d 維空間+一維(虛)時間，看成是d+1 維空間,沿著假想時間軸產生出一系列的場組態

接下來，我們作第一個近似：將底空間

(即d+1

維時空

)格子點化，於是泛函積分就近似為一多重積

分。這是為了將來利用電腦作數值計算必須作的準備

工作。我們為了減少近似的誤差，格子點的分布必須

要夠密，以免偏離連續時空太遠

[註10]。

由於為了使誤差不至於過大，格子點的總數仍然

很多

(例如：84 個, 104 個, 甚至164 個, 244 個)，多到無

法利用電腦直接計算此多重積分的地步。於是，為了

計算該多重積分，勢必要再作近似。這一步的近似就

是設法利用隨機取樣的算法來近似的計算此多重積

分，正是在這裡用到了隨機過程的概念。其基本想法

是：

< >= Π

∫ ∫ −∫ E

d d

d xL

n

n

f i

d e

τττφ􀀽1

0; | 0;

1 {

φ} φSE

n

n

d e

􀀽−= Π∫

一式中，指數衰減因子

1

S

E e

−􀀽之值相對較大(即SE 之值

相對較小

)的場組態{ } n φ對積分有較重大之貢獻，所

以我們只要能設計出一種算法，能夠在

(不可數的)無

窮多個場組態

{ } n φ中，把對積分貢獻較大的”那些”組態挑起來，如此即應有

∫ Σ

Π−∫ ∫ −{ }

1 1 { }

~

n

E E n

d d

d xL S

n

n

d e e

φτφ

φ􀀽􀀽比較嚴格來說，是要設計出一種算法，使得我們隨機

挑選出來的很多個場組態是依照正比於

1

{ }

S

E n e

−φ􀀽的機率

來分布的

[註11]。

所以，這種想法其實是在原有的時空座標之外，

又多引入了一個假想的時間軸

(fake time axis)，而將原

有的

d 維空間，一維(虛)時間，看成是d+1 維空間。

然後，從一個任意給定的場組態

{φ(r,τ)}出發，以一

定的方法，沿著假想時間軸產生出一系列的場組態。

其實就是引入一套沿著假想時間軸的

“動力

學機制

”，這套動力學機制會以一定的機率，產生一個

隨機過程，使得沿著假想時間軸產生出來的場組態正

是依照特定的機率分布而分布的。這樣就達到了我們

當初想要用隨機取樣的方式來近似的計算多重積分的

目的。