phymath999: witten纽结 Dehn手术环链图正则同痕等价关系任何一个连通的可定向的三维流形都是某个四维流形的边界

Thursday, August 16, 2012

witten纽结 Dehn手术环链图正则同痕等价关系任何一个连通的可定向的三维流形都是某个四维流形的边界

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三维流形不变量的表示（基础数学专业优秀论文） - 毕业设计 - 道客巴巴

三维流形不变量的表示中文摘要三维流形不变量的表示研究生樊星指导教师韩友发学科专业基础数学本文主要讨论三维流形不变量的表示设是由中通过标架环链《做手术得到的三维流形对于标架环链厂可以得到保持同痕、和变换的环链不变量进而得到三维流形的不变量这样三维流形不变量可以由三的括号的有限线性组合给出当取变量为第个复单位根时利用括号多项式、代数、—模、线性束理论等给出了不同的三维流形不变量的表示一方面本文讨论了这些三维流形不变量表示之间的联系指出它们本质上的一致性另一方面设∥表示实心环体的—模∥的某—个”维子空间有几组基例如”疵破东一矗一。晶墨…只一。等文中给出这些基础矩阵问的过渡矩阵进而讨论了已知三维流形不变量在上述几组基下的不同的表现形式因此三维流形不变量的表示形式可能有很多种但它们实质内容是完全一样的关键词标架环链平面环链图括号多项式—模基础矩阵三维流形不变量的表示Ⅲ三厶厂Ⅱ三——∥—∥。一…”唬商杰一。。…一…一昂墨只一Ⅱ——知识水坝pologoogle为您整理三维流形不变量的表示§引言三维流形是拓扑学研究的主要分支之一其中三维流形不变量的研究更是一个焦点利用量子领域理论技术构造了一系列三维流形不变量和三维流形中环链不变量当三维流形是三维球时这些环链不变量成为多项式或者是它的一般形式之一这时多项式的变量取为不同的复单位根运用量子群理论中进一步结果和给出了这些不变量存在性的证明利用取值为第个复单位根的一元勋口锄口”括号多项式给出了三维流形不变量的基本结构和利用量子群建立了—。不变量同时介绍了这些不变量与。不变量的简单联系也给出三维流形不变量他采用取值为第个单位根的一元√月—模给出了这个三维流形不变量而且利用线性束理论给出了与上面相似的三维流形不变量这些三维流形不变量结构都是建瞌定理基础上的理论介绍了一个闭的可定向的三维流形的两种手术表示的联系若一个三维流形表示为一个三维球中的带状环链三则维流形不变量可以由括号有限线性组合给出这时取变量为第个单位根为奇数不变量表示为给出的公式的一般化令表示实心环体的—模在中与一样只是将系数一。改为这样嚣的一个维子空间有几组基例如。”…乌一。…。晶曰…只一等本文列举了一些二维流形不变量并讨论它们间的联系同时给出了不变量在上述几组基下的不同的表现形式更灵活地从不同角度考察三维流形不变量知识水坝pologoogle为您整理三维流彤不变量的表示§三维流形不变量的构造任何一个连通的可定向的三维流形都是某个四维流形的边界这个四维流形是和有限个×是二维圆盘的并使得这些×与∥中的某些不交的实心环体一致大概思想如图所示图图三维流形不变量的表示容易由标架环链画出一个二维环链图在平面内将平环看作每个分支加宽平环中多余的扭转可以对应图中多余的结图就是图所示标架环链的一个环链图因此一个二维环链图可以表示三维流形三维流形可以看作在中沿标架环链做手术得剑的当然在∥中对标架环链进行等价变换不改变三维流形所以对应于环链图在正则同痕等价关系下使得所表示的三维流形不变我们称保