任何泛函積分牽涉到的自由度總數都必然
是不可數的無窮多，所以非微擾計算還是必須作一些
近似
物理雙月刊（廿七卷三期）
2005 年6 月
500
隨機過程在量子場論計算中的應用
文/林立
所謂隨機過程，是指在一定的條件下，可能發生
也可能不發生的過程，具有不確定性，亦即：具有機
率性。
最常見的隨機過程之數學模型就是無規行走
(random walk)
。大家熟知的布朗運動現象即可利用無
規行走來解釋。在無規行走中，最重要的一個物理量
就是機率分布函數
P( q,0;N )
。它是表示一個在初始時
刻位於原點的質點，經過
N 步無規行走之後，出現在
q
的機率。
由於在無規行走模型中，我們假設質點每一次行
走之步伐大小相同，所花的時間也相同，所以在
P( q,
0;N )
中的N 即相當於是時間變數。經由條件機率
的考量及傅立葉變換的技巧， 我們可以推導出
P( q,
0;N )
的路徑積分表達式，其形式和量子力學中時
間演化算符
(又稱為傳播子)之Feynman 路徑積分表達
式在數學上相同，有一個一對一的對應
[註1]。
這種對應在物理上也有一定的意義，因為一個量
子系統具有量子不確定性，因此帶有隨機性。量子力
學的
Feynman 路徑積分表示法可以將這種隨機性明確
的表示出來。我們可以將量子系統傳播子的路徑積分
式中的每一條路徑視為一個隨機過程，其對傳播子之
貢獻的權重即為
i S
e
，其中S 為此量子系統所對應的古
典力學系統之作用量，所以等於動能項減去位能項。
若是經過一個
Wick 旋轉：
t
→t'= −iτ，
將時間轉換為虛時間
t’之後(所以上式中的τ仍取
實數值
)，就可以化為完全和無規行走之P( q,0;N )
之路
徑積分有一對一對應的形式了。在此形式中，
i S
e
因子
變成為
1
S
E e
−，其中SE 是對應的古典力學系統之動能項
加位能項，相當於是總能量了
[註2]。如此一來，Wick
旋轉之後傳播子路徑積分式中的
1
S
E e
−即可視為相應的
隨機過程發生的機率。這在物理意義上也可以和無規
行走之
P( q,0;N )
的路徑積分式有了對應[註3]。
路徑積分表示法作為一種解題方法，在具有機率
性的物理問題中有很廣泛的應用。在各種應用中，路
徑積分式中之各條路徑都可以看成是一個隨機過程。
本文主要是要介紹路徑積分在量子場論之非微擾計算
中的應用。
量子場論在數學上就是量子力學，其主要差別只
在於量子場論將
(廣義)空間座標變成為腳標，場的本
身則成為
“力學量”，亦即：成為新的廣義座標，從而
有對應的
“共軛動量”姑且稱之為動量場)，於是在量
子場論中，被量子化的是場及其共軛動量。我們可以
利用下面的表列看出量子場論與量子力學在數學形式
上的對應：
古典質點力學 古典場論
q
(t：) i 廣義座標
=
∂≡∂
q
L t P
i
( ) 廣義動量
φ
(r,t)
( , )
( , )
r t
r t L
δππδ
≡量子力學 量子場論
l k lk
i
i
q t p t i
p t
q t
[ ˆ( ), ˆ( )]
= δˆ( )
ˆ( )
[ ˆ , ), ˆ ', )] ( ')
ˆ )
ˆ )
r t r t i r r
t
t
φπ
= δ−πφ[註4]
物理雙月刊（廿七卷三期）
2005 年6 月
501
和量子力學的情況一樣，量子場論也有兩種量子
化方法。第一種就是
“傳統”的量子化方法：正則量子
化。它的基本假設即上述表列中所列的基本等時對易
關係。這種量子化方法對應於古典力學的
Hamilton 方
法。它最大的好處是可以經由傅立葉變換將場的粒子
性格顯示出來，並且在原則上可得出系統
Hamilton 算
符的本徵值譜
[註5]。但缺點是實際上作計算(尤其是
非微擾的數值計算
)時不方便。
第二種量子化方法就是泛函積分法。這是完全比
照量子力學中的
