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张永德教授量子力学讲义 第一章
http://wenku.baidu.com/view/608da2c7aa00b52acfc7ca47
经典力学是量子力学当h→0时的极限情况。当然，这里h→0是相对而言，并非真要(本就是常数的)h变小，而是要求研究对象的动量p足够大(从而波长λ足够短)，以及运动涉及的空间尺度l足够大
对宏观物体，如上所述，其波动性可以忽略。例如，1克小球，速度u=1米/秒，它的de Broglie波的波长为
31106.6−×==
mu
h
λ米 显然，这个尺度，和小球本身尺度以及小球作宏观机械运动的空间尺度相比，完全可以忽略。从而，在研究小球作任何宏观机械运动时，与这个波长相联系的波动性质(也就是与小球运动相关的量子效应)完全可以忽略
〈
定态
〉概念主张原子的有核模型只对某些分立的能量
E
m
m
(
,
,...)
=
1
2
才是稳定的，这是为了解决电子绕原子核转动时稳定存
在不辐射的问题。
因为经典电动力学主张，
带电粒子只要有加速度就
会产生辐射而损失自己的能量，
于是这种有核模型中电子的稳定转动
是不可能的。
〈
定态之间跃迁
〉的概念是为了解决原子光谱中的里兹组合定则
ω
mn
m
n
E
E
=
−
(
)
/
h
(1.8)
就是说，
原子发光是由于原子从能量较高的定态向能量较低的定态的
跃迁。
Bohr
理论的定态及定态之间跃迁概念均被后来量子力学所吸
纳并加以发展。
〈
角动量量子化条件
〉原子核外电子所具有的
J
m
=
h
进一步揭示了核外电子呈分立定态存在的事实，丰富了量子化的内
容。但是
Bohr
利用经典轨道概念将量子化条件表达为动量对坐标的
回路积分的形式则是一种不成功的尝试，
已被后来诞生的量子力学所
否定。
§
1.2
基本观念
1,
基本图像：
de Broglie
关系与波粒二象性
1905
年
Einstein
通过提出下列关系
E
h
=
=
ν
ω
h
，
k
e
h
e
c
E
p
v
h
v
v
v
=
=
=
λ
(1.9)
（这里
π
2
h
=
h
），引入光子的概念。这在原先认为光是电磁波的图象
上添加了粒子的图象，
这已由上节第一组实验所证实。
于是，
若知道
等式右边的波动参数
ω
和
k
，便可用这组关系求得它左边的量所相应
的微粒子特性。
经过
18
年之久，
de Broglie
克服积习的约束，
逆过来
理解这组关系，将上面这组关系从针对
m
=
0
的情况推广到
m
≠
0
的情
况，提出原先是微粒的微观粒子也具有波动性
1
，
1
Louis De Broglie
,
Waves
and
Quanta, Nature, Vol
.112, 540
(1923)
。
9
ω
=
E
h
，
v
v
h
k
p
=
，
(1.10)
就是说，若已知等式右边的粒子参数
E
和
p
v
，便可由这组关系式求得
该粒子所具有的波动特性。上面
两组关系式的中间桥梁便是
Planck
常数
h
，
形象地写出便是
(
,
)
(
,
)
E
p
k
v
v
h
←
→
⎯
ω
公式（
1
。
10
）便是常说的
de Broglie
关系
。
其中关于波长的第二个
公式已为上节第二组实验所证实，
而关于频率的第一个公式则被原子
光谱实验所证实。
注意，
这组
de Broglie
关系是物质世界的普遍规律。
其中将两种图象联系起来的
Planck
常数
h
数值很小，
是波粒二象性可
以显现出来的标度。假如在所研究问题中能够认为
h
→
0
，波和粒子
便截然分开，波粒二象性的现象便可以忽略。
比如，由原先粒子的
(
,
)
E
p
v
，利用
(1.10)
第二式便得到
λ
→
0
，与此粒子相联系的波动性便
可以忽略。
于是可以说，
经典力学是量子力学当
h
→
0
时的极限情况。
当然，这里
h
→
0
是相对而言，并非真要
(
本就是常数的
)
h
变小，而是
要求研究对象的动量
p
足够大
(
从而波长
λ
足够短
)
，以及运动涉及的
空间尺度
l
足够大，使得
pl
<<
h
即可。简单些说，
可以按
