這是
Google 對 http://www.doc88.com/p-974464022762.html
的快取。 這是該網頁於 2012年12月7日 00:00:40 GMT 顯示時的快照。 在此期間，目前網頁可能已經變更。 瞭解更多資訊
提示：如要在這個網頁上快速尋找您所搜尋的字詞，請按下 Ctrl+F 鍵或 ⌘-F 鍵 (Mac)，然後使用尋找列進行搜尋。
提示：如要在這個網頁上快速尋找您所搜尋的字詞，請按下 Ctrl+F 鍵或 ⌘-F 鍵 (Mac)，然後使用尋找列進行搜尋。
這些搜尋字詞已反白標明： 非 马尔 可 夫 库 中 谐振 子 系统 的 三 模 纠缠 和 压缩
摘要
量子纠缠在量子传输及量子通讯方面扮演着重要的角色，但是在分析连续变量通道时，由于系统不可避免地与外界相互作用，必需将退相干和耗散考虑在内，因此研究开放系统的纠缠特性是～个重要的课题，引起了人们的广泛关注。
在开放量子理论中，系统的动力学性质是由主方程的约化密度矩阵来描述的。本文推导了三个全同的谐振子系统与一个非马尔可夫库相互作用时满足的非马尔可夫主方程，并在此基础上讨论了系统的三模纠缠和压缩。这种非马尔可夫主方程方法并没有采用玻恩近似和马尔可夫近似，而是把环境看做是谐振子的非马尔可夫库。为了简化求解主方程的过程，我们对位置算符和动量算符执行么正变换，使得系统在新的变换基下只有一个谐振子与库耦合，而其它谐振子都与库退耦合。由此可以在Ｗｉｇｎｅｒ表象中给出系数随时间演化的协方差矩阵元的耦合一阶常微分方程组。以三模压缩真空态为初态，用龙格．库塔法进行数值计算，求解出协方差矩阵元的时间演化。该方法比计算福克．普朗克方程更简单。然后通过计算负本征值得到纠缠演化，并用局域压缩变换计算三模压缩随时问的演化。
分析比较纠缠和压缩的特性，最终得出以下结论：三个全同谐振子的三模纠缠和压缩不仅依赖于谐振子的初态，还与库的性质，系统和库的耦合强度密切相关。同时还发现当谐振子之间存在三模纠缠时，也将存在三模压缩；当谐振子处于分离状态时，三模压缩也随之消失。
关键词：纠缠，连续变量，高斯态，非马尔可夫，谐振子 Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｑｕａｎｔｕｍ ｅｎｔａｎｇｌｅｄ ｓｔａｔｅｓ ｐｌａｙ ａｎ ｉｍｐｏｒｔａｎｔ
ｒｏｌｅ ｉｎ ｔｈｅ ｑｕａｎｔｕｍ ｔｅｌｅｐｏｒｔａｔｉｏｎ ａｎｄｑｕａｎｔｕｍ ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｓｃｉｅｎｃｅ．Ｂｕｔ ｄｕｅ ｔｏ ｔｈｅ
ｕｎａｖｏｉｄａｂｌｅ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｅｎｖｉｒｏｎ—ｍｅｎｔ，ｗｅ ｓｈｏｕｌｄ ｔａｋｅ ｄｅｃｏｈｅｒｅｎｃｅ ａｎｄ
ｄｉｓｓｉｐａｔｉｏｎ ｉｎｔｏ ａｃｃｏｕｎｔ ｗｈｅｎ ｗｅ ａｎａｌｙｚｅ ｃｏｎｔｉｎ—ＵＯＵＳ ｖａｒｉａｂｌｅ ｑｕａｎｔｕｍ
ｃｈａｎｎｅｌｓ．Ｔｈｅｒｅｆｏｒｅ ｔｈｅ ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｆ ｔｈｅ ｄｙｎａｍｉｃｓ ｏｆ ｅｎｔａｎｇｌｅｍｅｎｔｉｎ ｏｐｅｎ ｑｕａｎｔｕｍ