Feynman 路徑積分法而得到的。我們
可以由正則量子化中的真空到真空的躍遷機率振幅之
表達式出發，把時間分割成很多個很短的時段，再夾
入一組一組的完備集，然後即可將場算符
φˆr,t) ,
π
ˆr,t) 化為場函數φ(r,t) , π(r,t) , 再將場動量
π
(r,t)部分的積分積掉(這部分的積分是高斯積分，
所以可以作解析計算
)，就會得出形式上和量子力學的
路徑積分相似的泛函積分
[註6]。
量子場論的泛函積分法在作計算時是十分方便
的。首先我們可以採用引入外源的方法作為技巧來作
微擾展開計算，在計算過程中很自然的就會得到
Wick
定理的結果
[註7]。相對的，在正則量子化中，我們必
須花費好一番功夫才能證明出
Wick 定理[註8]。其
次，我們有一套系統化的方法可以用來直接計算泛函
積分。這裡所謂的
“直接”是指不作微擾展開，也不作
其他的近似。這樣的計算當然適用於強耦合的情況，
故通常稱為非微擾計算。本文所要介紹的隨機過程在
量子場論計算中的應用，指的正是這種情況。
這裡所說的泛函積分其實就是路徑積分，是在
“場
φ
(r,t)空間”中的路徑積分，所以是抽象的路徑。而
和量子力學的路徑積分相同，量子場論的泛函積分告
訴我們，時間演化有來自每一條可能的路徑的貢獻，
其貢獻的權重正比於
i S
e
，其中S 即為此量子場論系統
所對應的古典場論的作用量，
S
= ∫ dt∫ d d xL
其中
L 為此量子場論系統的拉氏量密度，所以也
是動能減去位能。
所以，在量子場論中，真空到真空的躍遷振幅
< >
f i 0;t | 0;t 在數學上也是一個相位角因子
i S
e
的
積分：
< >=
∫ ∫ ∂∫ [ , ] 0; | 0; [ ( , )] φφφτi dt d xL
f i
d
t t D r e
，
只不過這裡的積分是一個泛函積分。
可以看出，古典極限
(即古典場論)正是由靜止相
位條件來決定的，從而可得出
Euler-Lagrange 方程，
此即古典場的運動方程。
然而，任何泛函積分牽涉到的自由度總數都必然
是不可數的無窮多，所以非微擾計算還是必須作一些
近似，否則實際上無法執行。
在實際計算中，首先我們先將時間軸轉到虛時間
軸，這相當於作一個
Wick 變換：
t
→t'= −iτ，
其中
t'為純虛數, i2 = −1, 故τ為實數，這等於是從
閔氏時空轉入了歐氏時空，這會使得原先泛函積分中
的相位角因子變成為指數衰減因子，從而在數學上處
理積分時會較為方便
[註9]。
< >=
∫ ∫
∴ > → >
−
∫ E
d d
d xL
f i
f i f i
D r e
t t
τ
ττφτττ1
0; | 0; [ ( , )]
0; | 0; 0; | 0;
其中
∫ E =動能項+位能項
d
d xL
L
E
之腳標E代表歐氏時空
必須強調，我們把時間變為虛時間的動作純粹只是一
個數學轉換，尚未作任何近似。
物理雙月刊（廿七卷三期）
2005 年6 月
502
接下來，我們作第一個近似：將底空間
(即d+1
維時空
)格子點化，於是泛函積分就近似為一多重積
分。這是為了將來利用電腦作數值計算必須作的準備
工作。我們為了減少近似的誤差，格子點的分布必須
要夠密，以免偏離連續時空太遠
[註10]。
由於為了使誤差不至於過大，格子點的總數仍然
很多
(例如：84 個, 104 個, 甚至164 個, 244 個)，多到無
法利用電腦直接計算此多重積分的地步。於是，為了
計算該多重積分，勢必要再作近似。這一步的近似就
是設法利用隨機取樣的算法來近似的計算此多重積
分，正是在這裡用到了隨機過程的概念。其基本想法
是：
< >= Π
∫ ∫ −∫ E
d d
d xL
n
n
f i
d e
τττφ1
0; | 0;
1 {
φ} φSE
n
n
d e
−= Π∫
一式中，指數衰減因子
1
S
