phymath999

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21^#

发表于 2012-5-13 13:01:06|只看该作者

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回复 14# 的帖子

谢谢季兄的回复，在这种话题上，你的加入能起到一锤定音的作用

版主

22^#

发表于 2012-5-13 14:15:58|只看该作者

相对论是重要的，这里不是指物理学上的相对论，而是概念的相对论，或者辩证法。爸爸是爸爸，不是儿子，这句话没错。我既是爸爸也是儿子，这句话也没错。为什么？因为爸爸或儿子的概念，有个针对的对象，换了针对的对象，爸爸就可能是儿子。我相对于我儿子，我是爸爸，而我相对于我爸爸，我是儿子。

一个人既是爸爸，也是儿子，完全可能，就是转换：相对于谁。

爸爸与儿子的相对性：相对于儿子，是爸爸；相对于爸爸，是儿子。

泛函与函数或隐函数的相对性：

如位移公示： S= ∫v(t)dt

固定v(t)曲线时，相对于t，S是函数，而变化v(t)曲线时，相对于函数v(t), S则是泛函。

算符与矢量的相对性：

一个算符，在一个矢量空间里是算符，而在另一个空间则可能是矢量而已（比如同类线性算符可构成一个自己的矢量空间）。

这些概念的一个要点：只有指出针对的对象、相对于什么，才能判断是什么，而且依不同的对象判断结论是可变的。这并不构成自相矛盾，只有针对相同对象、相同条件下做出相反的判断才叫自相矛盾。

说一个东西是函数它就不能是泛函，这是绝对论，违反概念的针对性。

版主

23^#

发表于 2012-5-14 23:53:59|只看该作者

最小作用量原理很难说是一个波普尔意义上的物理定律，因为其中L形式的不定，使其避免了被随便证伪的可能。

这就很像拉卡托斯所说的，科学理论有个“硬核”，属于研究纲领、模式，它有半先验的性质，必然难以被证伪。

而L的形式就是这个理论的外围。它是可变的保护壳，保护着最小作用量原理不被随便证伪。 L则是可调整的。

当对一个L的形式，运用最小作用量原理，预言系统行为的时候，一旦出现偏差，人们会倾向于调整或改变L的形式，而不是随便否定最小作用量原理。

[ 本帖最后由 abada 于 2012-5-18 10:49 编辑 ]

龙珠雷达

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24^#

发表于 2012-5-16 22:44:46|只看该作者

abada画蛇添足了啊。特别是这句："如位移公示： S= ∫v(t)dt，固定v(t)曲线时，相对于t，S是函数，而变化v(t)曲线时，相对于函数v(t), S则是泛函。"简直是上赶着让目光如炬的读者挑毛病嘛。

其实星空兄已经解释得很清楚了。星空兄说得有理。

版主

25^#

发表于 2012-5-17 16:19:28|只看该作者

那句有何毛病？

另外关于23#楼补两句，当初很多人都看出能量守恒定律不具有明显的可证伪性，因为历史上每当观察到能量不守恒时，就扩大能量的概念范围。动能不守恒是用势能来解释，机械能不守恒便引入热能来解释。能量的内涵被调整，外延被扩大。能量守恒只是一个研究纲领。

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26^#

发表于 2012-5-17 22:39:49|只看该作者

回复 25# 的帖子

这个我同意，，，，，，，，

blackhole

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27^#

发表于 2012-5-18 09:44:23|只看该作者

当初很多人都看出能量守恒定律不具有明显的可证伪性，因为历史上每当观察到能量不守恒时，就扩大能量的概念范围。
～～～～～～～～～～～～～～～～～～
扩大能量的范围不错，但能否扩大却应该是可证伪的。当面临一个新体系时，能否找到这个新体系的某个量与已知体系的某个量存在当量关系，使得守恒定律成立，这并不是确定的事情。

版主

28^#

发表于 2012-5-18 10:24:33|只看该作者

回复 27# 的帖子

当没有找到时，人们倾向于试图继续去寻找，而不是倾向于随便认可能量守恒律被证伪了。
因为说有易，说无难，没有时间期限，谁也难说今天找不到，明天也一定找不到。就像共产主义。