ｓｙｓｔｅｍｓ ｈａｓ ｂｅｃｏｍｅ ａ、，ｉｔａｌ ｔｏｐｉｃ ａｎｄ ｈａｓ ａｔｔｒａｃｔｅｄ ｍｕｃｈ ａｔｔｅｎｔｉｏｎ． Ｗｉｔｈｉｎ ｔｈｅ
ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ ｏｐｅｎ ｑｕａｎｔｕｍ ｓｙｓｔｅｍｓ，ｔｈｅ ｄｉｓｓｉｐａｔｉｖｅ ｄｙｎａｍｉｃｓ ａｆｅ ｍａｉｎｌｙｄｅｓｃｒｉｂｅｄ ｂｙ
ｍａｓｔｅｒ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｄｕｃｅｄ ｄｅｎｓｉｔｙ ｍａｔｒｉｘ．Ｗｅ ｕｓｅ ｔｈｅ ｐｅｒｔｕｒｂａｔｉｖｅｍｅｔｈｏｄ ｔｏ
ｄｅｒｉｖｅ ｍａｓｔｅｒ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｄｅｎｓｉｔｙ ｍａｔｒｉｘ ｏｆ ａ ｓｙｓｔｅｍ ｃｏｍｐｏｓｅｄ ｏｆ
ｔｈｒｅｅｃｏｕｐｌｅｄ ｉｄｅｎｔｉｃａｌ ｈａｒｍｏｎｉｃ ｏｓｃｉｌｌａｔｏｒｓ ｓｉｍｕｌｔａｎｅｏｕｓｌｙ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｎｇ Ｗｉｔｌｌ ａ
ｃｏｍｍｏｎ ｅｎｖｉ—ｒｏｎｍｅｎｔ．Ｗｅ ｄｏ ｎｏｔ ｍａｋｅ ｔｈｅ ｒｏｔａｔｉｎｇ—ｗａｖｅ ａｎｄ ｍａｒｋｏｖｉａｎ
ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｓ ｏｎ ｔｈｅ ｉｎｔｅｒ－ａｃｔｉｏｎ Ｈａｒｎｉｌｔｏｎｉａｎ ａｎｄ ｔｒｅａｔ ｔｈｅ ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔ ａｓ ａ
ｎｏｎ—ｍａｒｋｏｖｉａｎ ｒｅｓｅｒｖｏｉｒ ｔｏ ｔｈｅ ｏｓｃｉｌｌａ－ｔｏｒｓ．Ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｔｈｅ ｍａｓｔｅｒ ｅｑｕａｔｉｏｎ·ｉｎ ａ
ｓｉｍｐｌｅ ｗａｙ，ｗｅ ｍａｋｅ ａ ｕｎｉｔａｒｙ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ ｏｆｔｈｅ ｐｏｓｉｔｉｏｎ ａｎｄ ｍｏｍｅｎｔｕｍ
ｏｐｅｒａｔｏｒｓ，ａｎｄ ｗｅ ｆｉｎｄ ｔｈａｔ ｉｎ ｔｈｅ ｎｅｗ ｔｒａｎｓｆｏｒｍｅｄ ｂａｓｉｓ ｔｈｅｓｙｓｔｅｍ ｉｓ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄ
ｂｙ ａ ｓｅｔ ｏｆ ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔ ｈａｒｍｏｎｉｃ ｏｓｃｉｌｌａｔｏｒｓ、ⅣｉⅡｌ ｏｎｌｙ ｏｒｌｅ ｏｆ ｔｈｅｍｃｏｕｐｌｅｄ ｔｏ
ｔｈｅ ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔ．Ｗｏｒｋｉｎｇ ｉｎ ｔｈｅ Ｗｉｇｎｅｒ ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｄｅｎｓｉｔｙ ｏｐｅｒａｔｏｒ，ｗｅ
