相位不变性的若干讨论_百度文库
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关于Berry相位的评注--《大学物理》1995年12期
www.cnki.com.cn/.../CJFDTOTAL-DXWL512.000.ht... - 轉為繁體網頁由 李华钟 著作 - 1995
几何相位动力学相位局域描述整体描述Berry相位量子浸渐近似定律薛定谔方程相位因子量子几何相位纤维丛.
收稿日期:2004 - 12 - 24 ;修回日期:2005 - 09 - 27
作者简介:蒋永进(1975 —) ,男,浙江东阳人,浙江师范大学数理与信息科学学院副教授,博士,主要从事理论物理和凝聚态物理的教学和科
研
.
相位不变性的若干讨论
蒋永进
,周晓艳
(
浙江师范大学数理与信息科学学院,浙江金华 321004)
摘要
:考察了经典波动理论中的相位不变性,并且提出它作为物理学基本原理的直观依据———物理量的序列不变性. 序
列不变性是相对论原理的一个反映
. 从相位不变性出发,在给定时空变换关系下(伽利略变换和洛伦兹变换) ,得到波矢、频率
和描述波包
(类似于经典粒子) 运动的群速度的坐标变换公式. 另外,讨论了薛定谔方程、克莱因- 戈尔登方程的相位坐标变
换问题
. 对于薛定谔方程,我们认为量子力学中的复概率幅解放了经典波动情形下(波函数的实部具有独立物理意义) 必须满
足的相位不变性的约束
,从而扩展了物理学的疆域,使它成为非相对论量子力学的基础;对于克莱因- 戈尔登方程,它的解满
足相位不变性
,虽然对复波函数一般很难定义物理量序列的概念,但是对于克莱因- 戈尔登方程,我们认为它也隐藏了某种
序列不变性
,并且结合倪光炯教授的双组分(正反粒子成分) 观念给出了定义这种序列的一种可能性.
关键词
:相位不变性;经典波;量子波;序列不变性;薛定谔方程;克莱因- 戈尔登方程
中图分类号
:O 41311 文献标识码:A 文章编号:100020712 (2006) 0220030205
1
基本概念
在大学的物理课程中
,相位不变性并不是被强
调的概念
,甚至不是一个必然会提到的概念,通常是
在电动力学中的相对论部分在导出所谓的四维波矢
量时才会提到
[1 ] . 其主要内容是:对于一个经典的
波动
,在不同坐标系下看特定时空点的波动相位是
一个常数
. 理由是相位代表的只是一种对于波动周
期数的“客观的”计数
, 不应该随描述波动的时空坐
标系而变化
. 这样一个非常符合物理直觉的“相位不
变定律”被德布罗意认为是他一生中最基本的贡献
,
爱因斯坦也曾对此给予高度评价
. 不过,令笔者感到
困惑的是
,在科学史上,为什么直到德布罗意才提出
了这样一个定律
? 到1905 年,物理学家处理各种波
动问题已经至少有二三百年的历史了
, 而在爱因斯
坦提出相对论之后
, 物理现象的洛伦兹变换协变性
应该是理论描述的核心问题
,为什么过了20 年后直
到德布罗意时才提出了这么一个基本原理呢
? 不
过
,这段科学史问题不是笔者在本文中主要关心的
问题
.
在此
,我们首先对该原理背后的波动周期数的
计数这样一个概念作一下深入而细致的理解
. 什么
是波动周期的计数呢
? 任意两个点之间的周期数一
般是分数
,为什么这样一个分数也不能随坐标变换
而变化呢
? 而且, 我们在谈到两个点之间的周期数
时
,通常想像的是一维的坐标空间, 那么, 对于任意
时空维度中的波动呢
? 我们认为, 在考虑这样一个
问题的时候
,必须对时空坐标系之间的变换性质作
某些假定
. 结合伽利略变换和洛伦兹变换,我们首先
假定坐标变换是线性的
, 这样可以保证每一个时空
坐标系中时空的均匀性
, 即不存在一些区域和其他
区域有任何性质上的不同
(在这样的假定下,一个惯
性坐标系里的匀速运动在另一惯性坐标系里也是匀
速的
) . 另外,在这样的假定下,我们很容易得出如下
的性质
:一个惯性时空系中的一条曲线在任意惯性
时空系中都是一条曲线
,而且对应是单调的(即沿曲
线方向无交叉
) . 下面我们考察同一个波动在这样两
个坐标系下的相位对应
. 对于经典波动,相位对应于
某时某刻波动在该处的振幅
, 以及瞬时能量密度等
物理量
. 在一条任意的时空直线上,这些物理量连续
地变化
,对应于相位的连续变化. 这样, 我们就可以
通过这些物理量的数值连续地定义出一个序列
, 而
相位则是这个序列对应的函数值
. 注意物理量本身
可能是随不同的坐标描述发生变化的
, 但是该序列
———物理量
(不包括时空坐标本身) 之间的相对大小
关系是不变的
,这是相对性原理的要求. 比如沿着某
条直线亮度的变化序列
, 应该不依赖于坐标系的选
取
,从而该序列对应的函数———相位应该是不变的.
