Thursday, January 31, 2013

强调S=∫F[g(x)]dx是泛函而F[g(x)]是普通函数的人，可能基于这样一个理由：S“全局性地”依赖于g(x)，即依赖于某一自变量区间[x1, x2]上的整根曲线变化，变分ΔS与自变量x无关；

强调S=∫F[g(x)]dx是泛函而F[g(x)]是普通函数的人，可能基于这样一个理由：S“全局性地”依赖于g(x)，即依赖于某一自变量区间[x1, x2]上的整根曲线变化，变分ΔS与自变量x无关；



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什么是泛函[复制链接]

星空浩淼
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1#
发表于 2012-5-12 10:59:28|只看该作者|倒序浏览
这栋楼里面供大家讨论

讨论分两个层面：学术本身的内容（本体论意义上的东西），如果正确认识这些学术内容的问题（方法论意义上的东西）。在我看来，两者都是属于学术讨论的内容，并不是只有前者才是。前者属于“授之以鱼”，后者属于“授之以渔”。大家既交流各自所学，也交流方法经验。

我这里先说一点第二个层面意义上的看法：

1）辩论的双双，避免自说自话，两边避免各自只想着自己心中的那个理由，看不到对方想说的理由。这在讨论中是常见的问题，本人不能例外。只有理性认识到问题之后，尽量理性避免。

2）我觉得讨论中，尽量避免中国人看不起中国人的现象（每当此时，他似乎忘了自己也是中国人），例如，只要是中文材料，就一律鄙视，认定是错误的。问题是，你现在发的这些帖子内容，也是中文材料，那是不是也是垃圾？很多中文书籍教材，语言是中文的，可内容来自西方。

[ 本帖最后由 星空浩淼 于 2012-5-12 14:09 编辑 ]
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星空浩淼
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2#
发表于 2012-5-12 11:31:04|只看该作者
那么泛函是怎么回事？我谈谈自己的看法

首先，说 S=∫F[g(x)]dx是泛函，大家都没有意见。但是关于F[g(x)]是不是泛函，大家就有分歧了。

首先，为什么S=∫F[g(x)]dx是泛函？因为S直接依赖于函数g本身，而不是依赖于函数g(x)的自变量x，因为在这个积分中，x作为积分变量，相当于离散求和中的求和指标，属于“哑指标”，它在积分中“被积掉了”。S对g(x)的依赖，属于对g(x)这个函数形式的依赖，即当原来的函数g变为另一个函数(g+Δg)时，S也随之变为(S+ΔS)，其中函数g的变分Δg，不是来自于自变量x的变化dx而产生的微分dg，而是直接把函数g(x)变成另一个函数(g+Δg)(x)所带来的改变。换句话说，S作为g的函数（考虑到g本身同时又是自变量x的函数，所以把S称之为泛函），g相对于S而言的角色，直接就是自变量，而不是自变量x的因变量——在这里，g变与不变，与x变不变没有关系。例如可以把x固定下来，让g作为自变量自由变化（g(x)→(g+Δg)(x)），由此研究S随g而变而变的规律，这就是变分法。

同理，F[g(x)]既可以被看做是关于x的复合函数（此时F只随x变化而变化），也可以被视为直接随g自由变化而变化的泛函。对于后者，g变与不变，与x变不变没有关系。例如即使x不变，g仍然可以自由变化（g(x)→(g+Δg)(x)），从而F随g而变，此时的F，就可以被视为泛函。当F[g(x)]被看做是关于x的复合函数时，x变化一个dx带来F的变化dF(微分)；当F被看做是关于g的泛函时，g变化一个Δg，带来F的变化ΔF(变分)。

量子场论中，用变分原理给出拉格朗日方程时，要涉及到场变量和共轭动量的变分引起的拉格朗日密度的变分，此时拉格朗日密度扮演的角色是泛函，而不是时空坐标的复合函数。注意：场算子及其共轭动量，也是广义坐标和广义动量；量子场论中直接与拉格朗日密度打交道，因为此时把时间和空间统一成四维时空，广义坐标和广义动量同时是四维时空坐标的函数。

强调S=∫F[g(x)]dx是泛函而F[g(x)]是普通函数的人，可能基于这样一个理由：S“全局性地”依赖于g(x)，即依赖于某一自变量区间[x1, x2]上的整根曲线变化，变分ΔS与自变量x无关；而F则是“局域性地”依赖于g(x)，在g(x)→(g+Δg)(x)下，变分ΔF不仅仅与变分Δg有关，同时还是x的函数，即有：
ΔS=ΔS(Δg)
ΔF=ΔF(Δg,x)