ｇｅｔ ａ ｓｅｔ ｏｆ ｃｏｕｐｌｅｄ ｆｉｒｓｔ ｏｒｄｅｒ ｏｒｄｉｎａｒｙ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ
ｃｏｖａｒｉａｎｃｅ ｍａｔｒｉｘｅｌｅｍｅｎｔｓ ｗｈｏｓｅ ｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ ｃｈａｎｇｅｄ ｗｉｔｈ ｔｉｍｅ．Ｗｅ ｆｉｎｄ ｔｈａｔ
ｗｏｒｋｉｎｇ ｗｉｔｈ ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎ－ｔｉａｌ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ｔｈｅ ｃｏｖａｒｉａｎｃｅ ｍａｔｒｉｘ ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｉｔ
ｉｓ ｅａｓｉｅｒ ｔＯ ｆｉｎｄ ｔｈｅ ｄｅｎｓｉｔｙ ｏｐｅｒａｔｏｒ ｏｆｔｈｅ ｓｙｓｔｅｍ ｔｈａｎ ｗｏｒｋｉｎｇ ｗｉⅡＩ ｔｈｅ
Ｆｏｋｋｅｒ－Ｐｌａｎｃｋ ｅｑｕａｔｉｏｎ．Ｓｏｌｖｉｎｇ ｆｏｒ ｔｈｅ ｔｉｍｅ ｅｖｏｌｕｔｉｏｎｏｆ ｔｈｅ ｃｏｖａｒｉａｎｃｅ ｍａＵ＇ｉｘ
ｅｌｅｍｅｎｔｓ ｂｙ ｔｈｅ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｍｅｔｈｏｄｓ ｏｆ Ｒｕｎｇｅ－Ｋｕｔｔａ ａｎｄ ｓｅｔｔｉｎｇｔｈｒｅｅ－ｍｏｄｅ ｓｑｕｅｅｚｅｄ
ｖａｃｌｌｕｍ ｓｔａｔｅ舔ｉｎｉｔｉａｌ ｓｔａｔｅ，ｗｅ ｃａｎ ｔｈｅｎ ｏｂｔａｉｎ ｔｈｅ ｅｎｔａｎｇｌｅｍｅｎｔｄｙｎａｍｉｃｓ ｔｈｒｏｕｇｈ
ｔｈｅ ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｎｅｇａｔｉｖｉｔｙ ａｎｄ ｇｅｔ ｔｈｅ ｓｕｍ ｏｆ ｔｈｅ ｖａｒｉａｎｃｅｓ ｏｆｔｈｅ
ｐｏｓｉｔｉｏｎ ａｎｄ ｍｏｍｅｎｔｕｍ ｏｐｅｒａｔｏｒｓ ｔｈｒｏｕｇｈ ｌｏｃａｌ ｓｑｕｅｅｚｉｎｇ ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ． Ｔｈｅ
ｒｅｓｕｌｔｓ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｒｏｅ－ｍｏｄｅ ｅｎｔａｎｇｌｅｍｅｎｔ ｎｏｔ ｏｎｌｙ ｄｅｐｅｎｄｓ ｏｎ ｔｈｅ ｉｎｉｔｉａｌ
ｓｔａ￡ｃｂｕｔ ｉｓ ａｌｓｏ ｃｌｏｓｅｌｙ ｒｅｌａｔｅｄ ｔｏ ｔｈｅ ｎａｔｕｒｅ ｏｆ ｔｈｅ ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔ ａｎｄ ｔｈｅ
ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｓｔｒｅｎｇｔｈｂｅｔｗｅｅｎ ｓｙｓｔｅｍ ａｎｄ ｔｈｅ ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔ．Ｉｎ ａｄｄｉｔｉｏｎ，ｗｅ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ
