一﹑同一種絃，一樣的張力，而絃的長短不同，那麼振動的週期與絃長成正比。（這也就是前面說過的畢達哥拉斯的發現）
二﹑同樣的絃，同樣的長度，但是張力不同，那麼振動的頻率與張力的平方根成正比。
三﹑不同的絃，同樣的長度，同樣的張力，那麼振動的週期與絃的重量的平方根成正比。這三個定律就叫作梅仙尼定律（Mersenne's
laws）。
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＃發行日期：1982、05
＃期號：0149
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推敲吹擂話聲學
在近代物理學的範疇裏，聲學是比較冷門的學問。但是相關的典籍著作，仍然是浩如煙海，卷帙綦繁。這篇短文斷不敢奢望把聲學發展的來龍去脈完整賅備的介紹出來；而只是想藉著聲學上的某些發展，來反觀數學上、物理上某些非常重要的觀念是如何孳衍出來的。像傅立葉分析，像疊加原理，現在固然是「家喻戶曉」的了；但是在十八世紀這些觀念萌芽之初，背景如何？當時知名的科學家是用甚麼態度來面對這些觀念？這些觀念的背後，又如何跟我們習焉而不察的日常現象（聲音）息息相關？我想歷史的價值至少可以回顧既往，整理頤繁的經驗，或許還可以前瞻將來，啟迪未來的發展。我們順著歷史的發展來看物理，常常會使整個問題的邏輯性隱晦不彰；但是追溯歷史的好處是可以曉得一﹑前人如何敏銳的發現問題，「疑人所不疑」是學問的開端；二﹑他們如何用抽絲剝繭的辦法，把問題的癥結澄清出來，了解問題才能解決問題；三﹑他們用甚麼辦法解決問題，好的辦法不但能解決一個特殊的問題，還應該「屢試不爽」。這篇短文於聲學發展，看官幸勿以賅備相責的另一個理由是，聲學只是我的課外活動，許多重要著作未嘗寓目，難免管窺蠡測之譏。茲將參考資料臚列於文後，以資覆按。
擊石作響，撥絃成音，本來是耳目所及的日常現象。人類再從天地自然聲籟之中，捨棄聒噪，簡擇諧和，於是有音樂之事。不過我們現在要討論的不是如何組織樂音、編成樂曲，而是要探討聲音的物理現象。說得詳細些，就是用物理來解釋聲音的產生與傳播。
希臘的畢達哥拉斯從撥絃成音的現象發現兩件事：絃音的高低與絃長有關，絃長音低，絃短音高；兩絃長度如果成整數比，則同時撥這兩根絃，所發之音和諧悅耳，也就是通常所謂的和聲。張一根絃，撥之，得一音；按在正中央撥之，得一高音，這就是通常所謂的高八度音。按在2/3的地方，撥較長的一段，得一音，這就是五度音。說得仔細些，這是純五度（perfect
fifth），以別於十二平均律的平均五度。畢達哥拉斯就用五度相生的辦法，發展出一套希臘音階（Greek musical
scale）。這與我國古代的三分損益法所得的樂律不謀而合。用數學可以計算音階中每一個音（叫作「律」）的精確高度，這就是所謂的樂律學（temperament），我國古代一向叫作律呂之學。我們不再詳細討論律學，因為從物理學的觀點來看，音階中各律的高低，各音程的大小，都只是頻率的問題。我們比較有興趣的是，我們對音高（pitch）的認識，如何由絃的長短演變為頻率的高低？甚麼叫頻率？誰先用頻率來討論音高？
在這裏我們就可以了解，提出一個恰當的物理觀念，對澄清問題、輔助思考、化繁為簡有多大的貢獻。我國以數字相求制定五聲，最早載諸史籍，是在管子地員篇。以數字相求制定十二律，最早載諸史籍，是在呂氏春秋、季夏紀音律篇，而史紀律書生鐘分裏更用縝密的數值計算出律管的長度。但是我國始終沒有頻率的觀念，更沒有用對數來計算音高，因此律呂之學向來就不是顯學而是絕學。明萬曆年間朱載堉在他的律呂精義提出十二平均律之後，一直只是「宣付史館，以備稽考，未及施行」；到了清朝還是採用古代的三分損益法來制定律呂。固然，採用三分損益法的不平均律，形成了我國特有的民族音樂風格，朱載堉的平均律未及施行，在音樂史上是禍是福是另外一個問題；但是捨頻率而論律呂、捨對數而論音高，則是律呂之學頤隱不彰的淵藪，通曉者鮮的根由。那麼西方發現音高與頻率的關係，又是怎麼一段公案呢？
我們現在都知道，頻率是每秒振動的次數；頻率高則音高，頻率低則音低。音高與頻率的這個關係，通常都認為應歸功於天主教修士梅仙尼（M.
