矩陣與複數的類比

Posted on 03/04/2010by
本文的閱讀等級：高級
定義於複數域的 n 階方陣代表 \mathbb{C}^n 空間中的一個線性變換。除了少數特殊矩陣，如主對角矩陣、投影矩陣、旋轉矩陣，和反射矩陣等，學者經常無法清楚地掌握矩陣變換的確實行為，主要原因是人們很難想像高維度（n>3）向量空間，遑論向量在這些空間中的變換。欲洞察任意方陣的映射行為雖非易事，但也不是全然無跡可循，本文介紹一個認識矩陣行為的方法——透過矩陣與複數的類比來區分界定重要的特殊方陣。（對複矩陣陌生的讀者，請先閱讀背景文章 “從實數域到複數域”。）


複數域 \mathbb{C} 和複向量空間 \mathbb{C}^n 擁有許多相同的代數性質，例如，二者都有加法、乘法，運算規則，以及定義良好的加法單位元素 0 和乘法單位元素 1（\mathbb{C}^n 空間則為零矩陣 0 和單位矩陣 I），還有一項稱為共軛轉置。設 z\in\mathbb{C}，A=[a_{ij}] 為 n 階複數方陣，z 和 A 滿足下面這個性質： \overline{\overline{z}}=z 和 (A^{\ast})^{\ast}=A，其中 A^{\ast}=\overline{A}^T，也就是 (A^{\ast})_{ij}=\overline{a_{ji}}。以複矩陣的共軛轉置（A\rightarrow A^{\ast}）與複數的共軛（z\rightarrow\overline{z}）類比，可以很容易明瞭複數方陣及其代表的線性變換具有何種作為與性質。（注意，純量的轉置即為其自身，z^{T}=z。）複數平面上最重要的幾個子集合包括：實數集、純虛數集、正實數集，和單位長複數所形成的集合，我們將分別討論對應這四個子集合的矩陣型態。

複數 z 必須滿足什麼條件方為實數？答案是 z=\overline{z}。仿照這個概念可以定義「若 A=A^{\ast}，則方陣 A 是實的（real）。」不過沒有人會說「方陣是實的」，數學家稱它為“自伴”（self-adjoint）。自伴一詞不常出現在普通線性代數教科書裡；對於實矩陣，自伴其實就是我們熟悉的對稱（symmetric），複矩陣則叫做 Hermitian。以下我們提到 Hermitian，讀者就應將它與實數聯想在一起，這能幫助我們記得 Hermitian 矩陣的一些性質。譬如，若 A 和 B 是 Hermitian 矩陣，則 A+B 也是 Hermitian；若 A 是 Hermitian，則 cA 也是Hermitian，但條件是純量 c 為實數；若可逆矩陣 A 是 Hermitian，A^{-1} 也是 Hermitian。那麼兩 Hermitian 矩陣的乘積是否仍為 Hermitian？不對。矩陣乘法是延伸代數法則時最常出錯的地方，正確的敘述應為：
若 A 和 B 是 Hermitian，則 AB 或 BA 為 Hermitian 的充要條件是 A 和 B 是可交換矩陣，即 AB=BA。
證明如下：若 AB=BA，則 (AB)^{\ast}=B^{\ast}A^{\ast}=BA=AB。若 (AB)^{\ast}=AB，則 AB=(AB)^{\ast}=B^{\ast}A^{\ast}=BA。

複數 z 為純虛數的條件為何？答案是 \overline{z}=-z。當然我們可以設想矩陣也有類似的陳述：「若 A^{\ast}=-A，則方陣 A 是純虛的（imaginary）。」數學家稱此性質為 skew，意思是“偏斜”，實矩陣和複矩陣的對應名稱分別是反對稱（或斜對稱）和 skew-Hermitian。既然任意複數 z 可表示為 z=a+bi (i=\sqrt{-1})，其中 a，b 為實數，很自然地，我們不免好奇：任意方陣是否可分解為 A=B+C，其中 B 是 Hermitian，B^{\ast}=B，而 C 是 skew-Hermitian，C^{\ast}=-C？或分解為 A=B+Di，其中 B 和 D 都是 Hermitian 矩陣？考慮
B=\displaystyle\frac{1}{2}(A+A^{\ast})
C=\displaystyle\frac{1}{2}(A-A^{\ast})
則 B^{\ast}=(A^{\ast}+A)/2=B 且 C^{\ast}=(A^{\ast}-A)/2=-C。令 D=C/i=(A-A^{\ast})/(2i)，則 D^{\ast}=(A^{\ast}-A)/(-2i)=D。這說明任意方陣都可以分解為 Hermitian 矩陣（對應複數的實部）與 skew-Hermitian 矩陣（對應複數的虛部）之和。

