phymath999: 克罗内克函数这个函数代表着一个冲激或单位冲激。当一个数字处理单元的输入为单位冲激时，输出的函数被称为此单元的冲激响应

Wednesday, August 15, 2012

克罗内克函数这个函数代表着一个冲激或单位冲激。当一个数字处理单元的输入为单位冲激时，输出的函数被称为此单元的冲激响应

这个函数代表着一个冲激或单位冲激。当一个数字处理单元的输入为单位冲激时，输出的函数被称为此单元的冲激响应

克罗内克函数

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在数学中，克罗内克函数（又称克罗内克δ函数、克罗内克δ、克罗内克符号） $\delta_{ij}\,\!$ 是一个二元函数，得名于德国数学家利奥波德·克罗内克。克罗内克函数的自变量（输入值）一般是两个整数，如果两者相等，则其输出值为1，否则为0。

$\delta_{ij} = \left\{\begin{matrix} 1 & (i=j) \\ 0 & (i \ne j) \end{matrix}\right.\,\!$ 。

克罗内克函数的值一般简写为 $\delta_{ij}\,\!$ 。
克罗内克函数和狄拉克δ函数都使用δ作为符号，但是克罗内克δ用的时候带两个下标，而狄拉克δ函数则只有一个变量。

[编辑] 其它记法

另一种标记方法是使用艾佛森括号（得名于肯尼斯·艾佛森）：

$\delta_{ij} = [i=j ]\,\!$ 。

同时，当一个变量为0时，常常会被略去，记号变为 $\delta_i\,\!$ ：

$\delta_{i} = \left\{\begin{matrix} 1, & \mbox{if } i=0 \\ 0, & \mbox{if } i \ne 0 \end{matrix}\right.\,\!$ 。

在线性代数中，克罗内克函数可以被看做一个张量，写作 $\delta^i_j\,\!$ 。

[编辑] 数字信号处理

File:Unit impulse.gif

冲激函数

类似的，在数字信号处理中，与克罗内克函数等价的概念是变量为 $\mathbb{Z}\,\!$ (整数)的函数：
$\delta[n] = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ 0, & n \ne 0\end{cases}\,\!$ 。
这个函数代表着一个冲激或单位冲激。当一个数字处理单元的输入为单位冲激时，输出的函数被称为此单元的冲激响应。

[编辑] 性质

克罗内克函数有筛选性：对任意 $j\in\mathbb Z\,\!$ ：

$\sum_{i= - \infty}^\infty \delta_{ij} a_i=a_j\,\!$ 。

如果将整数看做一个装备了计数测度的测度空间，那么这个性质和狄拉克δ函数的定义是一样的：

$\int_{-\infty}^\infty \delta(x-y)f(x) dx=f(y)\,\!$ 。

实际上，狄拉克δ函数是根据克罗内克函数而得名的。在信号处理中，两者是同一个概念在不同的上下文中的表现。一般设定 $\delta(t)\,\,\!$ 为连续的情况（狄拉克函数），而使用i, j, k, l, m, and n 等变量一般是在离散的情况下（克罗内克函数）。

[编辑] 线性代数中的应用

在线性代数中，单位矩阵可以写作 $(\delta_{ij})_{i,j=1}^n\,\!$ 。
在看做是张量时（克罗内克张量），可以写作 $\delta^i_j\,\!$ 。
这个(1,1)向量表示:

作为线性映射的单位矩阵。
迹数。
内积 $V^* \otimes V \to K\,\!$ 。
映射 $K \to V^* \otimes V\,\!$ ，将数量乘积表示为外积的形式。

[编辑] 廣義克羅內克函數

定義廣義克羅內克函數為 $n\times n\,\!$ 矩陣的行列式，以方程式表達為^[1]

$\delta^{j_1 j_2 \dots j_n}_{i_1 i_2 \dots i_n} = \begin{bmatrix} \delta^{j_1}_{i_1} \delta^{j_1}_{i_2} & \cdots & \delta^{j_1}_{i_n} \\ \delta^{j_2}_{i_1} \delta^{j_2}_{i_2} & \cdots & \delta^{j_2}_{i_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \delta^{j_n}_{i_1} \delta^{j_n}_{i_2} & \cdots & \delta^{j_n}_{i_n} \\ \end{bmatrix}\,\!$ ；

其中， $\delta^{i}_{j}\,\!$ 是個張量函數，定義為 $\delta^{i}_{j}\ \stackrel{def}{=}\ \delta_{ij}\,\!$ 。
以下列出涉及廣義克羅內克函數的一些恆等式：

$\delta^{ijk}_{imn} =\delta^{jk}_{mn}=\delta^{j}_{m}\delta^{k}_{n} - \delta^{j}_{n}\delta^{k}_{m}\,\!$ 。
$\delta^{ijk}_{ijm} =2\delta^{k}_{m}\,\!$ 。
$\delta^{ijk}_{ijk} =6\,\!$ 。
$\delta^{ijk}_{lmn} =\epsilon^{ijk}\epsilon_{lmn}\,\!$ ；

其中， $\epsilon^{ijk}\,\!$ 和 $\epsilon_{lmn}\,\!$ 是列維-奇維塔符號。

$\delta^{j_1 j_2 \dots j_n}_{i_1 i_2 \dots i_n} =\epsilon^{j_1 j_2 \dots j_n}\epsilon_{i_1 i_2 \dots i_n}\,\!$ 。
$\delta^{1 2 \dots n}_{i_1 i_2 \dots i_n} =\epsilon_{i_1 i_2 \dots i_n}\,\!$ 。
$\delta^{j_1 j_2 \dots j_n}_{i_1 i_2 \dots i_n} T_{j_1 j_2 \dots j_n}=n!\ T_{i_1 i_2 \dots i_n}\,\!$ ；