所以我说这里更适合的科学哲学，是拉卡托斯的，而不是波普尔的，见＜科学研究纲领方法论＞伊·拉卡托斯著：

http://z.book118.com/xueshu/xues ... %A7%C3%FB%D6%F8.htm

历史上也的确有过这样的事情：一些物理学家提出能量守恒不成立了，而后来人们找到了新的能量形式解释，使得总能量守恒了。暗能量是否也能走通这条路？

[ 本帖最后由 abada 于 2012-5-18 10:49 编辑 ]

bose

强调S=∫F[g(x)]dx是泛函而F[g(x)]是普通函数的人，可能基于这样一个理由：S“全局性地”依赖于g(x)，即依赖于某一自变量区间[x1, x2]上的整根曲线变化，变分ΔS与自变量x无关；

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什么是泛函[复制链接]

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电梯直达

1^#

发表于 2012-5-12 10:59:28|只看该作者|倒序浏览

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这栋楼里面供大家讨论

讨论分两个层面：学术本身的内容（本体论意义上的东西），如果正确认识这些学术内容的问题（方法论意义上的东西）。在我看来，两者都是属于学术讨论的内容，并不是只有前者才是。前者属于“授之以鱼”，后者属于“授之以渔”。大家既交流各自所学，也交流方法经验。

我这里先说一点第二个层面意义上的看法：

1）辩论的双双，避免自说自话，两边避免各自只想着自己心中的那个理由，看不到对方想说的理由。这在讨论中是常见的问题，本人不能例外。只有理性认识到问题之后，尽量理性避免。

2）我觉得讨论中，尽量避免中国人看不起中国人的现象（每当此时，他似乎忘了自己也是中国人），例如，只要是中文材料，就一律鄙视，认定是错误的。问题是，你现在发的这些帖子内容，也是中文材料，那是不是也是垃圾？很多中文书籍教材，语言是中文的，可内容来自西方。

[ 本帖最后由星空浩淼于 2012-5-12 14:09 编辑 ]

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2^#

发表于 2012-5-12 11:31:04|只看该作者

那么泛函是怎么回事？我谈谈自己的看法

首先，说 S=∫F[g(x)]dx是泛函，大家都没有意见。但是关于F[g(x)]是不是泛函，大家就有分歧了。

首先，为什么S=∫F[g(x)]dx是泛函？因为S直接依赖于函数g本身，而不是依赖于函数g(x)的自变量x，因为在这个积分中，x作为积分变量，相当于离散求和中的求和指标，属于“哑指标”，它在积分中“被积掉了”。S对g(x)的依赖，属于对g(x)这个函数形式的依赖，即当原来的函数g变为另一个函数(g+Δg)时，S也随之变为(S+ΔS)，其中函数g的变分Δg，不是来自于自变量x的变化dx而产生的微分dg，而是直接把函数g(x)变成另一个函数(g+Δg)(x)所带来的改变。换句话说，S作为g的函数（考虑到g本身同时又是自变量x的函数，所以把S称之为泛函），g相对于S而言的角色，直接就是自变量，而不是自变量x的因变量——在这里，g变与不变，与x变不变没有关系。例如可以把x固定下来，让g作为自变量自由变化（g(x)→(g+Δg)(x)），由此研究S随g而变而变的规律，这就是变分法。

同理，F[g(x)]既可以被看做是关于x的复合函数（此时F只随x变化而变化），也可以被视为直接随g自由变化而变化的泛函。对于后者，g变与不变，与x变不变没有关系。例如即使x不变，g仍然可以自由变化（g(x)→(g+Δg)(x)），从而F随g而变，此时的F，就可以被视为泛函。当F[g(x)]被看做是关于x的复合函数时，x变化一个dx带来F的变化dF(微分)；当F被看做是关于g的泛函时，g变化一个Δg，带来F的变化ΔF(变分)。

量子场论中，用变分原理给出拉格朗日方程时，要涉及到场变量和共轭动量的变分引起的拉格朗日密度的变分，此时拉格朗日密度扮演的角色是泛函，而不是时空坐标的复合函数。注意：场算子及其共轭动量，也是广义坐标和广义动量；量子场论中直接与拉格朗日密度打交道，因为此时把时间和空间统一成四维时空，广义坐标和广义动量同时是四维时空坐标的函数。

强调S=∫F[g(x)]dx是泛函而F[g(x)]是普通函数的人，可能基于这样一个理由：S“全局性地”依赖于g(x)，即依赖于某一自变量区间[x1, x2]上的整根曲线变化，变分ΔS与自变量x无关；而F则是“局域性地”依赖于g(x)，在g(x)→(g+Δg)(x)下，变分ΔF不仅仅与变分Δg有关，同时还是x的函数，即有：
ΔS=ΔS(Δg)
ΔF=ΔF(Δg,x)