複數 z 為正實數的條件是什麼？z>0 的條件是 z 可以表示為 z=w^2，w 為非零實數，或 z 可表為 z=\overline{y}{y}，y 為非零複數。“特殊矩陣（九）：Hermitian 矩陣”曾經介紹：若 A 是 Hermitian，對於任意向量 \mathbf{x}，\mathbf{x}^{\ast}A\mathbf{x} 是實數。利用此性質再加上前述兩個複數為正實數的條件，我們也可以想像「方陣 A 是正的（positive）」，如果以下任一條件成立：
(1) A=B^2，B 為可逆 Hermitian 矩陣。
(2) A=C^{\ast}C，C 為可逆矩陣。
(3) A 為 Hermitian，且對於任意非零向量 \mathbf{x}， \mathbf{x}^{\ast}A\mathbf{x}>0。
數學家最後選擇了條件 (3) 當作定義並稱它為正定（positive definite）。（正定矩陣的詳細討論請見“正定矩陣的性質與判別方法”。）事實上，上述三個條件是等價的，下面證明 (1)→(2)→(3)→(1)。若 A=B^2 且 B=B^{\ast}，則 A=BB=B^{\ast}B。若 A=C^{\ast}C，則 A^{\ast}=C^{\ast}C=A，而 \mathbf{x}^{\ast}A\mathbf{x}=\mathbf{x}^{\ast}C^{\ast}C\mathbf{x}=(C\mathbf{x})^{\ast}(C\mathbf{x})=\Vert C\mathbf{x}\Vert^2>0，因 C 為可逆且 \mathbf{x}\neq\mathbf{0}。若 (3) 成立，A 的零空間僅有 \mathbf{0}，故 A 是可逆的；設 A 的奇異值分解為 A=U\Sigma V^{\ast}，\Sigma=\mbox{diag}(\sigma_1,\ldots,\sigma_n)，\sigma_i>0 (i=1,\ldots,n)，U^{\ast}=U^{-1} 和 V^{\ast}=V^{-1}，則 A^{\ast}=V\Sigma U^{\ast}，由 A=A^{\ast} 得知 U=V。令 \sqrt{\Sigma}=\mbox{diag}(\sqrt{\sigma_1},\ldots,\sqrt{\sigma_n})，就有
\begin{aligned} A&=U\Sigma U^{\ast}\\ &=U(\sqrt{\Sigma})^2U^{\ast}\\ &=U\sqrt{\Sigma}U^{\ast}U\sqrt{\Sigma}U^{\ast}\\ &=(U\sqrt{\Sigma}U^{\ast})^2=B^2\end{aligned}
很明顯，B=U\sqrt{\Sigma}U^{\ast} 是 Hermitian。

複數 z 的長度為 1 的條件是什麼？答案是 \overline{z}=1/z。同樣地，如果方陣 U 滿足 U^{\ast}=U^{-1}，也就有 UU^{\ast}=U^{\ast}U=I，此式可以解讀為「長度等於 1 的矩陣」。若 U 為實矩陣，稱為正交（orthogonal）矩陣；若 U 為複矩陣，則稱為么正矩陣或酉矩陣（unitary）。類似單位長度的複數，\vert z\vert=1，么正矩陣也有三個等價的性質（見“特殊矩陣(三)：么正矩陣(酉矩陣)”）：
(1) U^{\ast}U=I
(2) 對於任意 \mathbf{x} 和 \mathbf{y}，(U\mathbf{x})^{\ast}(U\mathbf{y})=\mathbf{x}^{\ast}\mathbf{y}。
(3) 對於任意 \mathbf{x}，\Vert U\mathbf{x}\Vert=\Vert\mathbf{x}\Vert。
也就是說，么正矩陣所執行的線性變換不改變兩向量間的夾角，也不會改變向量長度。兩么正矩陣乘積亦為么正矩陣，么正矩陣的逆矩陣也為么正矩陣，這與複數性質相同。設 U^{\ast}=U^{-1}，V^{\ast}=V^{-1}，則 (UV)^{\ast}=V^{\ast}U^{\ast}=V^{-1}U^{-1}=(UV)^{-1}，(U^{-1})^{\ast}=(U^{\ast})^{\ast}=U。

