曲線的軌跡，但是假如粒子本身並非是一點，而
是一條閉面線，則走出的軌跡乃是一個曲面。
閉二維的定向曲面已經在十九世紀全面瞭解，它由以下曲面得出
球 環
虧格>1的曲面
g = 2
g = 3
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在球的情形，任何黎曼度量可以保角變換到單位球。
在環的情形，任何黎曼度量可以保角變換到曲率為零的環：在平面上取平行四邊形，然後將對邊連接起來。
在虧格g>1時，
Poincare 證明任何在這種曲面的黎曼度量可以保角的變換為曲率等於負一的曲面。
所有曲率負一的曲面可以由
6g - 6 自由度的空間來刻劃，此空間叫做 Teichmuller 空間。
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這種理論可以與在複變函數論中學過的單值化定理比較：
在 R2 中，任何一個單連通的領域可以保角地映射到單位圓。
比較一般的領域則可以保角的映射到一般如圖中的領域
一個很重要的事實是：在曲面上所有黎曼度量通過保角變換後都有常數的曲率，通過微分同胚後，這種空間是有限維的，它的維數是 6g-6
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