Mersenne, 1588～1648年）。他在1636年發表了三個定律：
一﹑同一種絃，一樣的張力，而絃的長短不同，那麼振動的週期與絃長成正比。（這也就是前面說過的畢達哥拉斯的發現）
二﹑同樣的絃，同樣的長度，但是張力不同，那麼振動的頻率與張力的平方根成正比。
三﹑不同的絃，同樣的長度，同樣的張力，那麼振動的週期與絃的重量的平方根成正比。這三個定律就叫作梅仙尼定律（Mersenne's
laws）。
但是1638年出版的伽利略的「Dialogues Concerning Two New
Sciences」一書裏，就先討論了單擺的週期、頻率與擺長的關係，然後描述了共振（resonance）的現象，（在宋朝元祐年間，大約1090年，沈括在他的夢溪補筆談、樂律裏有一條也描述了琴絃的共振現象。）提議用頻率來表示音高。伽利略發現，用鑿子刮銅版的時候，發高音時刮出的線比較密擠，發低音時刮出的線比較稀疏。音高差八度時，刮出的線數比是2：1；音高差五度的時候，刮出的線數比是3：2。他由單擺的週期、頻率，聯想到絃的振動頻率與音高的關係。那麼，為甚麼頻率比為整數比的絃同時彈撥，發出的聲音是悅耳的和聲呢？伽利略再拿單擺來聯想。他讓不同長的擺一齊擺動，而發現頻率比為整數比的，會描出悅目的圖案，悅目的也悅耳。
雖然伽利略的著作發表得比梅仙尼晚兩年，但是就發現的時間來說，就反倒可能比梅仙尼早了。
在音高與頻率關係這個問題上，紹續繼踵而值得一提的還有虎克（R. Hooke ）、索佛爾（J.
Sauveur）、卡尼亞爾（Cagniard de la
Tour）。既然音高與振動頻率有關，那麼能不能用很簡便的辦法發出一個固定音高的音，同時又確知其頻率呢？
最先想出這個辦法的是英國的虎克（1635～1703年），虎克定律就是他發現的。不過，我們以1819年卡尼亞爾所發明的驗音盤（siren）來說明。塞倫施（Sirens）本來是希臘神話裏三個半人半禽的海上女妖，歌聲曼妙，過往舟子耳惑五音不能自己，往往投海殞滅。因此船隻航經塞倫施所居的島嶼時，船上的人都塞耳摒聲。只有奧德賽（Odysseus）不但敢聆美音，又能倖免於難。而卡尼亞爾所發明的驗音盤是用一個堅硬圓板，在邊緣鑿一圈等間隔的孔。圓盤可繞著中心轉動，再把一個風箱的風口對著鑿孔，當圓盤轉到孔對準風口的時候，氣流可以通過圓孔；孔不對著風口的時候，氣流就被阻絕。因此圓盤不停地轉動，風口的氣流也就有交替的通暢、阻絕，而發出間歇的聲響。圓盤轉得快的時候，聲響就融成為有音高的聲音。圓盤的轉速乘以圓盤上的孔數，就是所發出的聲音的頻率。因此頻率就可以用轉速來控制了。
至於法國的索佛爾（1653～1716年），則巧妙地應用了拍（beat）的現象來確定風琴管的頻率。他發現，管風琴裏兩隻差了半音的管子同時發聲的話，每秒鐘會有6個拍。半音的頻率比是15：16，這在當時很容易用古代大音階算出來，是個大半音（major
semitone）。索佛爾把每秒的6個拍歸因於這兩個音的頻率不同，因此頻率比為15：16，每秒產生6個拍的兩個音，其頻率是90、96。
順便一提的是「聲學」（acoustics ）這個字也是索佛爾首先創用的，而這個字的希臘字原意就是「諦聽」（to
listen）的意思。
到這個時候為止，聲學研究的範圍都還只限於現象的闡述。索佛爾跟牛頓（1642～1727年）是同時代的人，而牛頓的「Principia」一書問世之後，所有的物理現象終歸要用力學來解釋。因此聲學也就要追究到發聲的物體，也就是要研究聲源的物理性質。樂器發聲的方法，大略有彈撥絃索（string），擂搥鼙鼓（membrane），拊擊金石（bar），吹 管籥（tube）。絃索振動的問題（vibrating-string
problem）從物理上來說，最容易入手，因此也最先有人研究。（我國則先由律管來制定律呂，到西漢末年京房才用準，也就是振動絃，來制定律呂。但是二十五史裏，歷代的律志裏總是用律管，就是黃鐘，作為律本。）索佛爾就在1700年左右研究振動絃的頻率，但是他的方法很有問題，因此通常都認為首先用力學算出振動絃頻率的是英國數學家泰勒（B.