持五Ⅱ两种变换的关系为正则同痕如图幽定理介绍了中环链类上的等价类“”其中厶厶当且仅当气和岛定向地微分同胚进一步凡即”’指出这种等价关系由同痕和下面两种变换墨和置生成丘变换是对于标架环链加上一个不打结分支石∞丘其中国足称为环链的拧数定义为环链两边界分支的环链数同时使得经过足的所有分支做了一次扭转变换是对于标架环链三加上一个不打结分支芷珊一同时使得经过的所有分支做了一次一扭转所以要构造一个三维流形不变量只需找到关于标架环链的某个代数式使得它在对于标架环链进行同痕、髓和足变换时代数式不变而得到任何一个中的环链不变量若它保持。和变换则它也是三维流形不变量、、、√¨八三维流彤不变量的表示面分别介绍利川括号多项式、—代数、—模和线性束理论等给出了三维流形不变量的表示寻找三维流形不变量的基本工具是括号多项式它是一个函数定义如下。。中的不可定向环链图斗一一满足妒万其中矿是一个无交叉点的分支占一一一×中的三个图除了给出部分其它完全一样容易得到是一个正则同痕不变量与不交则用表示图中环链的括号多项式事实上图中的两个图是正则同痕的这样它们有相同的括号多项式图中曲线附近的整数表示在平面中这条曲线平行出现的次数吲若表示一个厅分支环链图…见为每个分支∈是一个函数…寸…图表示在平面中每个分支琅重复出现次的图若标架环链厶厂给定一个方向则它的每两个分支环绕数形成一个对称矩阵矩阵的对角线为每个分支厶的标架厂称这样得到的矩阵为环链矩阵盯和分别表示环链矩阵的符号差和零度引理】取是一个固定的整数≥万一一其中是第个复单位根三堆流形不变量的表示方程∑矗占。…一有唯一解凡丑…一设。中的标架环链厶做手术得到的表示厶的平面图则表达式彤∑■。钿・‰・是三维流形且乱的不变量其中∑丑霉介绍简单的线性束理论在中给出了更多的讨论考虑正方形中的弧和闭曲线这些弧的边界是分别在正方形左右两边上的个标准点第个一代数是由这样的图在上的缘生形式和模去下面的关系而生成的保持正方形边界的平面同痕其中是没有交义点的闭分支艿一一是任何一个图×一爿一中提到的三个图除了给出的部分其它完全一样在中元素是一个非负整数如图所示这样■作为一个代甄…。一是它的一组基并且由图之间的连接生成了■中元素的乘积日圄图三雏流形不变量的表示设表示平环中闭曲线的环链图的复向量空间模去上面的关系特别地中指的没有交叉点的闭分支是平环中零伦的分支中的乘积运算是将两个平环变形成—个平环使每个平环的一个边界分支粘在一起显然在∥中正则同痕图表示一个元素同样在■中也是这样∥是一个交换代数设∈∥表示只由一条环绕平环的战入曲线构成的图如图那么口”表示州条平行曲线环绕平环构成的图这样∥是多项式代数【与×相对应图设是一个有序分支环链平面图这些分支的管状邻域可以看作珂个分支环链图放入个标准平环中并将它们嵌入到平环同时保持上下交叉的结构然后计算它的括号这些操作诱导了一个定义明确的线性映射①∥×∥×…×斗图Ⅳ三堆流形不变量的表示引理是第个复单位根则存在唯一一个∈∥口口卜使得九’盯磊它们都是从∥到的映射假设三维流形是通过在分支标架环链三上做手术得到的表示的一个平面图则复数办㈡如刚和是的一个不变量当日∑肌反日寸量∥‘其等式当日∑肌农时∑爿矿‘等式九㈨九成立设是一个紧致的町定向的三维流形可能有边界中一个带状环链是一个可定向的子流形它同胚丁中一个平环×的不交并在同痕意义下一个带状环链与一个不定向环链平环的核一样同时伴随着个不定向环链的每个分支管状邻域边界上一条经线的选择这种带状环链与前面提到的标架环链相对应实际—匕这正是上做手术需要的取一表示关于一的罗朗多项式环定义—模是由中带状环链的合痕类集生成的出彳一一模模去下面的缸。