E e
−之值相對較大(即SE 之值
相對較小
)的場組態{ } n φ對積分有較重大之貢獻，所
以我們只要能設計出一種算法，能夠在
(不可數的)無
窮多個場組態
{ } n φ中，把對積分貢獻較大的”那些”組態挑起來，如此即應有
∫ Σ
Π−∫ ∫ −{ }
1 1 { }
~
n
E E n
d d
d xL S
n
n
d e e
φτφ
φ比較嚴格來說，是要設計出一種算法，使得我們隨機
挑選出來的很多個場組態是依照正比於
1
{ }
S
E n e
−φ的機率
來分布的
[註11]。
所以，這種想法其實是在原有的時空座標之外，
又多引入了一個假想的時間軸
(fake time axis)，而將原
有的
d 維空間，一維(虛)時間，看成是d+1 維空間。
然後，從一個任意給定的場組態
{φ(r,τ)}出發，以一
定的方法，沿著假想時間軸產生出一系列的場組態。
也可以說，在這種想法之下的任何一種計算多重積分
的近似法，其實就是引入一套沿著假想時間軸的
“動力
學機制
”，這套動力學機制會以一定的機率，產生一個
隨機過程，使得沿著假想時間軸產生出來的場組態正
是依照特定的機率分布而分布的。這樣就達到了我們
當初想要用隨機取樣的方式來近似的計算多重積分的
目的。
接下來在介紹沿著假想時間軸的動力學機制之
前，我們必須先打個岔，強調一件事：在量子場論之
泛函積分
(將底時空格子點化之後成為多重積分)之計
算中，其實有兩種隨機過程。一種隨機過程即為泛函
積分本身之各個
”路徑”，這是沿著底時空的路徑，每
一個特定的時空點上對應著一個場值
φ，每一條路徑
以
1
{ }
S
E e
−φ之機率出現；另一種隨機過程則出現在這裡
引入的動力學機制中，這是一種沿著假想時間軸上的
路徑，每一個特定的假想時間點上對應著一組場組態
{
φ(r,τ)}，在這個隨機過程中，各個場組態是以
1
{ }
S
E e
−φ之機率來分布的。可以看出，在第二種隨機過程中，
每一個特定假想時間點上出現的場組態本身就是第一
種隨機過程。在此提醒讀者注意，不要將這兩種隨機
過程搞混了。可以說，我們是利用假想時間軸上的動
力學機制產生出一個第二類的隨機過程，從而得出很
多個第一類的隨機過程，由此而能近似的計算量子場
論系統的泛函積分。
實際在計算多重積分時，可以引入不同的動力學
機制。凡是能使得產生出來的場組態按照特定的機率
來分布的動力學機制均可採用。一般採用的機制分為
兩大類，一類是沒有系統偏差的方法，包括熱源法，
Metropolis
法，Hybrid Monte Carlo 法(HMC)等等，另
一類是有系統偏差的方法，像
Langevin 方程，Kramer
方程都是。
所謂有系統偏差， 是指產生出來的場組態
{
φ(r,τ)}不是依照
1
S
E e
−來分布的，而是依照
1
( S
E ( ) S ) e
−φδ來分布，其中的δS 即為系統偏差。一般而言它會和
物理雙月刊（廿七卷三期）
2005 年6 月
503
沿著假想時間軸作演化時離散化的步伐大小的某個冪
次成正比。
我們為了計算多重積分，引入了隨機取樣的概念
來作近似，這就已經有了統計誤差。所以，我們當然
不希望再有一個系統偏差。因此，在實際計算中，我
們會盡量避免系統偏差。亦即：盡量採用無系統偏差
的方法。
我們發現，是否有系統偏差的關鍵是在於我們用
來作計算的動力學機制是否滿足精細平衡
(detailed
balance
)的條件。凡是滿足精細平衡的算法給出的結果
就沒有系統偏差，只有統計誤差
[註11]。
在沒有系統偏差的方法中，熱源法是直接產生依
照
1
{ }
S
E e
−φ來分布的場組態{φ(r,τ)}。所以從理論上來
說，這是最好的方法，可惜在實際問題中多半用不上。
這是因為我們只會由均勻的隨機變數，產生高斯分布
的隨機變數，所以當問題的作用量
(φ) E S 是場
{