Taylor, 1685～1731年），數學中著名的泰勒級數（Taylor
series）就是以他命名的。不過在討論振動絃的力學問題之前，還有一個非常重要的物理現象必須要介紹。在這個現象裏包含了很多非常重要的物理觀念，如節點（node）、波腹（loop）、基音（fundamental）、泛音（overtone），而這些觀念又牽引出了疊加原理（superposition
principle）。
研究絃索振動的工具叫單絃器（monochord），是在一個木架上張一根絃索，一端固定，另一端吊一個重物，再跨在一個可以移動的碼（bridge）上，那麼就可以用重物的重量來調節絃的張力，由碼的前後位置來調節振動絃的長度。
在1700年左右，英國的華里斯（J. Wallis,
1616～1703年）與法國的索佛爾都發現絃在振動的時候，有些點是不動的，索佛爾把這些點叫作節點。在節點與節點之間的部分則有顯著的振動，索佛爾把這個部分叫作loop，譯成中文是波腹，不過在當時，恐怕還未必有「波」的想法。這是絃索分段振動的現象（partial
motion）。分段愈多的絃，絃音愈高。完全不分段，整個絃振動所發的音，索佛爾稱之為基音；以中點為節點，把絃分為兩段振動，所發的音叫第一泛音（first
overtone），或者第二分音（second partial）、第二諧音（second
harmonic）。有趣的是，西方最先發現泛音的，是前面提到過的法國音樂理論家梅仙尼，後來才由數學家索佛爾用數學來解釋泛音，這是十七、十八世紀的事。而我國的琴上置有十三徽，至少在秦朝就有了（見西京雜記），這十三個徽位就位於絃的1/2、2/5、1/3、1/4、1/5、1/6、1/8的地方，兩邊對稱，共十三個，這也就是泛音所在的位置。琴曲中甚至有全用泛音的曲子。古人很早就發現泛音，也知道泛音是由於絃的分段振動，更用泛音點設置徽位，以作為琴曲記譜的依據。但是聲學在我國一直沒有更進一步的發展，究其原因，恐怕是因為在基礎科學裏，沒有微積分以降的分析數學，以及沒有探討物體運動的力學。而西方發現泛音雖然是很晚的事，但是一發現之後，立刻就用當時的數學、物理學來研究。首先研究振動絃頻率的是泰勒，接踵步武的就是伯努利（D.
Bernoulli）、達朗伯特（J. L. R. d' Alembert）、歐拉（L.
