面的剪應力或剪應變若存在，則會造成不對稱的變形
60°角尖端B點和裂縫尖端C點的應力為無窮大
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Finite Element Method
Practical considerations in modeling 補充教材
劉晉奇 明志科技大學機械系 (Jan. 2010)
本資料改編自：劉晉奇、褚晴暉著，《有限元素分析與ANSYS 的工程應用》。滄海書局，2005 年。
1. h-method and p-method
p-method
2
h-method
2. Symmetry
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對稱條件是力學解題的一種簡便方式，如圖4.34(a)的曲樑問題可化為圖(b)的1/2 對稱模型，
該題目使用了對稱條件後，解題比較方便且容易。對稱模型必須符合幾何對稱、材料對稱和邊界
條件對稱，三者均要成立。對稱模型亦常應用於有限元素分析，除了使解題較方便外，最重要的
是可以減少節點總數目，縮短電腦計算時間。
圖4.34(a)的曲樑問題，若以圖(b)的1/2 對稱模型來解題，必須於對稱面加上對稱條件，圖(b)
上的對稱條件是以圖形來表示，滾輪和銲接板的含意分別為u=0(x 方向受拘束不動)和θ
z=0(對z
軸之旋轉角為零)，而對稱面y 方向的位移v 不為零，即表示可於y 方向移動。對稱條件必須由力
學觀念與自由體圖(free-body diagram)來判斷，它是基於「對稱面剪應力為零」的觀念，因為對稱
面的剪應力或剪應變若存在，則會造成不對稱的變形。圖4.35 為一些常見的力學對稱模型與相對
應的對稱條件，這些例子在有限元素分析中經常會遇到。
須特別注意的是圖4.35(c)，其對稱模型會造成y 方向的剛體運動且無法求解，因此必須多
加一拘束條件v=0(以三角形標示)於對稱面最上方的點，相對的圖4.35(a)、(b)、(d)之對稱模型均
不會產生剛體運動。此外，圖4.35(a)為樑問題，因此必須設定旋轉自由度θ
z =0 (板殼分析也是類
似)，圖4.35 其他的分析均為平面問題，沒有旋轉自由度。
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3. Poor elements and connections
以二維平面四邊形元素來說，圖4.38 為不好的元素外形(elements with poor shapes)[3]，以圖
4.38(a)為例，矩形元素的細長比(aspect ratio)定義為b/h(最長邊除以最短邊)，細長比過大會造成
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數值誤差。圖4.38(b)的元素則為扭曲外形(shape distortion)，可想像為原矩形元素被壓扁，這亦
會造成誤差。圖4.38(c)和(d)則為原四邊形元素趨近為三角形，均會造成計算誤差。圖4.38(e)為4
節點四邊形元素有一節點位置錯誤，形成元素內凹，這會造成其Jacobian 矩陣(見(4-46)式)的行列
式值等於零，是錯誤的元素[2,7]。此外，以4 節點四邊形元素為例(如圖4.16)，節點編號排序必須
為逆時針，即i-j-k-l，若排序變為順時針l-k-j-i，其Jacobian 矩陣行列式值會小於零，這也是錯
誤的元素[2]。
以上的不良元素均要避免或禁止使用，一般來說，好的元素外形為接近正方形，例如h≈b
和α ≈β=90o
，但對於外形複雜的結構之元素網格，不可能每個元素都是接近正方形，使用非正方
形的不等邊四邊形是無法避免的。至於細長比與角度的值，很難說明到底多大會出問題，因為每
個案例結果不同。對於應力分布均勻的區域(應力梯度接近零)，大的細長比並不會造成太大誤差
[3,4]。以上元素的誤差性質與使用對策，亦可套用於平面三角元素或三維實體元素等，以平面三
角形元素來說，外形越接近正三角形越好，而文獻[2]認為三角元素各內角在15o~165o
範圍較好，
此外文獻[1]則認為內角在30o~120o
的範圍是較好的外形。
ANSYS 的有限元素網格化過程會對元素外形做自動檢查，若一發現有不良元素外形(超出其
