高阶无穷小与低阶无穷小

高阶无穷小与低阶无穷小
——无穷小比较的一个问题
龚冬保
(
西安交通大学理学院　西安　710049
)
一般的微积分教材, 是这样定义高阶与低阶无穷小的:
设在同一变化过程中,
A
,
B
是无穷小量, 若
1°　
lim
B
A
= 0, 就说
B
是比
A
高阶的无穷小; 2°　
lim
B
A
X
= ∞, 就说
B
是比
A
低阶的无穷小.
对此, 不少人认为 2°是多余的, 以为
B
是比
A
高阶的无穷小, 就意味着
A
是比
B
低阶的无穷
小, 将 1°、 2°合并为一条. 果真, 近年来有些高等数学教材, 就是用 1°一条来定义
B
是比
A
高阶
的无穷小
(
或说
A
是比
B
低阶的无穷小
)
. 笔者认为这是值得商榷的, 因为无穷小的比较, 首先是
指无穷小的比, 这样,
B
是比
A
高阶的无穷小未必有
A
是比
B
的低阶无穷小