第
25 卷第2 期大 学 物 理Vol. 25 No. 2
2006
年2 月COLL EGE PHYSICS Feb. 2006
而且
,由于坐标变换的单值性和均匀性,不同惯性系
所描述的任意时空直线上的相位分布应该均匀地无
交叉地对应起来
.
2
对相位不变定律的讨论
本节我们讨论经典的波动在伽利略变换和洛伦
兹变换下的相位不变定律
,进而推导波矢、频率的变
换关系以及波包的速度变换关系
. 设惯性系Σ′相对
于静止惯性系Σ沿
x 轴正方向以速度v 运动,两者
之间的时空坐标变换关系满足伽利略变换
:
x
′
= x - vt
y
′
= y
z
′
= z
t
′
= t
(
1)
在Σ系中考虑波矢为
k 、频率为ω的平面波,在( r ,
t)
点的相位为(一般可以加一初相位常数,不影响讨
论
)
<
( r , t) = k·x - ωt
对应在Σ′系中
( r′, t′) 点的相位为
<
′( r′, t′) = k′·x′- ω′t′
由相位不变定律
,有<( r , t) = <′( r′, t′) ,即
k
xx
+ kyy + kz z - ωt = k′x x′+ k′yy′+ k′z z′- ω′t′(2)
结合坐标变换式
(1) ,并考虑式(2) 两边的系数相等,
得
:
k
′x
= kx
k
′y
= ky
k
′z
= kz
ω′
=ω- kx v
(
3)
对一般的速度方向
,上面第4 式可改写成
ω′
=ω- k·v
这就是波动理论中的多普勒效应
. 对式(3) 取微分得
d
ω′=
5
ω
5
kx
-
v d k′x +
5
ω
5
ky
d
k′y +
5
ω
5
kz
d
k′z (4)
对式
(3) 求偏导数即得波包运动速度的坐标变换关
系
:
5
ω′
5
k′x
=
5
ω
5
kx
-
v
5
ω′
5
k′y
=
5
ω
5
ky
5
ω′
5
k′z
=
5
ω
5
kz
(
5)
上式同样是粒子运动速度的伽利略变换关系
. 这体
现了满足相位不变定律的波包和经典粒子运动的时
空变换性质的相似性
.