但是在我看来，这不是理由。最重要的是，在物理内容不变的前提下，术语叫法，只是约定成俗而已，如果地球人类已有的文献上都没有统一，没有必要非得说只有自己的叫法才是对的。

[ 本帖最后由星空浩淼于 2012-5-12 14:11 编辑 ]

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3^#

发表于 2012-5-12 12:05:11|只看该作者

回复 2# 的帖子

F[g(x)]，这里你把x固定下来我不确定是什么意思

假设你说的是固定一个x取值，即令x=x0，那么，让g（x）的表达式变化，于是不同的g（x）就会给出不同的g（x0），于是就会给出不同的F[g(x0)]，如果你认为这个F是泛函，那么就需要把定义域找出来，你认为是所有可能的g（x）吧，这里g（x）虽然在变但都只是单点函数，单点函数的泛函就是普通函数，，，，，，

假设你说的是固定x变化的区间，即x总属于[x1，x2]，这时g（x）也会给出一个区间，表达式不同的g（x）会给出不同的区间，于是F[g(x)]也会给出不同的区间，如果你认为F仍然是泛函的话，那么它的定义域是什么呢？你应该认为是定义在[x1，x2]上的所有的g（x）吧，当取定某一个在[x1，x2]上的g（x）后，F[g(x)]会给出一个区间，而不是一个数，所以F[g(x)]的值域并不是一个数域，而是若干个区间构成的集合，于是F[g(x)]就不是泛函，他的值域不符合要求

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4^#

发表于 2012-5-12 12:09:52|只看该作者

对二楼补充一下：

我们知道，给定一个线性空间，可以这样定义线性泛函：它将线性空间上的矢量映射为数值函数（为了方便，常常把映射得到的结果，当做映射本身）。例如波函数ψ(x)=<ψ|x>就可以看做是定义在态矢|x>上的线性泛函，它的定义域是状态矢量|x>张成的Hilbert空间，值域是函数空间。我们从这个例子中，也能对泛函定义体会一二。

[ 本帖最后由星空浩淼于 2012-5-12 12:19 编辑 ]

超级版主

5^#

发表于 2012-5-12 12:15:21|只看该作者

F[g(x)]，这里你把x固定下来我不确定是什么意思
-----------------------------------------
即x的形式保持不变
例如，F在g(x)→(g+Δg)(x)下的变化是变分，而在g(x)→(g+Δg)(x+dx)下的变化，则是“变分+微分”。

其他的，我该说的都说了。

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6^#

发表于 2012-5-12 12:15:38|只看该作者

回复 4# 的帖子

数值函数不是数，数值函数构成的集合不是数域，除非你另外做一个基于函数的数域出来，你需要定义函数的加法和乘法等等所有一个数域必须的结构

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7^#

发表于 2012-5-12 12:17:31|只看该作者

回复 5# 的帖子

x是最基本的自变量，只有定义域问题，没有形式问题，，只有函数表达式才有形式问题

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8^#

发表于 2012-5-12 12:32:17|只看该作者

回复 7# 的帖子

语言表达是为内容服务的，如果你无视内容钻字眼，就本末倒置了。

我五楼的回复，可以看做是我的语境下的定义。定积分中有一个定理，就是积分变量的形式变化不变性（相当于离散求和中，哑指标的记号无关性），要是按照你的意思，你应该如何说？

[ 本帖最后由星空浩淼于 2012-5-12 14:12 编辑 ]

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9^#

发表于 2012-5-12 12:41:20|只看该作者

回复 8# 的帖子

数学上定义好的东西不是可以自己理解发挥的，泛函，变分或者微分的概念不是随便就可以定义的，，，，，你告诉我哪里说错了
这个积分的不变性我好想没听说过，你愿意的话可以给个链接啥的