容許範圍)即提出警告，提醒軟體使用者修改網格。ANSYS 內定的外形容許範圍是[22]：
(1) 元素的細長比：小於20
(2) 三角形(三角體)元素的內角：小於165o
(3) 無中間節點四邊形(六面體)元素的內角：小於155o
(4) 含中間節點四邊形(六面體)元素的內角：小於165o
但讀者必須注意，依照以上的檢驗內定值，ANSYS 若無警告並不代表元素外形必為良好，以4
節點的平面矩形元素來說，細長比為10 並不十分恰當，但ANSYS 不會發出警告訊息。ANSYS
對於元素外形檢查之容許範圍亦可修改，使用的指令為SHPP，但這部份本書不再詳述，讀者可
參考ANSYS 手冊[22,23]。
以平面問題為例，圖4.39 為不好的元素連接(poor element connections)[4,7]，也要避免使用。
圖(a)是由一個8 節點二次元素(元素1)和兩個4 節點線性元素(元素2 和3)相接，在元素相接的ac
邊上，左右兩側元素的位移函數並不相容(分別為(4-49)式和(4-51)式)，會造成誤差。圖(b)的情形
則與圖(a)相似，但元素2 的b 節點無法連接在元素1，造成錯誤。圖(c)的情況是兩元素沒有連接
好，形成同一位置有兩個節點b 和a，分屬於左右兩側的元素，這樣的情形等於在bc 邊有一個裂
縫，是不合理的。圖(d)的情況是一元素以中間節點連接於另一元素的角落節點，這亦會造成數值
誤差。
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4. Transition elements
對於應力梯度高的區域，其有限元素網格要密，反之則使用粗網格即可，如圖4.40。粗密之
間的元素尺寸變化要漸近，否則會產生誤差。圖4.41 為兩種類型的粗密混合網格，粗元素和細元
素之間的元素可稱為過渡元素(transition elements)。
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5. Coupled DOF’ and constraint equations
所謂的「耦合自由度(coupled DOF’) 」， 是指設定某種條件把多個節點的自由度耦合
(coupling)起來， 例如將圖6.8(a)的a、b、c 三個節點y 方向自由度(即結構力學上的位移v)設
為必須相等， 即令
a b c v = v = v (6-1)
上式條件會被設定於有限元素分析的計算過程， 因此計算結果也會符合(6-1)式， 如圖6.8(b)
所示。相對地， 若不設定(6-1)式則變形為圖6.8(c)。在ANSYS 中， 對於圖6.8 和(6-1)式的耦
合自由度， 是以指令CP 來設定：
CP,1,UY,3,26,27,
其 中 1 為CP 編號，UY(即y 方向位移v)為耦合自由度， 節點編號3、26、27 號分別為圖6.8
的a、b、c 三個節點。若有多組的耦合自由度， 則須以不同CP 編號分組， 例如：
CP,1,UY,3,26,27,
CP,2,UY,10,22,26,
CP,3,UX,12,13,14,
耦 合 自 由 度除了應用於上述這類特定位移條件外， 其他典型的應用場合如插銷(pin)接頭， 以
圖6.9(b)的有限元素模型來說， 若要模擬圖6.9 (a)的插銷， 則可針對a 和b 節點(甚至更多節
點)設定以下位移條件：
a b u = u , a b v = v , a b w = w (6-2)
其座標系請參考該圖。
(a)
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(b) (c)
圖6.8 (a)有限元素模型 (b)位移v (有耦合自由度) (c)位移v (無耦合自由度)
(a) (b)
圖6.9 插銷接頭
拘 束 方 程 式 (constraint equation)是針對某些節點自由度，設定某種關係式，做法類似耦合自
由度。例如圖6.11 對於樑元素和平面元素的相接，或是實體元素與殼元素的相接，亦需要用
到拘束方程式。
圖6.11 樑元素(BEAM3)和平面元素(PLANE42)的剛接[2,4]
(Reproduced with permission from ANSYS, Inc.)