最後一個問題：複數可以用極座標表示為 z=r e^{i\theta}，r\ge 0，\vert e^{i\theta}\vert=1，那麼複矩陣是否也有對應的形式呢？有的，它稱為極分解（polar decomposition），形式如 A=SU（詳見“極分解”），S 是半正定矩陣，U 是么正矩陣；S 對應複數的長度 r，U 對應單位圓上的旋轉量 e^{i\theta}。極分解可由奇異值分解推導而得。設 A 的奇異值分解為 A=W\Sigma V^{\ast}，主對角矩陣 \Sigma 的主對角元皆不小於零，故 \Sigma 為半正定，且 W^{\ast}=W^{-1}，V^{\ast}=V^{-1}，所以
A=(W\Sigma W^{\ast})(WV^{\ast})=SU
其中 S=W\Sigma W^{\ast} 是 Hermitian 半正定，因 \mathbf{x}^{\ast}W\Sigma W^{\ast}\mathbf{x}=(W^{\ast}\mathbf{x})^{\ast}\Sigma(W^{\ast}\mathbf{x})\ge 0，而 U=WV^{\ast} 亦為么正矩陣。補充一點，極分解也可表示為 A=US^{\prime}，不難驗證 S^{\prime}=V\Sigma V^{\ast}。

在複數平面上，與複數 z=re^{i\theta} 相乘的意義是將長度拉伸 r 倍並旋轉 \theta 弧度。在向量空間 \mathbb{C}^n 中，極分解 A=SU 將線性變換 A 分解成拉伸 S 和旋轉 U 二部分。反過來說，從極分解也能推演出前述各個集合，做法仍是將極分解與複數極座標聯想在一起。
(1) z 為實數的條件是 e^{i\theta}=e^{-i\theta}。若 U=U^{\ast}，U 是 Hermitian，因為 S 也是 Hermitian，前面曾經說明 A^{\ast}=A 要成立必須滿足乘法交換律 SU=US。
(2) z 是純虛數的條件是 e^{-i\theta}=-e^{i\theta}。若 U^{\ast}=-U，U 是 skew-Hermitian，因為 S 是 Hermitian，A^{\ast}=(SU)^{\ast}=U^{\ast}S^{\ast}=-US，故 A^{\ast}=-A 的條件還要加上 SU=US。
(3) z 為正實數的條件是 \theta=0，即 e^{i\theta}=1。類比陳述 A 為半正定的條件是 U=WV^{\ast}=I，故 W=V，所以得到 A=V\Sigma V^{\ast}，我們說 A 是可酉對角化（unitarily diagonalizable），主對角奇異值矩陣 \Sigma 包含大於或等於零的主對角元。
(4) z 為單位長的條件是 r=1，因此 A 為么正矩陣的條件是 S=W\Sigma W^{\ast}=I，或 \Sigma=W^{\ast}SW=I，這說明了 A 的所有奇異值為 1（但 A 的特徵值未必為 1）。

不止矩陣可以和複數類比，矩陣的特徵值根本就與所類比的複數擁有相同的性質。Hermitian 矩陣的特徵值為實數（“特殊矩陣 (九)：Hermitian 矩陣”），skew-Hermitian 矩陣的特徵值為純虛數（“特殊矩陣 (二)：正規矩陣”），正定矩陣的特徵值為正實數（“特殊矩陣 (六)：正定矩陣”），么正矩陣的特徵值其絕對值為 1（“特殊矩陣 (三)：么正矩陣(酉矩陣)”）。

最後我將矩陣與複數的類比整理如下（見下表）：
■ Hermitian 矩陣 A^{\ast}=A 對應實數 \overline{z}=z；
■ Skew-Hermitian 矩陣 A^{\ast}=-A 對應純虛數 \overline{z}=-z；
■ 正定矩陣對應正實數 z>0；
■ 么正矩陣 U^{\ast}=U^{-1} 對應長度為 1 的複數 \overline{z}=1/z；
■ 極分解 A=SU 對應複數的極座標表示 z=re^{i\theta}，半正定矩陣 S 對應長度 \vert z\vert=r，么正矩陣 U 對應旋轉 e^{i\theta}。
複數與矩陣的類比表
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15 則回應給 矩陣與複數的類比

