Taylor01 在u1 = 0 点(偏离平衡位置一定距离)附近进行Taylor 级数展开

在u1 = 0 点附近进行

Taylor 级数展开

物理学报Acta Phys. Sin. Vol. 63, No. 9 (2014) 090202

两自由度带电耦合振子系统的守恒量与近似解

楼智美y

(绍兴文理学院物理系, 绍兴312000)

( 2014 年1 月4 日收到; 2014 年1 月20 日收到修改稿)

由于两自由度带电耦合振子系统的Lagrange 函数中存在耦合项, 从而导致其运动微分方程是非线性耦

合的. 先通过坐标变换消去Lagrange 函数中的耦合项, 用直接积分法求得系统的守恒量, 用Adomian 分解法

求得系统的近似解, 再通过坐标反变换求得系统在原坐标下的守恒量与近似解, 并对近似解作了讨论.

关键词: 两自由度带电耦合振子系统, 守恒量, 近似解

PACS: 02.30.Hq, 02.30.Mv DOI: 10.7498/aps.63.090202

1 引言

实际力学系统的Lagrange 函数中常常含有耦

合项, 由此导出的运动微分方程往往是非线性耦合

的, 这对直接研究系统的守恒量与运动规律带来了

困难. 近年来, 研究实际力学系统的守恒量受到诸

多力学学者的关注[1􀀀13], 但是, 要研究力学系统的

运动规律仅有守恒量还是不够的, 应求得运动微分

方程的解(即运动学方程), 然而, 要直接求得非线

性耦合的二阶微分方程组的解是比较困难的. 事

实上, 可采用先进行坐标变换消去Lagrange 函数

中的耦合项, 求得系统在新坐标系下的守恒量和

近似解, 再通过坐标反变换求得系统在原坐标下的

守恒量与近似解的方法. 本文用三弹簧两质点构

建了两自由度带电耦合振子系统, 由于静电力的存

在, 系统的Lagrange 函数中存在耦合项, 从而导致

其运动微分方程是非线性耦合的, 为直接求系统的

守恒量和近似解带来了不便. 文中首先用坐标变换

法消去Lagrange 函数中的耦合项得到新坐标系下

解耦的非线性微分方程组, 通过对微分方程组直接

积分得到了系统在新坐标系下的两个独立守恒量,

通过坐标反变换得到在原坐标系下的守恒量. 其

次, 对解耦的Lagrange 函数进行Taylor 级数展开,

得到近似的运动微分方程组, 运用Adomian 分解法

得到系统在新坐标系下的近似解, 通过坐标反变换

得到在原坐标系下的近似解, 最后对近似解作了讨

论. 文中所研究的系统实际存在, 所用方法思想方

法简单, 物理意义明确.

2 两自由度带电耦合振子系统及其运

动微分方程

两个质量均为m的质点, 由三根劲度系数分别

为k1, k2, k3 的轻质弹簧相连并置于两固定点处(如

图1 ), 且

k1 = k3 = k, k2 =

3

2

k,

每根弹簧的自然长度都等于b, 每质点都带有正电

荷q, 用x1, x2 分别表示两质点相对其平衡位置的

位移, 让两质点偏离平衡位置一定距离后无初速地

释放, 使系统运动, 忽略阻力, 则系统的势能为

x1 x2

k k2 m k3 1

m

q q

图1 两自由度带电耦合振子系统

国家自然科学基金重点项目(批准号: 10932002) 资助的课题.

† 通讯作者. E-mail: louzhimei@usx.edu.cn

© 2014 中国物理学会Chinese Physical Society http://wulixb.iphy.ac.cn

090202-1

物理学报Acta Phys. Sin. Vol. 63, No. 9 (2014) 090202

V =

1

4

k

(

5x21

+ 5x22

􀀀 6x1x2

)

+

δ

(b 􀀀 x1 + x2)

, (1)

其中δ = q2/4 ε0, ε0 为介质的介电常数. 系统的

Lagrange 函数可表示为

L =

m

2

(

_ x21

+ _ x22

)

􀀀 1

4

k

(

5x21

+ 5x22

􀀀 6x1x2

)

􀀀 δ

(b 􀀀 x1 + x2)

. (2)

由于Lagrange 函数(2) 存在耦合项, 若将(2) 式直

接代入Lagrange 方程, 得到的运动微分方程必是

相互耦合的非线性方程组, 为直接求得系统的守恒

量及近似解带来了困难. 因此, 我们先进行坐标变

换消去(2) 式中的耦合项, 然后求得新坐标系下的

守恒量、近似解, 再通过坐标反变换求得原坐标系

下的守恒量和近似解. 设

u1 =

p

2

2

(x1 􀀀 x2),

u2 =

p

2

2

(x1 + x2), (3)