版主

10^#

发表于 2012-5-12 12:49:33|只看该作者

先解决一个哲学或方法论问题：定义不同，判断就会不同。再解决一个事实问题：同一个词，不同的人、学科、教材，不同的时期，会有不同的定义。

没有任何数学定义会被当作法律让其它作者必须遵循。

这是讨论的认识大前提。

物理学家并不总遵循严格的传统的数学家的名词定义。比如狄拉克 δ函数当初数学上说就不是函数。后来量子力学中所说的某些希尔伯特空间，也超出了当时数学家定义的范畴。

费曼路径积分，至今数学家也没有严格理论能容纳之。

物理学家不会把数学定义当法律。他们可以有自己的说法。

版主

11^#

发表于 2012-5-12 13:00:28|只看该作者

定义不一定要给出，而是自己的前后文使用之时没有矛盾即可，它的有效性在于能使叙述方便，当然要在无矛盾的前提下。

物理学家说的泛函，常常就指以函数为变量而跟随变化的函数。

于是，当给定一个L（q(t), q'(t) )的形式时，L不再是泛函。

而基础物理的一个主要任务是确定各种各样的L。当L的表达式尚未确定时，就把它当做是（q(t), q'(t) ) 的泛函，其中q是坐标的场函数。

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12^#

发表于 2012-5-12 13:04:27|只看该作者

之所以有不同理解，因为那些原始文献上的说法都不统一，一般地，没有必要生搬硬套地规定哪一种才是正确的——只要不因此产生错误的内容就行。大家根据自己的理由，用自己的语言来表达，定义是一种约定成俗的东西，关键在于内容。

物理中，不少概念的含义不同于数学中相应的概念，就连物理学内部，都有一些概念不统一。例如，“自共轭”和“厄米”本来是有差别的，但在许多书中二者是可以相互替换着的。只要含义确定了，能够self-consistent就行

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13^#

发表于 2012-5-13 11:09:50|只看该作者

回复 12# 的帖子

如果选定三个有限维空间 X,Y,Z, 则函数的复合可以视为一个 “算子”: 如果 $f: X \to Y, \quad, g: Y\to Z$ , 则

$\circ : Func(X,Y) \times Func(Y,Z) \to Func(X,Z)$

$(f,g) \mapsto g\circ f$

$(g\circ f) (x) := g(f(x))$

如果进而选定函数 $G\in Func(Y,Z)$ , 则当 f 取 Func(X,Y) 中不同函数的时候，“与G复合” 这个操作仍然是一个算子：

$(G\circ) : Func(X,Y) \to Func(X,Z)$

$f \mapsto G\circ f$

场论的情况， $\mathcal L$ 的形式固定，而场位形 $\psi$ 是可变的，所以从场位形通过求导，复合，得到密度函数的过程，是一个算子。形式地写出来，这个算子是

$\Xi: \Gamma(\mathbb R^4, Bun) \to Map(\mathbb R^4, \mathbb R)$

$\Xi = \mathcal L\circ (\mathrm{id} \oplus \nabla)$

其中， $\Gamma(\mathbb R^4, Bun)$ 是指时空上相应的向量丛的所有截面的空间，也就是说，所有场位形的空间；id 是恒等映射， $\nabla$ 是求协变导数的运算。把以上抽象记号展开，就得到我们熟悉的表达形式

$(\Xi \phi)(x) = (\mathcal L\circ (\psi \oplus \nabla \psi))(x) = \mathcal L(\psi(x),\nabla \psi(x))$ .

[ 本帖最后由季候风于 2012-5-13 13:35 编辑 ]

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14^#

发表于 2012-5-13 11:23:33|只看该作者

之所以这样一个话题引出如此多的争论，就是因为传统的记号不注意把函数本身和它的取值明确地区分开来。在函数的定义域和值域非常简单而且对函数的使用非常直接的时候，这种记号上的混淆并不会引起多少误解。但是当复杂度提升一点点，比如拉氏量拉氏密度的情况，误解就可能产生。

但我相信这也是很难解决的问题。物理系的学生是不大可能有时间把这些抽象概念和符号1-1理清的，老师通常也不鼓励这么做，毕竟，可能会迷失在抽象概念和符号的游戏中，而失掉重要的物理图像。所以我虽然在对两个帖的回复中都试图解释用正统的数学语言如何表达，但我也同意 sage 的建议，即这些讨论对于理解量子场论并不具有本质的意义。

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15^#

发表于 2012-5-13 11:30:40|只看该作者

补充一点，，
函数是数域到数域的映射，泛函是函数集合到数域的映射

[ 本帖最后由 feng1734 于 2012-5-13 11:37 编辑 ]

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16^#

发表于 2012-5-13 12:02:57|只看该作者

原帖由 feng1734 于 2012-5-13 11:30 发表
补充一点，，
函数是数域到数域的映射，泛函是函数集合到数域的映射

who doesn't know that?

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17^#

发表于 2012-5-13 12:08:12|只看该作者

回复 16# 的帖子

因为你13楼里把集合到集合的映射就叫做函数了