Euler）、拉格朗日（Lagrange）這些赫赫有名的數學家。
索佛爾發現泛音原理的同時，還發現振動絃除了發出基音之外，還同時發出許多泛音。伯努利首先在1755年說明了這個「餘音裊裊」的現象，是由於「微小振動共存原理」（principle
of the coexistence of small
vibrations）。後來物理學上萬法資始的疊加原理就是脫胎於此，數學上如影隨形的傅立葉分析也是孳萌於此。事實上，在1751年伯努利就已經有這個想法，但是他還不敢公諸於世。到了1753年，他才提出一個想法：長為i，兩端固定的振動，在初始時的形狀可以用無窮多個正弦函數疊加起來：
而在往後的任何一個瞬間，這個振動弦的形狀是
這個想法的重要性，是為物理上的疊加原理揚言揭櫫，為數學上的傅立葉分析預作張本。但是伯努利是由物理現象得到啟示，而沒有數學上的論證。這個無窮級數的收歛性是個大問題。而對當時的人來說，只用正弦函數可以製造出任意形狀的曲線，是匪夷所思的念頭。首先反對這個想法的是歐拉（1736～1813年）；而達朗伯特（1717～1783年）也對伯努利的想法深不以為然。他們爭論的關鍵是：一個任意的函數能不能用正弦函數組成？
撇開數學的問題不談，達朗伯特對聲學（以及物理學）有一個很重要的貢獻，就是他的波動方程式（wave
equation）。前面提到的伯努利、歐拉、達朗伯特之間的爭論，就在於這個方程式的解可以是甚麼樣的函數。這個問題爭了一二十年仍然沒有結果，到了十九世紀才在傅立葉（J.
Fourier, 1768～1830年）的手裏有了定論。我們不再追究這段數學史上的公案。
從絃索振動再進一步引申，就是討論二維、三維的物體的振動，譬如鼓面皮革、提琴面板、鋼琴、音叉、鐘磬等樂器。這些問題牽涉到彈性力學。
鼓面振動（vibrating membrane）的問題還是數學家的天下。歐拉（1759年）討論圓形鼓面，得到貝索方程式（Bessel's
equation）；馬修（E. L. Mathieu, 1835～1900年）討論橢圓鼓面，得到一個新的特殊函數，叫作馬修函數（Mathieu
function, 1868年）；韋伯（H. Weber, 1842～1913年）則得到了韋伯函數（Weber
functions）。鼓面振動的整個理論由蒲易生（S. D. Poisson, 1781～1840年）一手建立起來（1829年），再由克列布希（R. F. A.
Clebsch,
1833～1872年）在1862年補充了圓形鼓面部分的理論（這個克列布希就是出現在量子力學裏角動量加法的那個Clebsch）。由一班數學家來研究聲學，最不幸的一點就是他們常用一些不切實際的邊界條件、初始條件，因此總不免流為紙上談兵。
在這個數學淪陷區裏揭竽起義的，是十八世紀末的德國人克拉得尼（E. F. F. Chladni,
1756～1824年）。他從實驗上研究固體彈性面板的振動，其價值可以跟索佛爾研究絃索振動發現節點，前後互相輝映。他把細砂灑在板面上，板面振動使細砂或聚或散。由細砂聚成的圖案，可以辨認出這個面板在振動時的節線（nodal
lines）。在理論上立刻可以聯想到，用來分析絃索振動尋找節點的方法，或許可以依樣畫葫蘆，用來算出振動面板的節線。但是不然，克拉得尼在1787年發表的實驗結果，始終無法用理論來分析。拿破崙甚至在法國科學院（Institute
of France）懸賞三千法朗，徵求振動面板的理論。在 1815年，謝爾曼（S.
Germain）女士寫下了正確的四階微分方程，而贏得這筆賞銀。不過，後來發現她所用的邊界條件有問題。在1850年，德國的克爾克荷夫（G. R.
Kirchhoff, 1824～1887年）才提出一個更好的理論。到現在，振動面板的問題還是大有文章可作。
聲源的振動還要靠媒介傳送到耳朵。這個媒介就是空氣。因此，亞里斯多德就認為，傳播聲音是靠空氣的運動。但是空氣的運動是看不見的，因此不但在當時就有人不認為傳聲是靠空氣，甚至到了伽利略的時代，法國哲學家賈生迪（P.
Gassendi, 1592～1655年）還認為，聲音的傳播是因為物體發出一束看不見的粒子，穿過空氣傳到耳中。馮格里克（O. von Guericke,
1602～1686年）則認為，無風時比刮風時容易傳聲，因此他頗不相信傳聲是靠空氣運動。他還作了一個實驗，用抽氣機把罈子抽成真空，罈子裏搖鈴，罈子外還聽得到鈴聲。最早作這個實驗的其實是克爾基爾（J.
