纽结理论与量子混沌

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纽结理论与量子混沌Ξ

顾之雨

(首都师范大学物理系 ,北京 ,100037)

　　摘　要　讨论了纽结理论对量子混沌的应用 ,并揭示了量子系统中混沌解的拓扑结构.

关键词　纽结理论 ; 　量子混沌 ; 　纽结支架 ; 　李雅普诺夫指数

中图分类号 : 　O189. 2 　O413. 1 　　文献标识码 : 　A 　　文章编号 : 　1005 - 7188(2001)02 - 0311 - 03

0 　引言

我们首先从 Lorenz 于 1963 年发现混沌说起 ,他

在研究大气对流方程时[1]

X= - 10X+10Y

Y=rX- Y- XY

(1)

Z= - 8/3Z+XZ

发现从确定性非线性方程组中可以得到随机性解

———混沌. 其相轨线已显示出既有随机性又有特殊

内部结构的有节制的无序 ,人们称之为奇异吸引子 ,

也称为 Lorenz 吸引子 ,如图 1 所示 (其中已取 (1) 式

中 Rayleigh 数 r = 28) .

图 1 　The Lorenz attractor (r = 28)

1980 年以来 Birman 等人[2] 应用纽结理论更深

入地揭示了 Lorenz 吸引子的拓扑结构 ,但主要仍在

经典混沌的领域内 ,因此我们联想到在量子混沌中

是否也应进一步发挥“纽结语言”的优势来描述量子

混沌解的拓扑结构.

在第 Ⅱ节中我们将介绍由 Birman 等人提出的

纽结支架 ,以及由字码 W(x , y) 和 Conway 数ω所构

成的“纽结语言”.

在第 Ⅲ节中我们将以 W、ω语言来描述刻划混

沌的重要特征量 ———李雅普诺夫指数.

最后在第 IV 节将举例讨论对量子混沌的相应

描述.

1 　纽结支架(Knot holder) [3]

当(1) 式中 Rayleigh 数 r 由大变小的过程中相轨

线的缠绕将越变越复杂 ,但共同特点都是围绕两个

空洞往返盘绕. 如图 2 所示的相轨线(r≈50) 是由三

个纽结绞绕而成的三分支铰链(link) ,可以看出三个

纽结都盘绕着同一对空洞. 据此 Birman 引入具有两

个空洞的纽结支架 ,如图 3 所示. 围绕两个空洞的下

半部为单叶片 ,上半部绕左侧洞为前叶片、绕右侧洞

为后叶片 ,前后两叶片的交线称奇异线 ( Singular

line) . 这里引入字码 W(x , y) 来描述缠绕状况 ,绕左

洞一周用 x 表示 ,绕右洞用 y 表示.

图 2 　三分支铰链

图 3 　纽结支架(Knot Holder)

为了简明我们取 r 值较大的相轨线ω = x2yxy2

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Ξ 收稿日期 :2000 - 08 - 27

　　　作者简介 :顾之雨(1930 - ) ,男 ,北京人 ,教授 ,主要从事理论物理的教学和研究工作.

第 10 卷第 2 期

2001 年 4 月

云南民族学院学报(自然科学版)

Journal of Yunnan University of the Nationalities(Natural Sciences Edition)

Vol. 10 　No. 2

Apr. 2001

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为例. 将它安装到纽结支架上 ,可以看出当轨线连续

两次缠绕左洞时 ,即由 x 到 x 时 ,相应轨线从奇异线

左侧出发又回到左侧 ,我们称这段轨线为 LL ,相似 x

到 y、y到 x 及 y 到 y 分别对应于 LR、RL 及 RR. 现在

将纽结支架进一步切开 ,则可将上述四类线段所在

区域划分清楚. 为了更好地显示轨线铰绕情况 ,再进

行“解扣”.将 RL 段舒平 ,铰绕部分都集中于左侧 ,

这时撤去支架 ,即呆得到纽结理论中常用的编带

(braid) ,并可用生成元σi 表达编带字码. 应用上述

方法可将图 2 的铰链解扣如图 4 所示.

图 4 　三分支铰链的解扣

其中 t 为解扣后编带的股数. 至此推广可得命

题 1 ,任何 Lorenz 铰链都可表为解扣股数为 t 的编

带 ,且其字码可用生成元σi 表达

编带字码 = △2 σ

t- 1

i=1

(σ1σ2 …σi) n

i

σ

1

i=t- 1

(σt- 1 …σt- i) m

i

(2)

我们必须注意到尽管在混沌状态中字码 Wj 的

长度和数量都将趋于无限大 ,但任何字码 Wj 都可

以排序. 由于轨线穿过奇异线时有且仅有两种可能

取向 ,即分岔向 x 或向 y ,因此排序是树式的 ,也称

为字典式的 ,如图 5 所示.