则(2) 式变为

L =

m

2

(

_ u21

+ _ u22

)

􀀀 2ku21

􀀀 1

2

ku22

􀀀 δ

(b 􀀀

p

2u1)

. (4)

将(4) 式代入Lagrange 方程, 可得新坐标系下系统

解耦的运动微分方程

mu1 = 􀀀4ku1 􀀀

p

2δ

(b 􀀀

p

2u1)2

, (5a)

mu2 = 􀀀ku2, (5b)

3 系统的两个独立守恒量

对(5) 式直接积分, 可得系统的两个独立守恒

量

I1 =

1

2

m_ u21

+ 2ku21

+

δ

(b 􀀀

p

2u1)

, (6a)

I2 =

1

2

m_ u22

+

1

2

ku22

. (6b)

利用(3) 式对(6) 式进行坐标反变换, 可得在原坐标

系下的两个独立守恒量

I1 =

1

4

m(x_ 1 􀀀 x_ 2)2 + k(x1 􀀀 x2)2

+

δ

(b 􀀀 x1 + x2)

, (7a)

I2 =

1

4

m(x_ 1 + x_ 2)2 +

1

4

k(x1 + x2)2. (7b)

很明显, 先通过坐标变换对Lagrange 函数解耦, 得

到新坐标系下的解耦的运动微分方程组, 再运用直

接积分法得到新坐标系下的守恒量, 最后, 通过坐

标反变换得到原坐标系下的守恒量的方法是比较

方便的.

4 系统的近似解

对(4) 式的最后一项在u1 = 0 点附近进行

Taylor 级数展开

δ

(b 􀀀

p

2u1)

=

δ

b

+

p

2δ

b2 u1 +

2δ

b3 u21

+

2

p

2δ

b4 u31

+ , (8)

将(8) 式代入(4) 式, 得

L =

m

2

(

_ u21

+ _ u22

)

􀀀 2ku21

􀀀 1

2

ku22

􀀀

(

δ

b

+

p

2δ

b2 u1 +

2δ

b3 u21

+

2

p

2δ

b4 u31

)

. (9)

将(9) 式代入Lagrange 方程, 可得系统的运动

微分方程

mu1 = 􀀀 4ku1

􀀀 δ

(p

2

b2 +

4

b3 u1 +

6

p

2

b4 u21

)

, (10a)

mu2 = 􀀀 ku2. (10b)

由(10b) 式可直接写出解

u2 = A20 cos ωt + B20 sin ωt, (11)

其中ω =

√

k

m

, A20, B20 为积分常数, 由初始条件

确定. 设t = 0 时,

x1 = x10, x2 = x20, x_ 1 = x_ 10 = 0,

x_ 2 = x_ 20 = 0,

则

A20 =

p

2

2

(x10 + x20), B20 = 0,

(11) 式简化为

u2 = A20 cos ωt. (12)

(10a) 式可改写成

u1 = 􀀀

(

4k

m

+

4

mb3

)

u1 􀀀 6

p

2δ

mb4 u21

􀀀

p

2δ

mb2 , (13)

(13) 式为一非线性微分方程, 其近似解可用

Adomian 分解法求得[14􀀀16]. 令

L =

d2

dt2 , R = 􀀀ω2

1,

090202-2

物理学报Acta Phys. Sin. Vol. 63, No. 9 (2014) 090202

Nu1 = c1u21

= c1

1Σ

n=0

an, φ = 􀀀

p

2δ

mb2 ,

其中

ω2

1 =

4k

m

+

4δ

mb3 , c1 = 􀀀6

p

2δ

mb4 ,

an 为Adomian 多项式, 且

a0 = u21

;0, a1 = 2u1;1u1;0,

a12 = u21

;1 + 2u1;1u1;0,

则(13) 式可以写成

Lu1 = Ru1 + Nu1 + φ, (14)

(14) 式的解分量为

u1;n+1 = L

􀀀1Ru1;n + c1L

􀀀1an + L

􀀀1φ, (15)

利用t = 0 时,

u1 =

p

2

2

(x10 􀀀 x20) = c2,

u_ 1 =

p

2

2

(x_ 10 􀀀 x_ 20) = 0,

得

u1;0 = c2 +

1

2

φt2, (16a)

u1;1 =

1

2

c1c22

t2 􀀀 1

2

c2ω2

1t2 +

1

12

c1c2φt4

􀀀 1

24

φω2

1t4 +

1

120

c1φ2t6, (16b)

u1;2 =

1

24

c2ω4

1t4 􀀀 1

8

c1c22

ω2

1t4 +

1

12

c21

c32

t4

+

1

720

φω4

1t6 +

1

45

c21

c22

φt6 􀀀 1

45

c1c2ω2

1φt6

􀀀 1

6720

c1ω2

1φ2t8 􀀀 1

1344

c1φ2ω2

1t8

+

1

560

c21

c2φ2t8 +

1

10800

c21

φ3t10, (16c)