ｔｈｒｅｅ－ｍｏｄｅ ｅｎｔａｎ—ｇｌｅｍｅｎｔ ｃａｎ ｂｅ ｐｒｅｄｉｃｔｅｄ ｂｙ ｓｕｉｔａｂｌｙ ｔｒａｎｓｆｏｒｍｅｄ ｓｑｕｅｅｚｅｄ
ｆｌｕｃｔｕａｔｉｏｎｓ ＳＯ ｔｈａｔ ａｎｙｗｈｅｒｅｔｈｅｒｅ ｉｓ ｓｑｕｅｅｚｉｎｇ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅ ｏｓｃｉｌｌａｔｏｒ ｍｏｄｅｓ
ｔｈｅｒｅ ｉｓ ａｎ ｅｎｔａｎｇｌｅｍｅｎｔ． Ｋｅｙ Ｗｏｒｄｓ：ｅｎｔａｎｇｌｅｍｅｎｔ，ｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ ｖａｒｉａｂｌｅｓ，Ｇａｕｓｓｉａｎ
ｓｔａｔｅｓ，ｎｏｎ－ｍａｒｋｏｖｉａｎ，ｈａｒｍｏｎｉｃ ｏｓｃｉｌｌａｔｏｒｓ ｉｉ 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明
本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外。本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承扭。
作者签名： 吾心列韬 日期：２００７年５月多Ｊ日 学位论文版权使用授权书
本学位论文作者完全了解学校有关保帘、使用学位论文的规定，印：学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到《中国学位论文全文数据库》，并通过网络向社会公众提供信息服务。
作者签名：弓４千ｊ易彳 导师签 日期： 年 月 Ｅｌ 日期：２０Ｄ７年５月引日
本人已经认真阅读“ＣＡＬＩＳ高校学位论文全文数据库发布章程’’，同意将本人的学位论文提交“ＣＡＬＩＳ高校学位论文全文数据库＂中全文发布，并可按“章程”中的规定享受相关权益。回童论塞埕窑匡进卮！旦坐生；旦＝生；旦三生筮查！
作者签名：孙和）老彳 导师签 日期： 日期：印７年岁月弓１日 ⑨ 项士学位论文 Ｍ＾ＳＴＥＲ’Ｓ ＴＨＥＳＩＳ 引 言
在过去十年里的量子通讯研究中，量子隐形传输【１－３】及量子密码学【４，５】结合了量子纠缠理论，引起了人们广泛的重视。从理论上讲两极化光子、两二能级原子或两电子自旋等离散变量量子纠缠态【６，刀与量子光学中的两压缩光场连续变量量子纠缠态【８】在量子通道中传输量子纠缠态具有同样的作用。但是实际上，连续变量量子纠缠态比起离散变量量子纠缠态更为实用，因为它对单粒子退相干效应不敏感，并且光场压缩纠缠态已经通过光学非线性过程被实验实现，也是实际操控各种量子通讯协议中的一个关键量子纠缠源。
但是量子系统绝不是孤立于外在环境的。系统与环境之间的相互作用引发了退相干现象，这种退相干效应对量子叠加和量子纠缠有破坏作用，这就是实现量子计算和其它量子装置的主要障碍。另外，最近许多实验为利用退相干和耗散来产生纠缠和量子态的叠加铺平了道路。为了更好地理解退相干的本质，这使得在开放系统中研究连续变量量子纠缠动力学成为一个很热门的课题。