  1. Watt Lin 說:
    03/04/2010 at 8:41 下午
    老師：
    建議您把最後一段 “矩陣與複數的類比" 整理
    改用 “表格" 方式來呈現，
    可以讓讀者觀念更清晰。
    謝謝！
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  2. ccjou 說:
    03/05/2010 at 8:52 上午
    謝謝建議，已放上類比整理表，只是解析度不佳。
    回覆
  3. Watt Lin 說:
    03/06/2010 at 9:21 上午
    建議老師把表格 Transpose
    複數、矩陣：在第一列
    實數、Hermitian：第二列
    純虛數、skew-Hermitian：第三列
    正實數、正定：第四列
    單位長、酉unitary：第五列
    表格只有兩欄，字級可加大，會看得更清楚！
    回覆
  4. kevin 說:
    03/06/2010 at 8:34 下午
    老師你好，因為我明年就要考試了，所以想找一些清大 交大用的現性代數的原文書，能不能請老師跟我說一下書名呢??
    謝謝!!!!
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  5. Watt Lin 說:
    03/06/2010 at 8:58 下午
    今天上午，用辦公室的電腦 (螢幕解析度800 x 600 ，也有切換到 1024 x 768測試)， Windows環境 以 Microsoft IE 6.0 瀏覽，表格很奇怪，而且等號看起來變成減號，中文字不清楚。
    回家用自己的Mac瀏覽，使用FireFox 3.6，表格看起來正常，等號及中文字也很清楚。
    老師若考慮在不同作業系統、不同瀏覽軟體皆能良好呈現表格，
    大概需要事先把表格的size縮小，這樣才不會在低解析度環境下，圖形被自動再縮小一次而影響解析度。
    今天上午建議表格Transpose是一種方法，也許老師會有更好的方法來呈現。
    回覆
  6. ccjou 說:
    03/07/2010 at 10:17 上午
    To Kevin,
    以下是目前各學校使用的教科書，各班可能採用不同教科書。
    Gilbert Strang, Introduction to linear algebra, 4th ed., Wellesley-Cambridge Press, 2009.(交大電機，清大電機)
    Howard Anton, Elementary Linear Algebra, 9th ed., John Wiley & Sons, Inc, 2005.(交大電機)
    Spence, Insel, and Friedberg, Elementary Linear Algebra, 2nd ed., Pearson Education, 2008. (交大電機資訊學士班，台大電機系)
    Friedberg, Insel, and Spence, Linear Algebra, 4th Ed, Prentice Hall, 2003.(清大電機系)
    回覆
  7. ccjou 說:
    03/07/2010 at 10:22 上午
    我在 Windows 環境以三種瀏覽器開啟本頁，結果是
    google 及 ie8 —> 很清楚
    firebox —> 不佳，字體破碎
    你建議的方法我會再試試，謝謝。
    回覆
  8. 訪客 說:
    03/08/2010 at 1:25 下午
    我在Windows環境又測試，FireFox顯示正常，不會破碎。
    但是ie6會有字體破碎之現象，等號變成減號。
    回覆
  9. ccjou 說:
    03/08/2010 at 2:33 下午
    我採用了Watt Lin 的建議：從小畫家讀入原圖PDF檔，長寬縮小後另存圖檔，再將此圖貼上（不再縮小），結果如上。從我的電腦看起來還算清晰，如果讀者仍看見破碎字體請留言告訴我。
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  10. Watt Lin 說:
    03/08/2010 at 4:51 下午
    現在用ie6來看，可以正常顯示了！
    謝謝老師！效率真好。
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  11. ccjou 說:
    03/10/2010 at 5:01 下午
    昨日突然發覺竟然忘記將矩陣最重要的性質「特徵值」放上來比較。
    我將各類型矩陣的特徵值性質補充於後，並加註引用來源，之前做好的表也跟著修改了。
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  12. Watt Lin 說:
    03/10/2010 at 7:09 下午
    「特徵值」放進來，
    這樣，愈看愈有趣了！
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  13. lisp21 說:
    08/03/2010 at 3:23 下午
    complex number 可同构为2dimensional Conformal linear transformation
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  14. ccjou 說:
    08/04/2010 at 8:43 上午
    complex number 可同构为2dimensional Conformal linear transformation
    是的。詳見’解讀複數特徵值’
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  15. GSX 說:
    09/12/2010 at 1:04 上午
    講這個的話應該可以提一下數值域(numerical range)，就可以完整的對到複數
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