A. Kircher, 1602～1680年），結果一樣。他們的實驗都疏忽了罈子本身也可以傳播振動。到了1660年，英國的波以耳（R. Boyle,
1627～1691年 ）才用很仔細的方法重作這個實驗，終於發現把罈內空氣抽出之後，鈴聲也果然變得微弱了，因此才肯定了傳播聲音的媒介是空氣。
既然空氣是傳聲的媒介，那麼空氣中的聲速是多少呢？1635年，賈生迪在巴黎測量的結果是每秒478公尺。後來梅仙尼仔細的測量，結果是每秒450公尺。1656年，義大利的數學家波瑞里（Borelli,
1608～1679年）跟維夫雅尼（V. Viviani,
1622～1703年）更仔細地測量，結果是每秒350公尺。不過這些結果都沒有註明測量時的條件，如溫度、濕度、風速等。賈生迪已經發現聲速與音高（即頻率）沒有關係。1740年，義大利布朗科尼（Branconi）的實驗證明溫度愈高，聲速愈快。1738年，巴黎科學院（Academy
of Science of Paris）測得 0℃時空氣中的聲速是每秒332公尺，這可以算很精確了。
至於水中及固體中的聲速則到十九世紀才有人測量。1808年，法國物理學家比歐特（J. B.
Biot,1774～1862年）測量了固體介質裏的聲速。1826年，柯拉登（J. D. Colladon）與數學家史都姆（C. Sturm,
1803～1855年）測量了水中的聲速，在8℃時是每秒1,435公尺。
從理論上去研究聲音傳播、計算聲速，最早是牛頓。他用聲波理論（wave theory of
sound）計算聲速，但是用了一些非常特殊的假設，結果是，聲音在壓力為p，密度為r的流體中傳播的速度是
 。拉格朗日對於牛頓採用這些假設頗不以為然，於是用了比較一般性的條件，用嚴謹的方法計算聲速。但是他的結果居然與牛頓完全一樣，他們的結果用當時的實驗結果來勘驗，還差強人意，因此就沒有再去追究。但是到了1816年，拉普拉斯（P.
S. Laplace,
1749～1827年）就看出以前的理論，錯在假定空氣分子是在等溫情況下運動。他認為空氣分子運動非常之快，因此應該是在絕熱情況下運動。所以，空氣的彈性係數（elasticity）不是p而應該是rp,r=Cp/Cv，Cp是定壓比熱，Cv是定容比熱，而空氣中的聲速應該是 。拉普拉斯的結果與實驗結果完全一致，甚至反過來用他的理論測量在不同氣體中的聲速，來測量這個氣體的r值。這是聲學用於熱力學的一個例子。
跟拉普拉斯同時研究聲波傳播的還有歐拉。他在1759年發表了三篇論文，討論一維、二維、三維的波動方程式。然後，聲波傳播的理論就用來研究各種管樂器。像管風琴，不論開口、閉口，伯努利都討論了。他還證明閉口風琴管的泛音頻率是基音的奇數倍。同時，還有許多人研究了各式各樣的管樂器。到了十九世紀，蒲易生專門研究三維的波動方程式，給後世留下極有價值的成果。但是開口管子裏的空氣振動時，氣柱的長度要比管子更長，因此管口修正（endcorrection）是個問題。1860年，赫姆霍茲（H.
von Helmholtz, 1821～1894年）詳盡地討論了管口修正的問題。
關於聲音的接收，本來也是聲學應該討論的問題。但是在這個範疇裏，生理學比物理學更重要，就不屬於本文討論的範圍了。
參考資料
1. J. W. S. Rayleigh, The Theory of Sound, Dover, N. Y., 1945.
2. M. Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times.
Oxford Univ. Press, N. Y., 1972.
3. J. Jeans, Science and Music, Dover, N. Y., 1968.
4. J. Jeans, The Growth of Physical Science, Fawcett World Library,
N. Y.,1967.
5. 王光祈 中國音樂史 中華書局 民國六十六年臺五版
任慶運現任教於東吳大學物理系。
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