導
薛汀格當年以方程式(25) 來建立
量
子力學的數學基礎的主因之一, 因為他從
de Broglie
的物質波實驗, 獲知物質具有波
動性之故。在(32) 中的特徵值¯hω , 稱為是
電
子的能階, 而特徵函數φ(x) 則對應於電
子的分佈狀http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d202/20201.pdf
機
械振動的一些現象和數學問題
陳
鞏
一
. 簡介: 常微分方程的振動
系
統
機
械振動是我們日常生活中經常體驗到
的
一種運動。譬如說, 我們看到樹葉在和風吹
拂
下, 來回地搖曳。我們搭汽車通過崎嶇的路
面
時, 可感到自己隨著車身上下擺動。我們沈
醉
於優美的小提琴的演奏曲中, 它是由琴弦
振
動所發出的音波。像這些林林種種的例子,
實在太多了。
我們可以總結一句話: 在巨觀
(macroscopically)
的世界裡, 任何具有彈
性
及質量的物體, 都會作機械振動。事實上,
在
微觀(microscopically) 的世界裡, 次原
子
的質點也具有量子力學的波動性質, 這些
性
質基本上算是振動運動。因此自然界裡的
物理
系統與工程機械一樣, 都會振動。在本文
裡
, 作者想從振動力學數學模型的一些方程
式
及它們的解, 來說明一些機械振動的現象,
以增加
讀者在學習工程及物理上, 對這一方
面
的瞭解。
學
習數學的人喜歡嚴格性。因此我們首
先
想到的問題, 就是什麼是所謂的「機械振
動」。
要給它一個嚴格的定義並不容易。不過
我
們可以籠統的說, 機械運動是具有某種週
期性
, 類似於波動, 並牽涉到能量傳遞的運
動。
自從十六世紀的啟蒙時代開始, 科學家
及
數學家就開始對振動運動有了興趣。在這
一
方面, 最早有所建樹的是英國大科學家虎
克
(R. Hooke, 1635–1703)。他是有名的虎
克
定律(發明於1660年) 的發明人, 比牛頓
(1643–1727)
出生略早; 在科學上也貢獻卓
著
。虎克在研究彈簧的振動時, 寫下了有名的
簡
諧運動方程式
m
¨x(t) + kx(t) = u(t), t > 0。(1)
這
裡m 表示彈簧所懸的質量, k 為彈簧的彈
性
係數, x(t) 為彈簧在t 時的位移, ¨x(t) 為
x
(t) 的二階時間導數, 也就是加速度; u(t)
為
外力。請見圖一。
Spring constant
k
force
m
u
(t)
圖
一. 簡諧運動
方
程式(1) 是一種基本的常微分方程。當外
無力
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