数量级物理学的故事（7）：Taylor的“秘密武器”（2）
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作为例子，我们用Π-定理再来研究一个与Taylor有关的著名物理问题：Rayleigh-Taylor不稳定性。
这是流体力学的一个基本问题，至今在核爆和惯性约束聚变过程中仍有重要应用。磁约束聚变里非常重要的压强驱动的磁流体不稳定性（交换模和气球模）本质上也是Rayleigh-Taylor不稳定性。
这个问题简单说来就是把一种重流体放到另一种轻流体上面，中间形成一个水平界面。力学上来说这是一种平衡状态：界面上重流体对界面的压力与轻流体对界面的“浮力”（向上的压力）相等。但是这种平衡是极其不稳定的——只要在界面上有任何扰动，上面的重流体都会与下面的轻流体“交换”位置。所以这种不稳定性也被称为“交换”不稳定性。问题是：这种不稳定性在特定的（比如波长为L，或者波数为k=2p/L）扰动下会如何增长？
我们尝试用Π-定理来估算一下不稳定性的增长率（具有时间倒数的量纲）。
问题里我们知道的物理量是：上面流体的质量密度 r1，下面流体的质量密度 r2，重力加速度g，和扰动波数k；我们要求的物理量是扰动的增长率G。一共5个。
单位制需要3个基本物理量，显然可以有两个无量纲参数。
我们想求出的物理量G的量纲可以用g和k表示，而与质量密度无关，即可以得到：
p1=G/(gk)1/2，或 G=p1(gk)1/2；
以及（考虑还没有使用的另两个物理量）
p2= r1/ r2 ≡l；
由F(p1, p2)=0，即p1=F(p2)=F(l)，可以得到不稳定性的增长率
G=p1(gk)1/2=F(l)(gk)1/2 。
而Rayleigh-Taylor不稳定性理论给出的严格结果是：
G=(Agk)1/2，
其中所谓Atwood数A=(l-1)/(l+1)确实只是无量纲数l的函数，即上式中F(l)=A1/2。（这显然也是一个~O(1)的无量纲参数！）
神吧？！
如果重流体在下面，l<1，A<0，G=iw是一个虚数，w成为扰动的频率：一个表面波就在这个界面上传播起来。如果上面的流体是大气，下面的流体是水，我们得到A=-1，w=(gk)1/2——这就是“深水波”（deep water wave）的色散关系。显然深水波是有色散的，其群速度只是相速度的1/2。
如果是“浅水波”（shallow water wave），则应该与水的深度h有关——多了一个物理量，就多了一个无量纲参数（在这里显然是p2=kh）。根据白金汉Π-定理，可以得到浅水波色散关系
w=p1 (gk)1/2=F(p2) (gk)1/2。
而理论推导得到的色散关系是
w = (p2gk)1/2=k (gh)1/2 （即F(p2)= (p2)1/2）！
这个波是无色散的：即群速度=相速度（=(gh)1/2）。
一种重流体放到另一种轻流体上面，中间形成一个水平界面。力学上来说这是一种平衡状态：界面上重流体对界面的压力与轻流体对界面的“浮力”（向上的压力）相等。但是这种平衡是极其不稳定的——只要在界面上有任何扰动，上面的重流体都会与下面的轻流体“交换”位置。所以这种不稳定性也被称为“交换”不稳定性。问题是：这种不稳定性Rayleigh-Taylor不稳定性？
我们尝试用Π-定理来估算一下不稳定性的增长率（具有时间倒数的量纲）。
问题里我们知道的物理量是：上面流体的质量密度 r1，下面流体的质量密度 r2，重力加速度g，和扰动波数k；我们要求的物理量是扰动的增长率G。一共5个。
单位制需要3个基本物理量，显然可以有两个无量纲参数。
我们想求出的物理量G的量纲可以用g和k表示，而与质量密度无关，即可以得到：
p1=G/(gk)1/2，或 G=p1(gk)1/2；
以及（考虑还没有使用的另两个物理量）
p2= r1/ r2 ≡l；
由F(p1, p2)=0，即p1=F(p2)=F(l)，可以得到不稳定性的增长率
G=p1(gk)1/2=F(l)(gk)1/2 。
而Rayleigh-Taylor不稳定性理论给出的严格结果是：
G=(Agk)1/2，
其中所谓Atwood数A=(l-1)/(l+1)确实只是无量纲数l的函数，即上式中F(l)=A1/2。（这显然也是一个~O(1)的无量纲参数！）
神吧？！
如果重流体在下面，l<1，A<0，G=iw是一个虚数，w成为扰动的频率：一个表面波就在这个界面上传播起来。如果上面的流体是大气，下面的流体是水，我们得到A=-1，w=(gk)1/2——这就是“深水波”（deep water wave）的色散关系。显然深水波是有色散的，其群速度只是相速度的1/2。
如果是“浅水波”（shallow water wave），则应该与水的深度h有关——多了一个物理量，就多了一个无量纲参数（在这里显然是p2=kh）。根据白金汉Π-定理，可以得到浅水波色散关系
w=p1 (gk)1/2=F(p2) (gk)1/2。
而理论推导得到的色散关系是
w = (p2gk)1/2=k (gh)1/2 （即F(p2)= (p2)1/2）！
这个波是无色散的：即群速度=相速度（=(gh)1/2）。
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