传统上研究开放量子系统通常采取马尔可夫近似【９－ｌｌ】和玻恩近似。马尔可夫近似要求环境的迟豫时间比系统演化时间短很多，这时系统流失到环境中的信息和能量不会再回到系统中去，而是很快地扩散开来。玻恩近似要求系统与环境之间的相互作用与系统自身演化相比可以看作非常弱的作用。这两种近似并不是在所有的情况下都成立。特别是对于系统与环境之间的相互作用较强的固体量子系统，比如光子带隙材料中原子的衰减ｆ１２】和量子点【１３］，马尔可夫近似不再成立。同样在原子激光【１４］中库与单模腔相互作用也是非马尔可夫的。或者当我们只对演化的初始阶段感兴趣，甚至对那些库的记忆时间比系统的特征时间还要小得多的马尔可夫系统而言，我们更有必要研究开放量子系统中的非马可夫动力学理论。
近年来已有好几个研究组对连续变量量子纠缠态的非马可夫动力学进行了研究。Ｐｒａｕｚｎｅｒ等人研究了连续变量纠缠态在单个非马尔可夫库【１５，１６】中的动力学行为，Ｍａｎｉｓｃａｌｃｏ等人研究了连续变量纠缠态在两个非马尔可夫库【１７＿２ｌ】中的动力学行为。人们发现系统在与共同的非马尔可夫库耦合时产生的纠缠更容易保存，并且此时两个子系统间可能产生新的纠缠。
在此背景下，高斯态起着重要的作用。高斯态是指具有高斯形式的特征函数或准概率分布函数的量子态。多模高斯态作为光学量子态的典型代表，对量子信息处理和量子计算有着潜在的而又重要的作用。Ｓｉｍｏｎ讨论了三模高斯态的可分
⑨ 项士擘住论文 Ｍ＾ＳＴＥＲ’Ｓ
ＴＨＥＳｉＳ离性【２２，２３１，Ｃｉｒａｃ等人提出了三模高斯态的可分离判据【２４］，用这些判据来描述三模高斯态的纠缠特性有着许多优点。由于三模连续变量纠缠态是研究多模连续变量纠缠态中最简单又重要的实例，因此深入研究谐振子系统与非马尔可夫库相互作用的三模纠缠和压缩性质是一个既有理论意义，又有实际价值的重要课题。
本文的主要内容如下： 在第二章中，简单介绍了本文所需的基本知识，主要包括开放量子系统的理论介绍、连续变量的纠缠的概念及纠缠判据。
在第三章中，研究了初始处于三模连续变量纠缠态的系统共同与一个非马尔可夫库相互作用时的三模纠缠和压缩。通过求解系数随时间演化的协方差矩阵元的耦合一阶常微分方程组，用负本征值分析了三模纠缠；通过局域的单模压缩变换，得到了三模压缩的涨落。最后根据Ｐｅｔｅｒ
Ｌｏｏｃｋ提出的三模纠缠的必要条件，讨论了三模纠缠和压缩之间的关系。 在第四章中，对本文作了总结和展望。 ２ ⑨ 项士擘位论文 ｈ吣ＴＥＲ’Ｓ Ｔ腿ＳＩＳ
第一章 基础理论知识介绍１．１开放量子系统１．１．１开放量子系统
开放量子系统是指宇宙分为系统和环境两部分构成。由于系统和环境之间的相互作用，开放体系容易丧失内部相干性、降低纠缠度，因而失去很多量子信息。因此我们有必要研究开放量子系统理论。
