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梦想天生
- 坂上中微子
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Planck11
本帖延续的是http://tieba.baidu.com/p/1781001921，不照抄科普书上那些看了更容易心生幻想的结论，真正的普及一些数理概念。另外，一些概念不再赘述，有不明白的概念请去上一贴查阅。
数学之于物理，就好像是金钱之于生活。有道是Money is not everything, but without money everything is nothing——钱不是万能的，但没钱是万万不能的。看物理最痛苦的事是什么？答曰：学了一堆高深复杂的数学就是用不好。看物理最最痛苦的事是什么？答曰，物理概念看了一大堆，但却不会数学！
数学之于物理，就好像是金钱之于生活。有道是Money is not everything, but without money everything is nothing——钱不是万能的，但没钱是万万不能的。看物理最痛苦的事是什么？答曰：学了一堆高深复杂的数学就是用不好。看物理最最痛苦的事是什么？答曰，物理概念看了一大堆，但却不会数学！
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梦想天生
- 坂上中微子
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Planck11
群论在物理系中属于研究生课程，所以不少人对它望而生畏，一见到群啊变换啊什么的就右上角叉号了。实际上，还是上帖中那句话，这根本不是什么洪水猛兽。
就算是研究生教材，也会上来告诉你这么一句话：群就是对称性。什么是对称？这个我可以说，十有八九的人处于这样一个状态：知道是怎么回事，但要你给个在数学上能称之为严谨准确的定义，你给不出来。
所以，有必要先照搬教材上的一句话：数学上的对称，就是在某个变换下保持不变的性质。看到这句你又要问了，什么叫“某个变换下保持不变”？这个我举个人文中的例子讲给你听。我们伟大的XX建设有一个内容是依法治国，依法治国有一条要求叫做“法律面前，人人平等”，这你总熟悉吧？这其实就是一个在变换下保持不变的实例。把一个18岁中国公民换成另一个18岁中国公民，中国法律的适用性是不变的，你故意杀人要判死刑，他故意杀人一样要判死刑，这就是在法律适用在个体变换下的不变性。在学术讨论领域，你在某个领域不懂瞎说八道会被鄙视，大牛对他不懂的东西胡说八道也会被鄙视，这也是学术交流中的道德规范在对人进行变换时保持不变性。
所谓对称性，你明白了吧？但不同的事物，其对称性是不一样的。一个球体，左右翻转，上下对调，绕着球心转一转，全都与原来的形态相同。而一个立方体就差些了，它只能在某些特定方向上翻转特定角度，否则就会“歪斜”而与原来的形态不再相同。歪瓜裂枣比立方体更惨，不规则形状的东西，基本上是经不起变换的，一转一翻都会改变形态。我们说，不同的事物，其对称性是不一样的，之所以说歪瓜裂枣的形状“不规则”，原因也正是对称性差。
对称性的概念有了，群的概念也就水到渠成了。群就是对某个对象描述“它是怎么个对称法”的东东，某个对象的群，就是能使这个对象保持原样的变换操作的汇总，数学上描述为一个集盒（集盒这概念我不解释了，这个再不懂可就说不过去了）。一个球体，左右翻转操作，上下对调操作，任意旋转操作，……所有的操作放在一起就是这个球体的群（顺带一提在数学上这叫做O(3)群，这个名称你可以死记），一个立方体，左右翻转，上下对调，绕特定轴转90度，等等，一共有48个操作可以使立方体保持原样（这里可以考考你：请试着找出全部48个操作），这些操作放在一起就是立方体的群（称为O_h点群）。
歪瓜裂枣有没有这种操作呢？你也许觉得没有，但是注意，有！有一种操作叫做恒等操作，说白了就是不动，这也是一种操作，歪瓜裂枣在这种操作下当然会保持原样，但也仅此一种，这个操作也构成一个群，一个最简单的只有一个元素的群，上面提到的球啊立方体啊，其对称性同样要包括这个操作。
包括法律问题，也可以找到相应的群，上面说到，把一个18岁公民换成另一个18岁公民，法律的适用性不变，所以现在在所有生日在1994年8月11日之前的中国公民之间作变换，全都是法律适用群中的元素，这个群就是个很大的群了，但不要误认为中国所有的成年公民的数量就是元素数！你若学过排列组合，你可以自己计算一下元素的个数，若没学过，你也可以自己想想究竟有多少“把一个人变换成另一个人”的变换，这个问题其实不难想。
这里还可以顺便吐槽，人群人群，是不是就这么来的呢？所谓“人群”难道就指的是某些人对某类特征或规则普遍适用的么？若真如此，群论简直就是个小儿科的玩意了
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梦想天生
- 坂上中微子
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下面要讲的就是物理学中所谓的“对称”。人人平等是在人格尊严和权利义务等方面的对称，翻转旋转等是几何学上的对称。物理学中的“对称”也不是随随便便就对称的，它要有所指有所归。