φ(r,τ)}的平方形式時，我們才可能利用熱源法來作
計算。然而，很多相互作用力項不是平方項，尤其是
有費米子場存在的問題中，會出現行列式項，那是場
{
φ(r,τ)}的高度非線性項，所以都無法利用熱源法來
作計算。
至於
Metropolis 法，則是由另一組初始的場組態
出發
(記作{ } 0
φ
)，再隨機的產生一組新的場組態(記
作
{φ})，若( ) ( ) 0
φφ
E E S < S ，則接受{φ}，否則以
e
−(SE (φ)−SE (φ0 ))
的機率接受
{φ}。可以證明Metropolis
法滿足精細平衡的條件，因此沒有系統偏差
[註11]。
但是，
Metropolis 法在實際計算中有重大缺點，所以
也較少被採用。其重大缺點為：隨機產生的新場組態
{
φ}會導致e−(SE (φ)−SE (φ0 ))
的值很小，使得新組態幾乎
都不會被接受，從而會一直停留在舊的場組態上，通
常要經過一段時間很長的時間
(假想時間軸的時間)才
會走到一組新的場組態上。這表示
Metropolis 法在實
際應用時，沿著假想時間軸會有很長的相關時間長
度，也就是在隨機取樣上很沒有效率。
針對
Metropolis 法的缺點，英國愛丁堡大學的研
究小組在西元
1987 年引入了一個Hybrid Monte Carlo
(
HMC)法[註11]，這個方法是利用古典力學中的
Hamilton
正則運動方程作為由舊的場組態{ } 0
φ
產生
新的場組態
{φ}的運動方程(當然是沿著假想時間軸
的運動
)，一旦產生了新的場組態，則以e−(SE (φ)−SE (φ0 ))
作為機率來接受
{φ}。HMC 相較於Metropolis法，在
決定是否接受產生出來的新組態的部份，和
Metropolis
法相同。因此可以證明
HMC 滿足精細平衡，所以HMC
是沒有系統偏差的；另方面，在產生新的場組態上，
Metropolis
法是純隨機式的，因此可以說是“盲目
的”，然而
HMC 法則是利用Hamilton 力學的正則運
動方程來產生的，因此不是盲目的，而且，由能量守
恆可以看出一旦
( ) ( ) 0
φφ
E E S > S ，兩者的數值也會
相差很小，使的接受新組態的機率不會太低，從而在
實際計算中，可以很快的就能接受新的組態，於是能
夠在較短的時間之內走過相當一部分的場空間，真正
做到了隨機取樣。所以
HMC 法具有Metropolis 法的
優點：無系統偏差，在實際計算中又沒有
Metropolis
法的缺點，顯然可以取
Metropolis 法而代之，在有費
米子場的問題中尤其是如此。因此，現在在作量子場
論問題非微擾計算時，一般都是採用
HMC 法。
以上就是關於隨機過程在量子場論中應用的大概
介紹。總的來說，我們為了計算量子場論中的某個躍
遷機率或格林函數的多重積分式，首先引入一個假想
的時間軸，然後再引入一個可以產生沿著假想時間軸
的動力學演化的動力學機制，這個動力學機制會產生
一個隨機過程，在這個隨機過程中出現的場組態會依
照
1
{ }
S
E e
−φ來分布，這就達到了隨機取樣的目的，從而
也近似的計算出我們想要計算的多重積分了。
當然，前面介紹的都是零溫度量子場論，因此泛
函積分中所代表的是量子擾動。在有限溫度時，系統
既有量子擾動又有熱擾動，當系統處在平衡態時，其
物理雙月刊（廿七卷三期）
2005 年6 月
504
狀態可由密度算符來描述。由於密度算符在數學形式
上和時間演化算符
(即傳播子)只差了一個時間到虛時
間的變換，其中虛時間相當於溫度的倒數，其餘皆相
同，所以我們可以直接將有限溫度量子場論系統的密
度算符的矩陣元寫成歐式時空中的泛函積分，然後上
面介紹的計算零溫度量子場論系統之躍遷振幅的近似
方法就可以照搬過來，近似的計算有限溫度時之密度
算符了
[註12]。不過，在零溫度時底空間之時間軸的