但是在我看来，这不是理由。最重要的是，在物理内容不变的前提下，术语叫法，只是约定成俗而已，如果地球人类已有的文献上都没有统一，没有必要非得说只有自己的叫法才是对的。

[ 本帖最后由 星空浩淼 于 2012-5-12 14:11 编辑 ]
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feng1734
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3#
发表于 2012-5-12 12:05:11|只看该作者

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F[g(x)]，这里你把x固定下来我不确定是什么意思

假设你说的是固定一个x取值，即令x=x0，那么，让g（x）的表达式变化，于是不同的g（x）就会给出不同的g（x0），于是就会给出不同的F[g(x0)]，如果你认为这个F是泛函，那么就需要把定义域找出来，你认为是所有可能的g（x）吧，这里g（x）虽然在变但都只是单点函数，单点函数的泛函就是普通函数，，，，，，

假设你说的是固定x变化的区间，即x总属于[x1，x2]，这时g（x）也会给出一个区间，表达式不同的g（x）会给出不同的区间，于是F[g(x)]也会给出不同的区间，如果你认为F仍然是泛函的话，那么它的定义域是什么呢？你应该认为是定义在[x1，x2]上的所有的g（x）吧，当取定某一个在[x1，x2]上的g（x）后，F[g(x)]会给出一个区间，而不是一个数，所以F[g(x)]的值域并不是一个数域，而是若干个区间构成的集合，于是F[g(x)]就不是泛函，他的值域不符合要求
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星空浩淼
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4#
发表于 2012-5-12 12:09:52|只看该作者
对二楼补充一下：

我们知道，给定一个线性空间，可以这样定义线性泛函：它将线性空间上的矢量映射为数值函数（为了方便，常常把映射得到的结果，当做映射本身）。例如波函数ψ(x)=<ψ|x>就可以看做是定义在态矢|x>上的线性泛函，它的定义域是状态矢量|x>张成的Hilbert空间，值域是函数空间。我们从这个例子中，也能对泛函定义体会一二。

[ 本帖最后由 星空浩淼 于 2012-5-12 12:19 编辑 ]
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星空浩淼
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5#
发表于 2012-5-12 12:15:21|只看该作者
F[g(x)]，这里你把x固定下来我不确定是什么意思
-----------------------------------------
即x的形式保持不变
例如，F在g(x)→(g+Δg)(x)下的变化是变分，而在g(x)→(g+Δg)(x+dx)下的变化，则是“变分+微分”。

其他的，我该说的都说了。
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feng1734
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6#
发表于 2012-5-12 12:15:38|只看该作者

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数值函数不是数，数值函数构成的集合不是数域，除非你另外做一个基于函数的数域出来，你需要定义函数的加法和乘法等等所有一个数域必须的结构
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feng1734
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7#
发表于 2012-5-12 12:17:31|只看该作者

回复 5# 的帖子

x是最基本的自变量，只有定义域问题，没有形式问题，，只有函数表达式才有形式问题
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星空浩淼
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8#
发表于 2012-5-12 12:32:17|只看该作者

回复 7# 的帖子

语言表达是为内容服务的，如果你无视内容钻字眼，就本末倒置了。

我五楼的回复，可以看做是我的语境下的定义。定积分中有一个定理，就是积分变量的形式变化不变性（相当于离散求和中，哑指标的记号无关性），要是按照你的意思，你应该如何说？

[ 本帖最后由 星空浩淼 于 2012-5-12 14:12 编辑 ]
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feng1734
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9#
发表于 2012-5-12 12:41:20|只看该作者

回复 8# 的帖子

数学上定义好的东西不是可以自己理解发挥的，泛函，变分或者微分的概念不是随便就可以定义的，，，，，你告诉我哪里说错了
这个积分的不变性我好想没听说过，你愿意的话可以给个链接啥的
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abada
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10#
发表于 2012-5-12 12:49:33|只看该作者
先解决一个哲学或方法论问题：定义不同，判断就会不同。再解决一个事实问题：同一个词，不同的人、学科、教材，不同的时期，会有不同的定义。

没有任何数学定义会被当作法律让其它作者必须遵循。

这是讨论的认识大前提。

物理学家并不总遵循严格的传统的数学家的名词定义。比如狄拉克 δ函数当初数学上说就不是函数。后来量子力学中所说的某些希尔伯特空间，也超出了当时数学家定义的范畴。

费曼路径积分，至今数学家也没有严格理论能容纳之。

物理学家不会把数学定义当法律。他们可以有自己的说法。
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abada
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11#
发表于 2012-5-12 13:00:28|只看该作者
定义不一定要给出，而是自己的前后文使用之时没有矛盾即可，它的有效性在于能使叙述方便，当然要在无矛盾的前提下。

