差分是微分的近似
,
以差商代替微商
微
一元微分
定义
设函数
y = f(x)
在
x.
的邻域内有定义，
x0
及
x0 + Δx
在此区间内。
如果函数的增量
Δy = f(x0 +
Δx) −
f(x0)
可表示为
Δy = AΔx0 +o(Δx0)
（
其中
A
是不依赖于
Δx
的常数）
，
而
o(Δx0)
是比
Δx
高阶的无穷小，那么称函数
f(x)
在点
x0
是可微的，且
AΔx
称作函数在点
x0
相
应于自变量
增量
Δx
的微分，记作
dy
，即
dy = AΔx
。
通常把自变量
x
的增量
Δx
称为自变量的微分，记作
dx
，即
dx = Δx
。于是函数
y = f(x)
的微
分又可记作
dy = f'(x)dx
。
函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。
因此，
导数也
叫做微商。
几何意义
设
Δx
是曲线
y =f(x)
上的点
M
的在横坐标上的增量，
Δy
是曲线在点
M
对应
Δx
在纵坐标上
的增量，
dy
是曲线在点
M
的切线对应
Δx
在纵坐标上的增量。
当
|Δx|
很小
时，
|Δy
－
dy|
比
|Δy|
要小得多
(
高阶无穷小
)
，因此在点
M
附近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。
多元微分
同理，当自变量为多个时，可得出多元微分得定义。
变
分法（
calculus
of
variations
）是处理函数的函数的数学领域，和处理数的函数的普通微
积分相对。譬如，这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。变分法
最终寻
求的是极值函数：
它们使得泛函取得极大或极小值。
有些曲线上的经典问题采用这种形式表
达：一个例子是最速降线，在重力作用下一个粒子沿着该路径可以
在最短时间从点
A
到达
不直接在它底下的一点
B
。在所有从
A
到
B
的曲线中必须极小化代表下降时间的表达式。
变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。
它对应于泛函的临界点。
在寻找函数的极大和极
小值时，
在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。
它不能分辨是找到了最大值
或者最小值（或者都不是）
。
变分法在理论物理中非常重要：
在拉格朗日力学中，
以及在最小作用原理在量子力学的应用
中。
变分法提供了有限元方法的数学基础，
它是求解边界值问题的强力工具。
它们也在材料
学中研究材料平衡中大量使用。
而在纯数学中的例子有，
黎曼在调和函数中使用狄力克雷原
理。
同样的材料可以出现在不同的标题中，例如希尔伯特空间技术，摩尔斯理论，或者辛几何。
变分一词用于所有极值泛函问题。微分几何中的测地线的研究是很显然的变分性质的领域。
极小曲面（肥皂泡）上也有很多研究工，称为
Plateau
问题。
最优控制的理论是变分法的一个推广。
差分是微分的近似
,
以差商代替微商
变分是泛函中的极值问题
No comments:
Post a Comment