Morse 指標其實是縮短測地線長度的所有方向的維數

在一般的黎曼幾何裏，兩點 p 和 q 之間可以有超過一條的路徑使得 E(x) 是極短的。

事實上這些路徑一定是測地線，從球上的北極到南極有無窮多條測地線。

一般來說，很多測地線不是 p 和 q 間最短的線，它們只是局部最短的，即是說在 [0,T] 的任意一個小的線段上是極短的。

在給定 p 和 q 時，我們考慮一個包括所有曲線的空間：

這個空間的拓樸性質可以由所有的從 p 到 q 的測地線和其上的Morse index 指標來決定（Morse 指標其實是縮短測地線長度的所有方向的維數），由_p,q 的拓樸可以推導空間本身的拓樸，這是Bott在古典群上的工作。