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對於圖6.11 的樑元素(BEAM3) 和平面元素(PLANE42) 相接， 方式為剛接(rigid
connection)，其ANSYS 指令方法敘述如下[4]。首先決定圖6.11 之節點1、2、3 的自由度關係
式：
( ) /10 2 3 1 v v z θ = −(6-3)
上式以ANSYS 的自由度標示來表示：
ROTZ2 = (UY3 - UY1)/10 (6-4)
ROTZ2 為BEAM3 元素節點2 的旋轉角，UY3 和UY1 為PLANE42 元素節點3 和1 的y 方向位移。須
注意(6-3)和(6-4)式為線性，其適用範圍是小轉角(small rotation)的線性問題，對於非線性的大
轉角(large rotation)問題不再適用。因PLANE42 元素節點無旋轉自由度ROTZ，而BEAM3 元素則
有ROTZ，因此(6-4)式的設定是為了符合BEAM3 元素和PLANE42 元素之間的剛接連續性。最後，將
(6-4)式改寫為下式：
0 = UY3 - UY1 - 10*ROTZ2 (6-5)
以上(6-5)關係式可使用ANSYS 的CE 指令完成設定：
CE,1,0,3,UY,1,1,UY,-1,2,ROTZ,-10
6. Stress singularity
應力奇異性(stress singularity)是彈性力學的問題[13,14]，指的是應力會趨近無窮大。圖6.29為應
力奇異性的三個典型例子，均假設為彈性材料，圖(a)是一個點集中力F作用於結構的A點，在A點
上的應力是無窮大的；圖(b)的等向性材料結構含60°尖角(sharp corner)與一裂縫(crack)，在受力後
60°角尖端B點和裂縫尖端C點的應力為無窮大；圖(c)是三個不同的等向性材料相接，受力後在D點
和E點的應力為無窮大。這些應力為無窮大的點均可稱為奇異點(singular points)，此外須注意，應
力奇異點的位移仍為有限值。
圖6.29(a)的點集中力為一種簡化假設，點集中力之作用處是假設為一個「點」，因為力的作用
面積趨近於零，該作用點的應力會無窮大。實際上並無點集中力，任何表面力負荷均有作用面積，
不可能為一個點，因此點集中力是不存在的。無論是彈性力學或有限元素分析，點集中力只是為了
解題方便所做的假設，該作用點的應力奇異性必須將它忽略，因為該點應力是不實際的。若分析目
的是要得到作用力位置附近的應力場，則建議採用均布力(力/面積)的施力模式，勿使用點集中力來
模擬。
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(a)
(b) (c)
圖6.29 (a)點集中力F 作用 (b)結構的60°角與裂縫 (c)多材料相接合
圖6.30 含內角α之結構
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圖6.29(b)和(c)的B 點、D 點和E 點，在彈性場中具有應力奇異性。B 和D 點屬於楔形問題(wedge
problems)[13~15]，而E 點則是屬於全相問題(junction problems) [16,17]，這些特定題型的細節不在本書
討論範圍，但讀者須注意這類問題的存在，因為有限元素分析上有時會遇到此類問題。以圖6.30
的等向性彈性材料結構來說，α角頂點a 點附近的應力場即為楔形問題，α角於範圍0°≤α <180°時，
a 點具有應力奇異性，即應力為無窮大。
楔形問題和全相問題的應力奇異性存在於某些實際結構，如一些塑膠產品和IC 封裝產品均含
應力奇異點(類似圖6.29 的B、D 和E 點)。根據彈性材料破壞準則，奇異點無窮大的應力必會造成
破裂，不過實際上未必發生破裂，因為奇異點會發生局部塑性變形(因應力超過降伏強度)且應力下
降。有限元素分析對於奇異點的應力值是無法取得收斂值的(有關網格收斂性請參閱4.3.5 節)，原
因是其應力為無窮大，這造成應力分析上的困擾。因此，楔形問題和全相問題的奇異點破裂問題，
無法以應力做為判斷參數， 須以其他參數如應力奇異性階數(stress singularity orders)等來處理
[13~18]。對於應力奇異點，一般的有限元素應力分析方法只能做定性(qualitative)的趨勢探討分析。
圖6.29(b)的裂縫是屬於破壞力學(fracture mechanics)問題[19,20]，裂縫尖端應力為無窮大。在破
壞力學理論中不再以應力做為設計參數， 而改採用裂縫尖端的應力強度因子(stress intensity
factor)、應變能釋放率(strain energy release rate)或應變能密度因子(strain energy density factor)等參
數[19,20]。破壞力學理論並不在本書的討論範圍。
此外，位移邊界條件的施加也可能會造成應力奇異點，如圖6.31 彈性力學平面問題的a 和b
點。
圖6.31 固定位移邊界條件造成的應力奇異點
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