Planck
常数
h
在所研究的问题里能否忽略，
决定波粒二象性是否表现出来，进而决定经典与量子的界线。于是，
经典力学只不过是其研究对象的能量、
动量以及运动的空间尺度如此
之大，使得
h
的作用可忽略情况下的力学。
综上所述，不论静止质量为零和不为零的微观物质，都普遍存在
波粒二象性。这两种截然不同的属性通过
Planck
常数连结成为
de
Broglie
关系，统一在所有微观物质上。对初学者而言，
波粒二象性
是理解微观物质普遍属性的基本图象，
也是初学者理解量子力学的基
本图象。
然而，这种波粒二象性的基本图象，使初学者常常感到迷惑和不
习惯。
产生迷惑和不习惯的原因是，
他们所经历的全部宏观物理现象
中
h
都是可以忽略的，不存在这种二象性：波就是纯粹的波，粒子就
是道地的粒子。于是，初学者常常会问：
电子一会儿象波，一会
儿又
象粒子，
那它到底是什么？为了回答这种问题，
可以打个比方：
某个
人，
今天早晨遇到某事时笑了，
表现出一付笑面孔；
但今天中午碰到
另一件事时他哭了，
表现出另一付截然不同的哭面孔。
就这样他表现
出了两付截然不同的面孔。
人们能不能据此发问：
他到底是怎样的面
孔？！
显然不应当这样发问，
因为这些都是这个人的面孔。
人们只应
当问：
他在什么情况下会表现出笑面孔，
而在什么情况下会表现出哭
面孔。将这种论述“平移”到电子的波粒二象性问题上来，可以回答
10
说：
波性和粒子性都是电子所具有的属性，
当它表现出两种属性的时
候，人们不应当追问它“到底归属于”什么属性，只应当追问：它在
什么样实验条件下表现出类似于经典波的性质，
在什么样实验条件下
表现出类似于经典粒子的性质。电子既不是经典的波
(
波包
)
，也不是
经典的粒子（弹丸）。只能说它有时象经典波，有时又象经典粒子。
“象什么”这种提法的前题就是“不等同”。归根到底，电子就是电
子本身！
电子波粒二象性这种多少有些古怪的图象，
是由于我们使用
了经典类比的方法，
用宏观世界语言描述微观世界客体时所必然得到
的一种并非贴切的图象。
仿佛我们使用母语——中文词匯去理解英语
词匯的情况。
鉴于人们总是习惯用已有知识和经验去理解和描述新的
东西，
因此保留波粒二象性的图象还是有助于初学者的理解和形象思
维，
只是要注意不能过分执着和拘泥的去使用这种图象。
这里，
正如
Young
双缝实验所启示的，
根本性的东西是几率幅，
是有关几率幅的
计算的理论，而不是借助经典语言所得出的波粒二象性图象。
2,
de Broglie
波的初步分析
对常用的非相对论电子、
非相对论中子、
光子，
它们的
de Broglie
波波长和它们能量的关系式为
λ
e
E
=
12
26
.
λ
n
E
=
0
286
.
(1.11)
E
4
10
241
1
×
=
γ
λ
这里
E
(
对
m
≠
0
的粒子，
E
为其动能
)
的单位为
eV
，
λ
的单位为
A
o
。
对宏观物体，如上所述，其波动性可以忽略。例如，
1
克小球，
速度
u
=1
米
/
秒，它的
de Broglie
波的波长为
31
10
6
.
6
−
×
=
=
mu
h
λ
米
显然，
这个尺度，
和小球本身尺度以及小球作宏观机械运动的空间尺
度相比，完全可以忽略。从而，在研究小球作任何宏观机械运动时，
与这个波长相联系的波动性质
(
也就是与小球运动相关的量子效应
)
完全可以忽略。
这里再说一下
de Broglie
波的群速度和相速度问题。
对
m
=
0
和
m
≠
0
两种情况，虽然
de Broglie
关系相同，但它们的相
速度还是有差别的
,
m
≠
0
：相速度
2
1
=
=
=
=
p
E
k
V
ω
λν
相
u
m
=
0
：相速度
=
=
ω
k
c
1234567890ABCDEFGHIJKLMNabcdefghijklmn!@#$%^&&*()_+.一三五七九贰肆陆扒拾，。青玉案元夕东风夜放花千树更吹落星如雨宝马雕车香满路凤箫声动玉壶光转一夜鱼龙舞蛾儿雪柳黄金缕笑语盈盈暗香去众里寻他千百度暮然回首那人却在灯火阑珊处
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