图 5 　W 字典式及 Conway 数ω序列

通过约定每个 Wj 都可相应于一个 Conway 数

ωj ,设已给一个ωj 序列

…　ωL

i 　…　　　ω　　　…　ωR

k 　…　　　

其中ωL <ωR

(3)

其中已将一个ω= {LIR}嵌入于序列的左集合 L 与

右集合 R 之间 ,今按集合 L、R 是否为空集约定算法

如下 :

两侧空集{ 　I 　} = 0

(4)

一侧空集{ 　IR} =ωR

min - 1 ,{LI 　} =ωL

max + 1

(5)

全非空集{LIR} =

1

2

(ωL

max +ωR

min)

(6)

其中ωR

min表示集合 R 中的极小值 ,ωL

max为L 中的极大

值. 按此算法所得 Wj 即可按由小到大来排序 ,如图

5 所示. 将此排序投影到纽结支架的奇异线上 ,即可

得到广义 Lorenz 支架如图 6 所示. 至此我们可以总

结得到

命题 2 　任何字码 Wj 都可按字典式及相应

Conway 数ωj 排序[4]

由命题 1、2可见对任何奇异吸引子都可以用纽

结理论的 W、ω语言来表述.

2 　应用 W、ω语言描述刻划混沌的重要特征

量 ———李雅普诺夫指数λ(Lyapunov Exponent)

人们已熟悉李雅普诺夫指数λ是对局域中相邻

轨线间距εt 的指数发散程度的度量[5]

εt =ε0e

λt

(7)

定义　　λ=

1

t

ln(

εt

ε0

)

(8)

而λ> 0 则是混沌的必要条件. 可见 W、ω敏感地依

赖于相邻轨线的初始微弱变化.

Wa = x 　x 　y 　…

Wb = x 　x 　x 　x 　…

|ωa - ωb| } 急剧增值参量 r 的变化将引起 W 在

分岔中的大步跳跃 ,这正是对系统走向混沌的生动

描述.

我们应用 W、ω语言还可以进一步剖析奇异吸

引子的结构特征 :收缩与分离的统一如图 7、密集与

空洞的统一. 由图 7 可见作为吸引子至少有一个λi

<0,对于混沌必有一个λi >0,沿相轨线则有λi = 0.

李雅普诺夫指数谱 (λ1 ,λ2 ,λ3) = (+ ,0,- ) ,还可注

意到在耗散系统中 ∑λi <0, 这时体积要收缩 ,而分

离仍存在. 一方面轨线无穷伸长 ,相应 Conway 数ω

要增大 ,必然导致在空间中密集. 另一方面字码 W

的分岔及分离的存在导致空洞的出现 ,乃为自相似

结构的形成创造了条件 ,同时分维也正是对自相似

结构空间的度量.

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云南民族学院学报(自然科学版)

第 10 卷

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图 6 　广义 Lorenz 支架

图 7 　收缩与分离的统一

3 　对量子混沌(Quantum chaos) 的相应描述

现引用 Berry 定义的量子混沌学(Quantum chaol2

ogy) 的观点 :即主要研究对应于经典混沌的量子系

统的“半经典”特征行为.

今以二维周期驱动量子哈密顿系统为例 ,设有

带电 q 粒子在电磁场(矢量珝A、标势　、外势 V) 中 ,遵

守 Schrdinger 方程

i∂

5

5t

Ψ =[- ∂2

2m

(

-

iq

∂c

珝A)2 + q+V]Ψ

(9)

取波函数　Ψ = Reis/ ∂

(10)

引入场速珒v=( S -

q

c珝A)/m,,量子势Q= - ∂2

2R

2mR

(11)

并引用 Bohm 量子轨线的观点[6] ,取场速珒v为粒

子速度珒x ,乃将(9) 式化为粒子运动的牛顿方程

m珒x = S(珒x,t) -

q

c

珝A(珒x , t)

(12)

及　m珒x=qE+

q

c

珒v×珗B -

(珝V + Q)

(13)

当量子力 -

Q 较小时系统将成为半经典情况. 设

粒子于二维单位方格内 ,驱动力来自矢势[7]

珝A= -

cm

q

(V)珒xδτ(t)

(14)

其中τ为冲击函数δτ(t) 的周期 ,n 次冲击时 tn = nτ,

矩阵(V) 定义于转换矩阵 M(K)

e

(V)

=M(K) =

1

k

1 k+1

(15)

其中 K为驱动强度. 初态Ψ0 为实函数时 , 方程(12)

简化为

珒x = (V)珒xδτ(t)

(16)

今在区间 t -

n < t ≤t +

n 进行积分 ,递推得

△珒x(t +

n ) =en(V) △珒x(t +

0 )

(17)

与经典情况(7) 式相似. 先计算出 M(K) 的本征值

γ±(K) =

K+2

2

± (

K+2

2

)2 - 1

(18)

再应用(15) (17) (18) 及(8) 式 ,整理得

λ= lim

t

+

n

→∞

1

tn

ln

△珒x(t +

n )

△珒x(t +

0 )

=

1

τLn|γ( K) |

(19)

其中|γ( K) | 为|γ+ ( K) | 与|γ- ( K) | 中最大者.