跏口”关系而生成的㈩瓣鋈竹《⑨昆肛∥所以是紧致的可定向的三维流形范筹上的函子这些映射是保持定向的同痕类的嵌入给定一个带状环链它在中的值就是多项式记为上显然兰—对于一个二维曲面三维流形不变量的表示∑可能有界胛—口伽鲫模∑×是一个一一代数注意到对于实心环体××是一个交换代数设一条标准带∈××是××是一个真子区间则××爿一】令××因此一个分支实心环体不交并的一砌卿彻模是简单的重张量积“定义给定中一个疗分支带状环链变形括号出山删…是召“上的线性函数被定义如下选取一个从”个实心环体的不交并到的保持定向的嵌入使得所有标准带对应的分支则的变形括号是诱导映射。”斗兰爿一另外这个变形括号与嵌入的选取无关注意乱当是第个复单位根时变形括号是∥中的多线性形式。引理取一是第个复单位根带状环链三维流形是由在上做手术得到的定义三平一研满足≥其中对于所有的∈有‘可逆其中占±舭丽踪扣咄嘲是三维流形的不变量平环线性柬』是由一组基口。口盯…线性生成的向量空间其中口、、、¨∑Ⅻ三维流形不变量的表示是—个无交叉点的环绕平环的闭曲线如图这样一×与前面的∥一样它们都是多项式代数】幽幽取△。如图所示正方形中是中的元素取定中一元素则所示图构成一个环链图△。是这个环链图的括号多项式因此△。是一个复魏最口是以口为变量的第疗个协鱼声多项式满足瓯口墨口口最。口最口一最一将平环放在平面中则产生一㈣一使∥对应于∥则有墨口对应于△。这样△。一爿一爿△。一△。△。』掣定义对于给定的整数定义是一个行分支环链平面图由定义一个多线性映射与九一样…××××…×令以和∽表示标架为和一的平凡纽结的平面图引理设是在中通过标架环链做手术得到的一个闭的可定向盼三×∈、盯最△∑Ⅲ∞暇三维流形不变量的表示维流形表示的一个平面图以和分别是三的环链矩阵的正负特征值个数当≥时爿是第个复单位根或一是第个复单位根是奇数则有皑国…脚。∞≯国≯是三维流形的一个不变量§三维流形不变量间的联系至此我们已经介绍了一些三维流形不变量引理实际上这些三维流形不变量在某种意义上是相同的只不过考虑的角度不同得到的不变量形式不同定理一取是—个固定的整数≥占一。一其中是第个复单位根。是由∥中的标架环链三做手术得到的表示厶的平面图面四个命题是相互等价的若方程∑丑万…有唯—解矗丑…一一则表达式丁∑‰‰・・‰∈。是三维流形的不变量其中芷∑五霉引理若存在唯一一个∥印。”口。口…口’则复数口”九刚棚【口一”∥是三维流形乱的不变最引理・定义・’亏对于所有的∈嚣有。≥满足、沁∑三维流形不变量的表示可逆其中±则表达式啪丽‰是三维流形的不变量引理若国∑△。∈则有峨吐…国。国芒国坛是三维流形的不变虽引理在引理中∈肛口。口口・又由九吼丸有屯。破其中…一一即九。∑丑∥口’破∥即∑丑如’得∑一一∥破’因此由命题中的条件可以得到命题中的条件反之也成立旃。】口九曼缸芝丑舜∥∑丑机】口¨∑纠∑丑机∥∑丑办口∑厶。五・・氐。九口印’“”∈《”。。赢、坼‘。‰舢口丑∑Ⅲ有、、●●●口丑∑Ⅲ口丑∑Ⅻ口∑Ⅻ●●●●九、■口证明曹由引理知对于所有的∈。口…口’有丸】仉破即对于所有的有口取。可逆则有即这样当时得到条什和可逆同理可得。。啊和可逆冈此由命题中的条件可得到命题中的条件反之也成立九叩…。九一。‘”阱九∥…’∥一。力叫。。“有力¨口‘以办盘”一一‘一。‘—‘一∞。一。一铬盯上一上上一上证明铮∑∑。最口珊三雏流形不变量的表示§基础矩阵和不变量表示中口和引理中。的新的表示对丁一个整数”≥。是以为变量的第挖个多项式引理。一“。一—而一∥.