１９６３年Ｆｅｙｎｍａｎ和Ｖｅｒｎｏｎ【２５】假设环境开始处于某一温度的热平衡态，由于只对系统感兴趣，可以把环境变量积分掉，然后用路径积分的方法得到约化密度矩阵的随时间演化方程，从这个方程式可以看出此过程是非马可夫的。１９８３年Ｃａｌｄｅｉｒａ和Ｌｅｇｇｅｔｔ【２６］假设环境为欧姆库，他们得到了在高温近似和马可夫近似条件下的约化密度矩阵的演化方程，这一方程和古典布朗运动模型的Ｌａｎｇｅｖｉｎ运动方程相似。从这个方程式可以看出开放量子体系理论【２７】的一个典型模型是量子布朗运动：假设在整个体系中，作为开放系统的一个粒子与任意温度下的环境之间存在线性相互作用，耦合强度为入，而环境则是由大量互不耦合的谐振子构成。这个模型广泛地应用在许多物理环境中，比如：它描述了在线性电介质中传播的量子电磁场ｆ２８］，与耦极近似电磁场相互作用的粒子【２９］，受人造色噪声影响的单个囚禁离子【３０１。除此以外，量子布朗模型还应用在核物理【３
１１和量子化学【８】中。１９９２年Ｈｕ，Ｐａｚ和Ｚｈａｎｇ【３２］才得到约化密度矩阵在任意温度下，非马可夫过程中的演化方程。它显示出非马可夫的效应的重要性，并且在某些情况下与马可夫近似的结果显著不同。１．１．２非马尔可夫主方程方法
对开放量子系统做研究时均采用的是开放量子系统的主方程模型【３２，３３１。由于整个宇宙是一个封闭系统，它满足量子力学的动力学方程，由此可以写下整个宇宙的密度矩阵所满足的方程式。然而如果所感兴趣的只是系统Ｓ本身，可以把环境的动力学变量积分掉，从而得到剩下来的系统Ｓ的约化密度矩阵所满足的方程，即主方程，它是决定量子开放系统的约化密度矩阵在环境影响下随时间演化规律的方程。一般来说，复合系统（开放系统加上环境）的哈密顿量，由三个部分构
３成： Ｈ＝Ｈｓ＋Ｈｃ＋ｖ１
（１．１）其中风和刀：分别为系统和库的哈密顿量，ｙ是系统与库之间的相互作用哈密顿量。在相互作用表象下，总密度矩阵甜的量子刘维方程可写为： 主碡＝【矿（￡），训，
（１．２）这里露＝罐丹‰和ｖ－（ｔ）＝ｔｒｏｔｙ％分别表示在相互作用表象中的总密度矩阵和相 ％＝唧［掣］．互作用密度矩阵，其中 ｍ３，
假砹系统与庠Ｚ１日Ｊ阴相且作用很，ｊ、，口Ｊ以圯布甘且作用坝Ｖ看厩傲扰。从ｔ－Ｕ秋分到ｔ＝ｔ’结果为：
屏（ｔ）＝屏（。）＋ｉ１／ｏ。出·渺（￡１），屏（￡－）】． （１．４）由迭代思想可以获得屏（￡）的近似解： 砷Ｍ（０）＋萎新“厂州新嘲…删［ｖＣ
Ａ删】’（１．５）这个级数称为戴森级数。可以用这个级数对库求迹来计算二阶约化密度矩阵。 磊（亡）＝去巩Ｉ矿（晚屏（。）】一两１
Ｚ。出·玑【矿（吐吵（柚，磊（。）】】． （１．６）
假设初始系统与库之间没有关联，也就是说总的初始密度矩阵是形式为肼（ｏ）＝ｐ（ｏ）＠依（ｏ）的张量积。而从薛定谔表象中变换到相互作用表象中屏（ｏ）＝肼（ｏ），也就是说屏（ｏ）＝ｐ（ｏ）ｏ纯（ｏ），将此式代入方程（１．６）中可得
１ Ｈ 辱（ｔ）５磊１玑ｆ矿（ｔ），ｐ（ｏ）ｐ风（ｏ）】一嘉Ｚ出ｌＴｒ芒［ｆｌ（ｔ）１ ，吵（￡１），ｐ（ｏ）ｐ纯（ｏ）】】． ４ ⑨ 项士擘位论文
ＭＡＳＴＥＲ’Ｓ ＴＨＥＳＩＳ同理可以用方程（１．４）替换方程（１．７）中的ｐ（ｏ）并将结果展开到二级近似有
屏（亡）＝熹巩（矿（￡），痧（ｔ）。戊（０）Ｊ—ｊｌ ｆｏ＇疵。玑【矿（ｔ），【矿（ｚ·），反ｚ）。风（０）】ｊ
＋去Ｚ‘出·玑【矿（班玑（【矿（柚，卢（￡）Ｑ风（０）】）固风（０）】，
（１．８）这就是相互作用表象中主方程的一般表达形式。可以用方程（１．８）代入到薛定谔表象中得到薛定谔表象中的主方程。 值得注意的是，这里仅仅只做了两点假设：
第一，用微扰方法根据系统与库的耦合常数展开到二级近似； 第二，假设初始无关联。