由(18) (19) 可得 : (i) 当 K< - 4 或 K>0 时λ>0,此

区域为混沌的(chaotic) , (ii) 当 - 4 ≤K≤0 时λ=0,

此区域为常规的(regular) . (19) 式图线当 K=1 时就

是人们所熟知的阿诺尔德猫映射[8][9] ,它也是经典

混沌的量子表现之一. 在 q=0 的情况下 ,在相应的

速度场中我们还可得到缠绕的量子涡旋 ( quantum

vortex) . 通过举例导出系统的λ( K) 函数及内涵的图

象 ,这已经说明在量子混沌中是可以应用纽结语言

进行相应描述的.

参考文献

1. E. N. Lorenz. Deterministic nonperiodic flow [J ]. J. Atmos.

Sci. , 20(1963) : 130 - 141

2. Louis H. Kauffman. Knots and Physics[M]. World Scientific

Singapore 1991 ,. 501 - 509

3. J. S. Birman. R. F. Williams. Knotted periodic orbits in dy2

namical systems ———I: Lorenz’s equations[J ]. Topology 22 (1) :

1983 , 47 - 82

4. J. H. Conway,.On Numbers and Games[M]. Academic Press

1976. 3 - 14

5. Paul S. Addison. Fractals and Chaos[M]. Institute of Physics

Publishing , Bristol and Philadelphia , 1997. 16 - 29

6. D. Dürr,G. Goldstein, N. Zanghi. Quantum chaos, classical

randomness, and Bohmian mechanics [J ]. J. Stat. Phys. 68

(1992) :259 - 270

(下转第 318 页)

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第 2 期

顾之雨 : 　纽结理论与量子混沌

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既不允许 SQ ,也不允许 CH ,但进一步研究表明菱形

是允许的(此时同类粒子仍在一对角线的两端) . 此

时若定义一种对应于从扁的菱形通过正方形与长的

菱形互相转化的经典振动 ,那么可以发现 O+ (B2) 首

态的波函数将主要沿这一经典振动的径迹分布 ,并

呈现峰 ———节 ———谷结构 ,其中节点来自位于 SQ

处的内禀节面.

以上表明同禀节面对于量子态的运动有极大的

影响. 当对称性把内禀节面强加给波函数的同时 ,也

把一种内禀的运动模式强加给波函数了 ,其结果是

某一类态将以具有某种运动模式为特征 ,从这一点

意义上说 ,通过对内禀节面的研究可导至把量子态

按其内部运动的特征来进一步分类.

作为结束语 ,我们再强调一下内禀节面是不依

赖于动力学的. 不同的动力学系统其内禀节面结构

可以是完全相同的. 既然这些不同的系统受到对称

性的相同的强烈制约 ,它们之间将会有共同的地方.

而基于内禀节面的研究将深化对自然界的同一性的

认识.

参考文献

1. D. B. Kinghorn, R. D. Pachusta[J]. Phys. Rev, A 47.

1993 ,3671 - 3676

2. C. G. Bao. Few- Body Systems[J]. 13(1992) :41

3. C. G. Bao. Phys. Rev[J]. A47(1993) :1752 - 1756; A49

(1994) :818 - 823

4. C. G. Bao. J. of Physics[J]. B26(1993) :4671- 4765

Inherent Nodal Surfaces in Wave Functions of Quantum Mechanics

BAO Cheng2guang

Department of Physics , Zhongshan University , Guangzhou , 510275

Abstract 　It has been revealed in this paper that a special kind of nodal surfaces , namely the inherent nodal

surfaces , originating from symmetry exist extensively in the wave functions of quantum mechanical few - body systems.

The effect of this kind of surfaces on the geometric features and the modes of motion of quantum states has been stud2

ied. Based on the knowledge of the inherent nodal surfaces , the features of spectra can be deeper understood , and the

similarity between distinct systems can be recognized.

Key words 　Quantum mechanics , 　Symmetry , 　Inherent nodal surfaces , 　Fewbody systems

(上接第 313 页)

7. U. Schwengelbeck. F. H. M. Faisal. Transition to determinis2

tic chaos in a periodically driven quantum system and breaking of

the time - reversal symmetry[J ]. Phys. Rev,. 1997 , E 55 (5) :

6260 - 6263

8. F. H. M. Faisal , U. Schwengelbeck. Unified theory of Lya2

punov exponents and a positive example of deterministic quantum

chaos[J ]. Phys. Lett , A 207 (1995) : 31 - 36

9. Hua Wu , D. W. L. Sprung , Quantum chaos in terms of Bohm

trajectories[J ]. Phys. Lett , A 261 (1999) :150 - 157

Knot Theory and Quantum Chaos

GU Zhi2yu

(Department of Physics , Capital Normal University , Beijing , 100037)

Abstract 　This paper discusses the application of knot theory to quantum chaos , reveals the topological structure

of the chaotic solution of quantum systems.

Key words 　 Knot theory , 　Quantum chaos , 　 Knot holder , 　Lyapunov exponent

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云南民族学院学报(自然科学版)

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