那么物理学中的对称，要求的是什么东西在变换下保持不变呢？还记得上一讲中说的是什么吗，就是作用量。
作用量在某些变换下保持不变，这就是物理学中的对称性。一个系统可以具有几何学上的对称（比如旋转后依然保持原样），可以具有交换性的对称（比如把你换成他，法律同样适用），但这些对称性本身都不是物理性的对称。如果要转化物理性的对称，那么就必须通过作用量来评判，也就是说，作用量通过这些变换会保持不变，对称性才可以称之为物理的。
例如，同一个物理过程，从北京挪到伦敦，从伦敦再挪到里约热内卢，作用量是不变的，这就是空间平移对称；从上一届奥运会挪到下一届奥运会，也是不变的，这是时间平移对称；换个方向进行，依然不变，这是空间旋转对称；逆过来进行，照样不变，这是时间和空间“反演”下的对称。另外，还有一种很有趣的对称：你把负电荷当成正电荷而把正电荷当负电荷，作用量依然不变，这是正负电荷变换下的对称，是物质-反物质相互调换下的不变性的一个部分。
经典物理中普遍的对称性，基本上也就是这些。如果是量子物理，还会出现一种对称性，那就是全同粒子交换下的对称——这个怎么理解？很好理解，法律面前人人平等，就是把所有人当成全同的，谁的权利义务都一样，无论人和人怎么交换身份地位之类的属性，都不影响法律的运作。
还有一些并非普适的对称性，常常用于具体问题当中。例如一个物理系统在几何上是左右对称，如果右边发生了某一个过程，我问你，左边有没有相应的过程？那肯定也是有的。对称导致对称，这是一条很著名的科学原理，是科学女杰居里夫人她那英年早逝的丈夫皮埃尔·居里提出来的。这个原理告诉你，上帝的确是公平的，相同的条件就会导致相同的结果，如果你与一些人一样愿意静下心来读书思考推敲，那么你也会获得和他们一样的知识水准。如果你与另一些人一样整天书不读几行就想着用自己一拍脑袋弄出来的几个概念推翻这个改造那个，你也会和他们一样沦为笑柄。
值得一提的是在这种思想下，我们可以看到相对论替代牛顿力学的必然性。牛顿力学的具体定律在参考系变换下是不变的，但作用量却会随着参考系改变，你可以用参考系变换把一个静物变换成匀速直线运动，然后比一比前后的作用量——显然不一样，这说明牛顿力学并不是一个完美的对称性理论，而改用相对论之后，这个问题就不复存在了。
那么物理学中的对称，要求的是什么东西在变换下保持不变呢？还记得上一讲中说的是什么吗，就是作用量。
作用量在某些变换下保持不变，这就是物理学中的对称性。一个系统可以具有几何学上的对称（比如旋转后依然保持原样），可以具有交换性的对称（比如把你换成他，法律同样适用），但这些对称性本身都不是物理性的对称。如果要转化物理性的对称，那么就必须通过作用量来评判，也就是说，作用量通过这些变换会保持不变，对称性才可以称之为物理的。
例如，同一个物理过程，从北京挪到伦敦，从伦敦再挪到里约热内卢，作用量是不变的，这就是空间平移对称；从上一届奥运会挪到下一届奥运会，也是不变的，这是时间平移对称；换个方向进行，依然不变，这是空间旋转对称；逆过来进行，照样不变，这是时间和空间“反演”下的对称。另外，还有一种很有趣的对称：你把负电荷当成正电荷而把正电荷当负电荷，作用量依然不变，这是正负电荷变换下的对称，是物质-反物质相互调换下的不变性的一个部分。
经典物理中普遍的对称性，基本上也就是这些。如果是量子物理，还会出现一种对称性，那就是全同粒子交换下的对称——这个怎么理解？很好理解，法律面前人人平等，就是把所有人当成全同的，谁的权利义务都一样，无论人和人怎么交换身份地位之类的属性，都不影响法律的运作。
还有一些并非普适的对称性，常常用于具体问题当中。例如一个物理系统在几何上是左右对称，如果右边发生了某一个过程，我问你，左边有没有相应的过程？那肯定也是有的。对称导致对称，这是一条很著名的科学原理，是科学女杰居里夫人她那英年早逝的丈夫皮埃尔·居里提出来的。这个原理告诉你，上帝的确是公平的，相同的条件就会导致相同的结果，如果你与一些人一样愿意静下心来读书思考推敲，那么你也会获得和他们一样的知识水准。如果你与另一些人一样整天书不读几行就想着用自己一拍脑袋弄出来的几个概念推翻这个改造那个，你也会和他们一样沦为笑柄。
值得一提的是在这种思想下，我们可以看到相对论替代牛顿力学的必然性。牛顿力学的具体定律在参考系变换下是不变的，但作用量却会随着参考系改变，你可以用参考系变换把一个静物变换成匀速直线运动，然后比一比前后的作用量——显然不一样，这说明牛顿力学并不是一个完美的对称性理论，而改用相对论之后，这个问题就不复存在了。
其实讲了这两帖，再讲讲场φ: R^4→R^n
及其作用量，就可以讲各种R^n上的对称，时空上的对称，以及超对称了。
这是Georgi的Weak Interaction的讲法，先把对称性在经典理论里面都讲掉。
这是Georgi的Weak Interaction的讲法，先把对称性在经典理论里面都讲掉。
架子倒不小。要是你文中没问题，我提这干嘛。你自己48个码出来，数数有几个恒等元看看。
你还是在后面给出答案吧。。
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