除了这两点假设以外，并没有对量子光学主方程做旋波近似和马尔可夫近似。所以所获得的主方程是非马尔可夫方程。下面假设一个简单并有趣的相互作用哈密顿量：
ｙ＝∑（＆昂＋畿磅）， （１．９）其中＆和Ｒ分别是作用在系统和库的希尔伯特空间上的两个算符。那么薛定谔表象中的主方程可以写为：
声（ｔ）２袁【凰，纠＋袁∑【（Ｒ）＆＋（霹）＆，纠 』ｈ２∑ｎｍ Ｚ出·｛砖Ⅶ￡ｔ）限，瞰（卜删 ＋Ｋ窘），ｎ（ｚ，ｔ１）［＆，砖０１一ｔ），纠
＋Ｋ－１３）ｍ（ｔ，ｔ１）【＆，【％（ｔ１一ｔ），Ｊ９１】 ＋Ｋ窘）ｍ（ｚ，ｔｘ）【晶，鼠＠ｌ—ｔ），纠＋ｈ．ｃ．｝，
（１．１０）其中磁）ｍ由库的双时关联函数决定。 碟（“ｚ）＝三（Ｒ（ｔ），砩（ｔ。））一（日）（硪） 礁（ｔ，ｊ。）＝丢（陬（ｔ），磙（ｔ１）】） ５ ⑨
硕士学位论文 ＾￡ＡＳＴＥＲ’Ｓ ＴＨＥＳＩＳ ｇＣ裂Ｃｔ，ｔＯ＝去（Ｒ∽，％ｍ））一（Ｂ）（％） 碟（啦－）＝三（隰（￡），啄（枷．１．２连续变量的纠缠判据
对于密度算符为Ｐ的双模高斯态，用Ｗｉｎｇｅｒ特征函数表示为【３４】： 矿（入·，ｋ）＝打ｐｅ印（入－ａ－一入；越＋入２屯一砖ａ１）］
＝打Ｐｅ印●讵（碍金－＋入釉·＋Ａ；圣２＋入孰）】），
（１．１２）其中参数～＝碍＋主譬，湮灭算符鸟＝去（岛＋谚），正交振幅每，岛满足对易式【奶，岛，】＝ｉ如，０，歹７＝ｌ，２）。对于高斯态，ｗｉｎｇｅ带征函数矿（入ｌ，入ｚ）是弩和入；的高斯函数。不失普遍性，我们可以把Ｐ（Ａ１，Ａ２）写成如下形式：
矿（ｈ¨＝ｅｘｐ［～扣礤砖世）螂∽强哟Ｔ］ （１．１３）那么高斯态的关联特性完全由４×４的对称协方差矩阵Ｍ来决定，其表达式为： ｆ，Ｇｔ Ｃ、 （１．１４）
＼沪Ｇ２／’这里Ｇｌ、岛、Ｃ都是２×２的实矩阵，ＣｒＴ为Ｃ的转置矩阵。由于局域操作不改变体系的纠缠大小，并且任何局域操作可以通过压缩变换和旋转变换的组合实现［３５１，所以我们可以通过局域的Ｂｏｇｏｌｉｕｂｏｖ幺正变换，将高斯态变换为标准形式来研究其分离特性：
０ Ｏ ｙ。＝ａｌ ０）． （１．１５） ６ ⑨ 硕士学位论文 ＭＡＳＴＥＲ’Ｓ ＴＨＥＳＩＳ
（１．１６）段路明等人证明了高斯态的充分且必要条件为：当且仅当协方差矩阵元满足上述标准形式，并且下面两个ＥＰＲ算符 卢＝蛹一下ｃ。１ｌ
Ｑ１Ｘ２，痧＝ａ只一南三Ｂ， （１．１７）满足方程 （△卢）２＋（△痧）２＜矿＋刍．
（１．１８）其中矿＝√黯＝、／＝ｂ２－了１，那么这个高斯态就是独立的。对于双模高斯态，ｎ＝１，其量子态为纠缠态的充分且必要条件也可以表述为（△卢）２＋（△痧）２＜２。由于此时（△口）２和（△豇）２描述了双模光场的双模压缩，所以此式是从量子压缩的角度验证纠缠的重要判据。
当然对于对称的三模压缩高斯态，此方法也可以推广使用。定义下列两个算符珏，＂为三个电磁场模式的坐标算符丑和动量算孙的正交线性组合：
口兰ｈｉ五＋ｈ２而＋ｈ３磊，痧三ｇｌＡ＋夕如＋册庇， （１．１９）那么至少存在部分独立态的必要条件是：
（（△豇ｒ）＋（（△Ｄ）２）≥ｆ（ｈ１，ｈ２，ｈ３，ｇｌ，９２，９３） （１．２０）这里勉和ｇｌ是任意的实参数。可以证明当量子态为部分分离态时，
声＝∑碾反，概＠反，ｎ ‘ 辛，（＾ｌ，ｋ，ｈｓ，ｇｌ，９２，９３） ＝（１ｋ鲰ｌ＋ｌｈｋｇｋｌ＋ｌｋ鲕Ｉ）／２