下面我们再考虑时空坐标满足如下洛伦兹变换
的情形
(惯性系Σ′相对于静止惯性系Σ沿x 轴正方
向以速度
v 运动) :
x
′μ
= aμνxν (6)
式中
:
xμ = ( x , y , z ,i ct)
a
=
γ
0 0 iβγ
0 1 0 0
0 0 1 0
- i
βγ 0 0 γ
β
= v
c
γ
=
1
1 -
v2
c
2
同样
,比较式(2) 两边时空坐标的系数可得:
k
′x
=γ kx - v
c
2ω
k
′y
= ky
k
′z
= kz
ω′
=γ(ω- kx v)
(
7)
类似地
,对上式取微分得
d
ω′=γ
5
ω
5
kx
-
v dk′x +
5
ω
5
ky
d
k′y +
5
ω
5
kz
d
k′z (8)
首先根据式
(6) 有:
d
ky = d k′y
d
kz = d k′z
再根据式
(7) 的反变换式可得
d
kx =γ d k′y +
v
c
d
ω′
代入式
(8) ,再求导,即可得波包速度的洛伦兹变换
式
:
5
ω′
5
k′z
=
5
ω
5
kx
-
v
1 -
v
c
2
5
ω
5
kx
5
ω′
5
k′y
=
5
ω
5
ky
1 -
v2
c
2
1 -
v
c
2
5
ω
5
ky
5
ω′
5
k′z
=
5
ω
5
kz
1 -
v2
c
2
1 -
v
c
2
5
ω
5
kz
(
9)
在电动力学教材中
,一般不会讨论波包运动速
度的坐标变换
,而且一般也不讨论在伽利略时空观
第
2 期 蒋永进等:相位不变性的若干讨论 31
下的相位不变性原理
,比如在式(1) 中只讲到了洛伦
兹变换下的相位不变性
. 由于洛伦兹变换的正交性
质
6 aνμaμτ=δντ,而四维坐标( x , y , z , i ct ) 构成一
个洛伦兹矢量
,因此波矢和频率必须构成另外一个
洛伦兹矢量
,这样通过它和四维坐标点积得到的相
位形式满足洛伦兹不变性
. 在我们的推导中,把相位
不变性的要求应用于伽利略变换
, 同样可以得到正
确的波矢和频率的变换关系
. 有趣的是,伽利略变换
矩阵并不是正交的
, 因此并不存在正交变换意义上
的伽利略矢量
,从而相位不能写成矢量标积的形式.
另外
,更加具有启发意义的是,波包的运动速度和粒
子的速度变换公式一致
, 至少对于满足相位不变性
的机械波动是如此
. 在物理上,波包的运动代表了能
量或物质的输运速度
, 因此它和粒子的运动方式一
样并不奇怪
.
3
对薛定谔方程的伽利略协变性的讨论
现在我们开始讨论量子力学波函数的相位坐标
变换问题
. 薛定谔方程是描写非相对论粒子的量子
力学方程
,也是量子力学中广泛应用的方程. 首先我
们在惯性系Σ中写出该方程
:
i
Ü
5
5
t
ψ
( x , y , z , t)
= -
Ü
2
2
m Δ2 + V ( x , y , z) ψ( x , y , z , t)
(
10)
其中
V ( x , y , z ) 代表粒子所处的空间势场. 先利用
伽利略变换式把式
(10) 中的微分算符变为带撇的坐
标系中的微分算符
,即:
5
5
t′=
5
5
t
5
t
5
t′+
5
5
x
5
x
5
t′=
5
5
t
+
v
5
5
x
5
5
x′=
5
5
x
5
x
5
x′+
5
5
t
5
t
5
x′=
5
5
x
5
5
y′=
5
5
y
5
5
z′=
5
5
z
(
11)
可以证明
,当
ψ′
( x′, y′, z′, t′)
=ψ( x , y , z , t) e - i
Ü
S
( x , t)
(
12)
式中
S ( x , t) = mv x -
1
2
mv
2 t 时,ψ′( x′, y′, z′,
t
′)
满足在Σ′坐标系中与形式(10) 一样的薛定谔方
程
. 这就是薛定谔方程的伽利略协变性. 简单地代入
动量算符
^p
x
= - iÜ
5
5
x′= - iÜ
5
5
x
可以验证
,两个波函数的动量平均值满足
〈
ψ′| ^px | ψ′〉=〈ψ| ^px | ψ〉- mv (13)
这正对应于经典平均速度的变换式
. 需要指出的是,
在量子力学的正统解释中
,波函数ψ不是一个物理
量
,但它的模方对应于粒子的概率密度. 上面的推导
告诉我们
,在两个惯性系中看,波函数本身相差一个
相位
(局域规范变换) , 但是像粒子密度这样的物理
量并没有发生改变
. 这样, 我们得出一个结论, 即非
相对论粒子的量子波函数不满足相位不变性
! 那
么
,量子波和经典机械波的本质区别在哪里呢? 回
忆前面关于相位不变定律的讨论
. 我们认为机械波
蕴含了物理量的序列不变性
,这种不变性表明,连续
分布的物理量的相对大小不随坐标系而变化
. 需要
注意的是
,对于经典波动,只有波函数的实部真正起
物理作用
,并且可以直接由它写出一个满足序列不
变性的物理量序列
. 对于量子波我们首先需要强调
波函数是复数
,而作为量子概率幅出现的复数波函
数并没有什么体现相位全部信息的物理量的连续分
布可以与之直接对应
. 我
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