物理学家说的泛函，常常就指以函数为变量而跟随变化的函数。

于是，当给定一个L（q(t), q'(t) )的形式时，L不再是泛函。

而基础物理的一个主要任务是确定各种各样的L。 当L的表达式尚未确定时，就把它当做是（q(t), q'(t) ) 的泛函， 其中q是坐标的场函数。
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星空浩淼
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12#
发表于 2012-5-12 13:04:27|只看该作者
之所以有不同理解，因为那些原始文献上的说法都不统一，一般地，没有必要生搬硬套地规定哪一种才是正确的——只要不因此产生错误的内容就行。大家根据自己的理由，用自己的语言来表达，定义是一种约定成俗的东西，关键在于内容。

物理中，不少概念的含义不同于数学中相应的概念，就连物理学内部，都有一些概念不统一。例如，“自共轭”和“厄米”本来是有差别的，但在许多书中二者是可以相互替换着的。只要含义确定了，能够self-consistent就行
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季候风
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13#
发表于 2012-5-13 11:09:50|只看该作者

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如果选定三个有限维空间 X,Y,Z, 则函数的复合可以视为一个 “算子”: 如果 , 则







如果进而选定函数 , 则当 f 取 Func(X,Y) 中不同函数的时候，“与G复合” 这个操作仍然是一个算子：





场论的情况， 的形式固定， 而场位形 是可变的， 所以从 场位形 通过求导，复合，得到密度函数的过程，是一个算子。形式地写出来，这个算子是





其中， 是指时空上相应的向量丛的所有截面的空间，也就是说，所有场位形的空间；id 是恒等映射， 是求协变导数的运算。把以上抽象记号展开，就得到我们熟悉的表达形式

.

[ 本帖最后由 季候风 于 2012-5-13 13:35 编辑 ]
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季候风
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14#
发表于 2012-5-13 11:23:33|只看该作者
之所以这样一个话题引出如此多的争论，就是因为传统的记号不注意把函数本身和它的取值明确地区分开来。在函数的定义域和值域非常简单而且对函数的使用非常直接的时候，这种记号上的混淆并不会引起多少误解。但是当复杂度提升一点点，比如拉氏量拉氏密度的情况，误解就可能产生。

但我相信这也是很难解决的问题。物理系的学生是不大可能有时间把这些抽象概念和符号1-1理清的，老师通常也不鼓励这么做，毕竟，可能会迷失在抽象概念和符号的游戏中，而失掉重要的物理图像。所以我虽然在对两个帖的回复中都试图解释用正统的数学语言如何表达，但我也同意 sage 的建议，即这些讨论对于理解量子场论并不具有本质的意义。
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feng1734
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15#
发表于 2012-5-13 11:30:40|只看该作者
补充一点，，
函数是数域到数域的映射，泛函是函数集合到数域的映射

[ 本帖最后由 feng1734 于 2012-5-13 11:37 编辑 ]
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季候风
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16#
发表于 2012-5-13 12:02:57|只看该作者
原帖由 feng1734 于 2012-5-13 11:30 发表
补充一点，，
函数是数域到数域的映射，泛函是函数集合到数域的映射


who doesn't know that?
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feng1734
Rank: 1
17#
发表于 2012-5-13 12:08:12|只看该作者

回复 16# 的帖子

因为你13楼里把集合到集合的映射就叫做函数了
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季候风
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18#
发表于 2012-5-13 12:14:11|只看该作者
多元函数也是函数，所以欧氏空间之间的映射都叫做函数。

在谈论抽象概念的时候，函数和映射本来就是通用的。当然，我承认此处会引起误解。我将强调 X, Y, Z 限制为欧氏空间。谢谢提醒。
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一直想思考
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19#
发表于 2012-5-13 12:49:10|只看该作者

回复 14# 的帖子

我不理解他们的争论的目的。 不过，我喜欢季兄这样清楚的讨论。

不过就我个人来说，我认为搞清抽象的数学概念来龙去脉是有意义的。 因为，我对自己认识的比较清楚。

那些不建议物理系学生彻底搞清楚这些抽象符号的老师，大概默认学生物理很好。

我觉得自己的物理思维不是特别好。因此，我必须弄懂数学的抽象形式。虽然还没到数学系学生那样的洁癖。

比如对于Noether定理，我还是觉得几何的讲法，我才能完全接受。

[ 本帖最后由 一直想思考 于 2012-5-13 12:51 编辑 ]
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一直想思考
Rank: 1
20#
发表于 2012-5-13 12:51:00|只看该作者

回复 18# 的帖子

还有对于GR，我觉得没精通所需要的几何我是肯定学不下去。

而且我看到几个profs。没几何，纯物理的讨论话，他们讨论起来也是极其混乱。
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