。
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星空浩淼
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11#
发表于 2008-1-23 09:55:41|只看该作者

Re: 漫谈几何量子化（一）

跟路径积分类似的无穷维空间上的测度不同于算子理论中的谱测度，谱测度的可测空间都是一个算子的谱点集合，一般来说是实数集或复数集的闭子集，虽然可能非常复杂，但并非无穷维的空间。
我这里所说的谱测度跟一般算子理论中的谱测度可能有所不同。算符的完备本征态可以张成一个无穷维的Hilbert空间，而相应的谱测度可以解释成“概率算符”。我将在另一个帖子的解释一下。

另：shangqin不必在意那个路径积分表达式的准确性，可以看作一个示意性的、定性表达的式子。通常情况下，那个作用量要写成对拉格朗日密度的时空积分，而路径积分中的积分测度，涉及到拉格朗日密度中的广义坐标和广义动量变量的微分元乘积
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sage
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12#
发表于 2008-1-23 10:03:27|只看该作者

Re: 漫谈几何量子化（一）

There is no difference between introducing "i" vs doing it with real and imaginary part. The amazing thing about quantum mechanics is that you have to add probability amplitudes like vectors, either with i or without i. The people saying introducing "i" is a wonder is just referring to this fact that the basic dynamical variables of quantum mechanics add like a 2D vector.

I don't see why the expectation value formula in path integral is so amazing and strange. It just follows from the expression of Green's function as functional integral.
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星空浩淼
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13#
发表于 2008-1-23 10:05:56|只看该作者

Re: 漫谈几何量子化（一）

试图去掉虚数单位的后果是：
不再有“力学量算符”的概念，不再有“波函数”的概念，不再有“薛定谔方程”的概念，从而通常的量子力学框架不在存在（比如，不再是用完备的内积空间——Hilbert空间来描述）。因此只要是在现有的量子力学框架之内，就可以说在物理概念上使用了虚数。一般的力学量算符都含有虚数单位，如果把波函数分成实部与虚部分别处理，就不再存在这样的力学量算符；同理薛定谔方程也会变成至少两个方程，而且那样的方程具有非线性和非局域性特征。

关于当年薛定谔试图去掉虚数单位的尝试，杨振宁的那篇文章里有说到。
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sage
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14#
发表于 2008-1-23 10:06:44|只看该作者

Re: 漫谈几何量子化（一）

但是这不奇怪，由于光子的特殊性，电磁场理论本质上直接是相对论性的和量子力学的。
===================================================================
I disagree. It is fundamentally different. The E&M as Maxwell described is the dynamics of classical condensate of photons. It is wave. Therefore, it happened to be also described by the similar wave equations. However, there is nothing "quantum" about classical E&M.
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星空浩淼
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15#
发表于 2008-1-23 10:13:50|只看该作者

Re: 漫谈几何量子化（一）

I don't see why the expectation value formula in path integral is so amazing and strange. It just follows from the expression of Green's function as functional integral.
是这样的，通常定义的平均值，本质上都是算符平均（注意到概率是出现频度除以总样本的极限），利用概率表达时，有（以离散求和为例）
F=∑f(i)P(i), i=1,2,3...
其中P(i)是物理量取值为f(i)的概率，F是物理量最后的平均值。然而，如果考察路径积分中的求平均，类比下来，成了下面这种（为方便，仍然表达成离散求和形式）：
F=∑φ(i)P(i), i=1,2,3...
其中φ(i)是物理量取值为f(i)的概率幅（而不是概率！）
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星空浩淼
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16#
发表于 2008-1-23 10:21:33|只看该作者

Re: 漫谈几何量子化（一）

The E&M as Maxwell described is the dynamics of classical condensate of photons. It is wave. Therefore, it happened to be also described by the similar wave equations. However, there is nothing "quantum" about classical E&M.
这里的“量子的”不是指“量子场论的”，而是指一次量子化意义上的那个“量子的”。例如，单个单个地发射光子的双缝干涉实验，表明电磁波的波动性对应单个光子的量子力学意义上的波动性，解释单个光子的双缝干涉实验，需要用到光子的量子力学内容，但不需要用到量子场论内容，这里不涉及光子的产生与湮灭，不涉及电磁真空涨落。
（在历史上，光子的“波粒二象性”对量子力学的产生起作直接的推动作用，即德布罗意把波粒二象性由光子推广到“实物粒子”）
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sage
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17#
发表于 2008-1-23 10:35:23|只看该作者

Re: 漫谈几何量子化（一）

I don't see why the expectation value formula in path integral is so amazing and strange. It just follows from the expression of Green's function as functional integral.
是这样的，通常定义的平均值，本质上都是算符平均（注意到概率是出现频度除以总样本的极限），利用概率表达时，有（以离散求和为例）
F=∑f(i)P(i), i=1,2,3...
其中P(i)是物理量取值为f(i)的概率，F是物理量最后的平均值。然而，如果考察路径积分中的求平均，类比下来，成了下面这种（为方便，仍然表达成离散求和形式）：
F=∑φ(i)P(i), i=1,2,3...
其中φ(i)是物理量取值为f(i)的概率幅（而不是概率！）[/quote]

I still don't see why it is strange. Let's agree the expectation value in Quantum Mechanics is given by


Say is a complete set of eigenstates of O, with eigenvalue . We can then write expectation value as


In the language path integral, this is just

(integral from to ) (integral from to ),

which is just proportional to

[tex]\int D [\omega] O e^{i I(\omega)}[/tex].
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星空浩淼
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18#
发表于 2008-1-23 10:41:16|只看该作者

Re: 漫谈几何量子化（一）

sage兄上面那个回复极有帮助！
看来我和许多人一样犯了一个共同的错误，经你这么一解释我一下子明白了。论坛万岁！sage兄万岁！

我现在要出门了，如果有进一步的回复，我回来之后再看哈
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季候风
Rank: 8Rank: 8
19#
发表于 2008-1-24 09:29:10|只看该作者

Re: 漫谈几何量子化（一）

跟路径积分类似的无穷维空间上的测度不同于算子理论中的谱测度，谱测度的可测空间都是一个算子的谱点集合，一般来说是实数集或复数集的闭子集，虽然可能非常复杂，但并非无穷维的空间。
我这里所说的谱测度跟一般算子理论中的谱测度可能有所不同。算符的完备本征态可以张成一个无穷维的Hilbert空间，而相应的谱测度可以解释成“概率算符”。我将在另一个帖子的解释一下。

[/quote]

你帖子里的 不管是不是投影算子，它的定义域都是 ｛算子谱点｝这个集合上的 sigma 代数，所以这个测度仍然是复数上的测度，即，. 这里 是算子的谱， 指拓扑空间上一个自然的 sigma 代数 --- 由开集生成的 Borel 代数。这个测度的取值是无穷维空间 H 上的算子，跟这个测度定义在无穷维空间上，是两个概念。比如在规范场论里，路径积分可以被看作 ｛所有规范场｝这个空间上的测度，即 .
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季候风
Rank: 8Rank: 8
20#
发表于 2008-1-24 11:29:59|只看该作者

Re: 漫谈几何量子化（一）

sage:

I don't understand your last sentence. Could you explain in further details?
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