【１．２Ｄ这里七，ｍ，１１１，＝１，２，３，Ａ，概０Ａ。ｎ表明三体密度算符是第ｉ个态的混合态，后模和ｍ模 ７ ⑨ 硕士学位论文 ＭＡＳＴＥＲ’Ｓ
ＴＨＥＳＩＳ之间可能有纠缠，但是ｎ模是与其它模分离的。当量子态为完全分离态时， 声＝∑臻反，１。Ａ，２ ９ Ａ，３ ｉ 兮ｌ（ｈｌ，％，ｂ，ｇｌ，９２，９３）
＝（ＩｈｌｇｌＩ＋Ｉ％９２Ｉ＋ｌｈ３９３１）／２ （１．２２）
除了段路明等人从量子压缩的角度来证明了与Ｓｉｍｏｎ判据等价的双模高斯态的不可分离的判据【２２，２３１以夕ｂ，Ｐｅｒｅｓ利用部分转置来判断三模高斯态是否可分离【３６１，即具有正定的部分转置是三模高斯态可分离的必要条件。换句话说，若三模高斯态的密度算符作部分转置后具有负的本征值，则此三模高斯态为纠缠态。
８ 第二章 非马尔可夫库中谐振子系统的三模纠缠和压缩２．１理论模型和主方程
考虑Ｎ个相互作用的全同谐振子系统共同与一个非马尔可夫热库耦合，Ｍ是谐振子系统的质量，ｉｈ２是谐振子系统的频率，入是谐振子系统之间的耦合常数，入。是系统与库之间的耦合常数。假定库可以看成是无穷个彼些无相互作用的质量为‰，频率为‰的谐振子集合，并且通过位置算符ｇｎ与系统发生双线性相互作用，则总的哈密顿量为：
（２．１）这里Ｉ－１，表示系统的自由哈密顿量： 风＝娄（嘉掣１嘲）． （２．２）皿表示库的哈密顿量： 皿＝莓（杀＋三％《蠢）． （２－３） ＝ 入 （２．４）
圪 吼奶 Ⅳ∑：《 ∑：鑫ｙ表示系统与库之间的哈密顿量： Ⅳ Ｖ＝∑∑ｋ‰岱． １１＇Ｉ，注ｌ
（２．５）从方程（２．２）可Ｐ／看出系统的自由哈密顿量是在裸态基慨，ｐ‘）中描述的。下面引入 ９ ⑧ 项士学位论文 ＭＡＳＴＥＲ’Ｓ
ＴＨＥＳＩＳ新的么正变换位置算符： Ｎ－ｉ［ｑｉ—Ｎ１蚤］， 磊＝ｉ 黏＝居参…＾…… （２．６）和动量算符【３７１： 磊＝．Ｎ－ｉ［ｐｚ一而１荟Ｎ。ｍ］，
西＝居参㈦忍３…卅乩 （２．７）它们之间满足位置动量对易关系眩，剜＝幻．在新的基矢空间＠，Ａ）中耦合谐振子系统的哈密顿量风＋Ｋ可以写为：
或：风＋Ⅵ：妻（嘉＋ＭＱ２ｉｑ引ｉ）， 或＝风＋Ⅵ＝∑（嘉＋ Ｑ２引， （２．８）其中 ｇ：１／石ｉ—二ｉ兰ＱＦ，ｉ：ｌ，２，…，Ⅳ一ｌ，
（２．９）此时系统与库的相互作用哈密顿量为： Ｖ＝ｙ－ｖ／ＮＸ，，ｑｎ亘Ｎ． ＿＿＿＿＿－＿一 （２．１０）
图２．１描述了对系统进行么正变换前（ａ）和变换后（ｂ）的理论模型。我们发现在新的基矢空间只有一个谐振子与库相互作用，其它的谐振子变成独立的谐振子，而且这个谐振子与库耦合的有效频率ＱⅣ与其它独立的谐振子的频率不同。
下面在系统哈密顿量的基础之上来推导谐振子约化密度算符的主方程。为了 １０ ⑨ 硕士学位论文 ＭＡＳＴＥＲ’Ｓ Ｔ腿ＳＩＳ ● ■ ● ● Ⅳ、 ● （６）
（口） 图２．１ 对系统进行么正变换前（ａ）和变换后（ｂ）的理论模型简单起见，做如下假设：
（１）在ｔ＝ｏ时刻，系统与库无关联，即：声（ｏ）＝卢。（ｏ）＠众（ｏ），这里瓜（ｏ）和虞（０）分别为系统与库的密度矩阵算符。 .
文档简介
非马尔可夫库中谐振子系统的三模纠缠和压缩
文档日志
暂无日志信息
文档留言
暂无留言信息
文档信息
No comments:
Post a Comment