長度原則上可以是無限長的。在有限溫度時，因為我
們是在計算密度算符，所以底空間之
“時間軸”之長度
必須等於溫度的倒數，從而總是有限的。
註解：
[1]
D.C. Khandekar et. al. , Path-Integral Methods and
Their Application
(World Scientific), 第一章第三節。
[2]
符號SE 中之右足標E 是代表Euclidean。我們把
Wick
旋轉之後的虛時間t'= −iτ中的τ稱為歐氏
時間
(Euclidean Time)。
[3]
當然，量子機率和古典機率的來源是不同的。這就
導致了一個重大的差異：在量子物理中，有一個比
機率更基本、更重要的概念，那就是機率振幅，其
絕對值平方才是機率。在古典物理中，只有機率而
沒有機率振幅的概念。嚴格來說，量子力學的傳播
子給出的是機率振幅，不是機率。所以量子系統之
傳播子的路徑積分式中的
i S
e
是代表機率振幅。作了
Wick
旋轉之後得到的
1
E
S e
−仍然是代表機率振幅。因
此，這裡所說的物理意義上的對應，其實是無規行
走中
P( q,0;N )
的各路徑的機率對應於量子力學傳
播子之各路徑的機率振幅。
[4]
在量子場論之基本等時對易關係中，由於腳標r, r'
均為連續取值，所以等式右側是出現
δ-函數。
[5]
L.Ryder, Quantum Field Theory (Cambridge
University Press
), 第四章。
[6]
關於由量子力學的正則量子化得出Feynman 路徑
積分之推導過程，可以參考
Shankar 之Principles of
Quantum Mechanics
第八章，或H.J. Rothe, Lattice
Gauge Theories
(World Scientific)第二章。
[7]
L.Ryder, Quantum Field Theory (Cambridge
University Press
), 第六章。
[8]
D. Lurie, Particles and Fields, (InterScience
Publisher
), 第六章。
[9]
由於所有的物理系統都是處於閔氏時空中，所以在
歐氏時空中為了計算各個物理量而建立的關聯函
數必須要能夠經由一個反
Wick 轉換回到閔氏時空
中，這才表示在歐氏空間中的計算是有意義的，其
結果是正確的。然而歐氏空間中的關聯函數未必能
夠解析延拓回閔氏空間。也就是說，直接在歐氏時
空中寫下來的量子場論模型不一定能對應到真實
的量子系統。請參
考I. Montvay, G. Munster 所
著
Quantum Fields on a Lattice (Cambridge
University Press
) 一書之第一章第三節。
[10]
H. J. Rothe, Lattice Gauge Theories (World
Scientific
), 第九章。
[11]
H. J. Rothe, Lattice Gange Theories (World
Scientific
), 第十五章。
[12]
H. J. Rothe, Lattice Gange Theories (World
Scientific
), 第十七章。
作者簡介
林立
西元
1989 年6 月在美國加州大學聖地牙哥分校取得物
理博士學位，同年
9 月赴德國漢堡DESY 理論組擔任
博士後研究員，後又轉往明斯特大學第一理論物理所
從事博士後研究。於西元
1994 年2 月回到台灣任教於
中興大學物理系迄今。
林立原本從事於格點量子場論的研究，大約從四年前
起，改為研究非線性物理、統計模型及凝態物理之相
關問題。
E-mail: llin@phys.nchu.edu.tw
No comments:
Post a Comment