(13) 式的解为

u1 = u1;0 + u1;1 + u1;2 +

= c2 +

1

2

φt2 􀀀 1

2

c2ω2

1t2 +

1

2

c1c22

t2 +

1

12

c1c2φt4

􀀀 1

24

φω2

1t4 +

1

24

c2ω4

1t4 􀀀 1

8

c1c22

ω2

1t4

+

1

12

c21

c32

t4 +

1

120

c1φ2t6 +

1

720

φω4

1t6

􀀀 1

45

c1c2ω2

1φt6 +

1

45

c21

c22

φt6

􀀀 1

6720

c1ω2

1φ2t8 􀀀 1

1344

c1φ2ω2

1t8

+

1

560

c21

c2φ2t8 +

1

10800

c21

φ3t10

+ , (17)

忽略t6 及以上项, (17) 式可简化为

u1 = c2 cos ω1t +

1

2

φt2 +

1

2

c1c22

t2 +

1

12

c1c2φt4

􀀀 1

24

φω2

1t4 􀀀 1

8

c1c22

ω2

1t4 +

1

12

c21

c32

t4

= c2 cos ω1t + y(t), (18)

其中

y(t) =

1

2

φt2 +

1

2

c1c22

t2 +

1

12

c1c2φt4 􀀀 1

24

φω2

1t4

􀀀 1

8

c1c22

ω2

1t4 +

1

12

c21

c32

t4.

利用(3) 式对(18) 式和(12) 式进行坐标反变

换, 可得系统的近似解

x1 =

p

2

2

(c2 cos ω1t + y(t) + A20 cos ωt), (19a)

x2 =

p

2

2

(A20 cos ωt 􀀀 c2 cos ω1t 􀀀 y(t)). (19b)

由于静电场力的作用, 使(19) 式中的ω1 与ω 间一

般不存在整数比的关系, 解(19) 式不再具有周

期性.

当系统不带电时, 即δ = 0, 使

c1 = φ = y(t) = 0, ω1 =

√

4k

m

= 2ω,

则(19) 式简化为

x1 =

p

2

2

(c2 cos 2ωt + A20 cos ωt), (20a)

x2 =

p

2

2

(A20 cos ωt 􀀀 c2 cos 2ωt). (20b)

(20) 式是不带电的两自由度耦合振子系统的精确

解, 此时, 系统的解简化为频率比为2 : 1 的两种谐

振动的迭加, 消去时间t 可得到两质点位置坐标间

的如下关系:

(x1 + x2)2 =

p

2A2

20

2c2

(x1 􀀀 x2) + A2

20, (21)

若将δ = 0 直接代入(10) 式中, 在相同的初始

条件下, 可得到与(20) 式相同的解.

5 结论

两自由度带电耦合振子系统是一典型而实际

的力学系统, 广泛存在于力学、振动学、原子与分子

物理等各个领域, 其守恒量与近似解的研究具有

实际应用价值. 本文用三根轻质弹簧和两个质点

构建两自由度带电耦合振子系统, 通过坐标变换先

消去Lagrange 函数中的耦合项, 运用直接积分法

和Adomian 分解法分别求得新坐标系下的守恒量

和近似解, 再通过坐标反变换求得在原坐标系下的

090202-3

物理学报Acta Phys. Sin. Vol. 63, No. 9 (2014) 090202

守恒量和近似解, 方法简单, 物理意义明确, 值得

推广.

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Conserved quantities and approximate solutions of

two-dimensional charged coupled oscillator system

Lou Zhi-Meiy

(Department of Physics, Shaoxing University, Shaoxing 312000, China)

( Received 4 January 2014; revised manuscript received 20 January 2014 )

Abstract

Coupled terms are present in the Lagrangian and the corresponding differential equations of a two-dimensional

charged oscillator system are nonlinearly coupled. Firstly, the coupled terms in the Lagrangian are eliminated by transformation

of coordinates; secondly, the conserved quantities in new coordinates are obtained by direct integral method,

and the approximate solutions are obtained by abdomina decomposition method. Finally, the conserved quantities and

the approximate solutions can be expressed in original coordinates by using the inverse transform of the coordinates.

The discussion of the approximate solutions are also given in this paper.

Keywords: two-dimensional charged coupled oscillator system, conserved quantities, approximate

sloutions

PACS: 02.30.Hq, 02.30.Mv DOI: 10.7498/aps.63.090202

* Project Supported by the National Natural Science Foundation of China (Grant No. 10932002).

† Corresponding author. E-mail: louzhimei@usx.edu.cn

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