http://staff.ustc.edu.cn/~cgzeng/zeng_cn/download/crystru1_CG.pdf
晶体结构 ＝ 晶体点阵（布拉维格子）＋ 结构基元
反映周期排
列的内容
可以是一个原子
可以是一个分子
可以是一组原子
可以是分子集团
反映原子周期
排列的方式
它是等同点的集合，反映的
是理想的、无限大的、没有
缺陷的晶体中，原子排列的
情况。是抓住晶体核心特点
（平移对称性）后的一种高
度概括，将在晶体理论中起
到极其重要作用。
http://staff.ustc.edu.cn/~cgzeng/zeng_cn/download/crystru2_CG.pdf
一定几何变换之下物体的不变性，使
用的几何变换（旋转和反射）都是正交变换——"distance remains same"
一个物体在某一正交变换下保持不变，我们就称这个
变换为物体的一个对称操作。一个物体可能的对称操作越多，
它的对称性就越高。立方体具有较高的对称性，它有48个对称
操作：绕 4 条体对角线可以旋转 共8个对称操作；
24
,
33
3
,,
绕 3 个立方边可以旋 转 共9个对称操作；绕 6 条棱
对角线可以转动π，共 6 个对称操作；加上恒等操作共24个。
22
立方体体心为中心反演，所以以上每一个操作加上中心反演后，
仍为对称操作，因此立方体共有48个对称操作。
通过仔细分析可知正四面体允许的对称操作只有
24个；正六角拄的对称操作也只有24个，它们都没有
立方体的对称性高
对称操作群：一个物体全部对称操作的集合，也满足
上述群的定义。因此一个物体的全部对称操作的集合，
构成对称操作群。描述物体的对称性需要找出物体的
全部对称操作，也就是找出它所具有的对称操作群。
在对称操作中保持不动的轴、面或点，称为对称操作
群的对称元素，比如转动轴，反演中心，反映面
运算法则是连续操作，不动操作是单位元素。
注意： 在说明一个物体的对称性时，为了简便，有
时不去一一列举所有的对称操作，而是指出它的对称
2
n
元素，若一个物体绕某一个转轴转 以及它的倍数
物体保持不变时，便称作 n 重旋转轴，记做 n ；若一
2
个物体绕某一转轴转 再作反演以及转动它的倍数
再作反演物体保持不变时，该轴称作 n 重旋转－反演
轴,记做 。立方体的对称元素有：
n
1, 2, 3, 4, , 2, 3, 4i
显然，列举出一个物体的对称元素和说出它的对称操
作一样，都可以表明出物体的对称特点。
目前普遍的认识是：晶体的必要条件是其构成原
子的长程有序，而不是平移对称性，具有 5 次对称性
的准晶体（Quasicrystal）就是属于原子有严格的位
置有序，而无平移对称性的晶体。它的图像可从二维
Penrose拼图中得到理解。实际是一种准周期结构，
是介于周期晶体和非晶玻璃之间的一种新的物质形
态——准晶态 。
准晶态结构特点：具有长程取向序，没有长程平移对
称性。
其实准晶可以看作是具有平移对称性的六维超空间在三维真实
空间的投影
黄昆书 44-48
陈长乐书 20-22
把晶体中原子当作刚性圆球，讨论原子排列的紧密程度。
这种紧密程度可用配位数和堆积密度来描述。
配位数：一个原子周围最近邻的原子数目。
堆积密度（致密度）：晶胞中原子所占的体积与晶胞体
积之比。
显然晶体中，配位数和堆积密度越大，原子排列就越紧
密。
如果晶体由同种原子构成，且把原子看成是等大刚性圆
球，这些全同圆球最紧密的堆积为密堆积。密堆积对应
一.堆积
的配位数就是最大配位数
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