Saturday, January 26, 2013

相位不变性的若干讨论

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  4. [PDF]

    交流源作用下介观串联RLC电路系统量子态随时间的演化

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    由 刘清 著作 - 2006 - 相關文章
    个相位因子修正,波函数einn便能够满足含时薛定谔方程,相位因子在量子计算和量子信息领域中的研究. 与应用很重要。其中相位因子由下式确定. =. , 州i 柚,M .
  5. 关于Berry相位的评注--《大学物理》1995年12期

    www.cnki.com.cn/.../CJFDTOTAL-DXWL512.000.ht... - 轉為繁體網頁
    由 李华钟 著作 - 1995
    几何相位动力学相位局域描述整体描述Berry相位量子浸渐近似定律薛定谔方程相位因子量子几何相位纤维丛.
 

收稿日期:2004 - 12 - 24 ;修回日期:2005 - 09 - 27

 

作者简介:蒋永进(1975 ) ,,浙江东阳人,浙江师范大学数理与信息科学学院副教授,博士,主要从事理论物理和凝聚态物理的教学和科


.

相位不变性的若干讨论



蒋永进
,周晓艳

(

浙江师范大学数理与信息科学学院,浙江金华 321004)

  摘要


:考察了经典波动理论中的相位不变性,并且提出它作为物理学基本原理的直观依据———物理量的序列不变性.

列不变性是相对论原理的一个反映

. 从相位不变性出发,在给定时空变换关系下(伽利略变换和洛伦兹变换) ,得到波矢、频率

和描述波包

(类似于经典粒子) 运动的群速度的坐标变换公式. 另外,讨论了薛定谔方程、克莱因- 戈尔登方程的相位坐标变

换问题

. 对于薛定谔方程,我们认为量子力学中的复概率幅解放了经典波动情形下(波函数的实部具有独立物理意义) 必须满

足的相位不变性的约束

,从而扩展了物理学的疆域,使它成为非相对论量子力学的基础;对于克莱因- 戈尔登方程,它的解满

足相位不变性

,虽然对复波函数一般很难定义物理量序列的概念,但是对于克莱因- 戈尔登方程,我们认为它也隐藏了某种

序列不变性

,并且结合倪光炯教授的双组分(正反粒子成分) 观念给出了定义这种序列的一种可能性.

关键词


:相位不变性;经典波;量子波;序列不变性;薛定谔方程;克莱因- 戈尔登方程

中图分类号


:O 41311    文献标识码:A    文章编号:100020712 (2006) 0220030205

1

 基本概念

在大学的物理课程中

,相位不变性并不是被强

调的概念

,甚至不是一个必然会提到的概念,通常是

在电动力学中的相对论部分在导出所谓的四维波矢

量时才会提到

[1 ] . 其主要内容是:对于一个经典的

波动

,在不同坐标系下看特定时空点的波动相位是

一个常数

. 理由是相位代表的只是一种对于波动周

期数的“客观的”计数

, 不应该随描述波动的时空坐

标系而变化

. 这样一个非常符合物理直觉的“相位不

变定律”被德布罗意认为是他一生中最基本的贡献

,

爱因斯坦也曾对此给予高度评价

. 不过,令笔者感到

困惑的是

,在科学史上,为什么直到德布罗意才提出

了这样一个定律

? 1905 ,物理学家处理各种波

动问题已经至少有二三百年的历史了

, 而在爱因斯

坦提出相对论之后

, 物理现象的洛伦兹变换协变性

应该是理论描述的核心问题

,为什么过了20 年后直

到德布罗意时才提出了这么一个基本原理呢

?


,这段科学史问题不是笔者在本文中主要关心的

问题

.

在此

,我们首先对该原理背后的波动周期数的

计数这样一个概念作一下深入而细致的理解

. 什么

是波动周期的计数呢

? 任意两个点之间的周期数一

般是分数

,为什么这样一个分数也不能随坐标变换

而变化呢

? 而且, 我们在谈到两个点之间的周期数


,通常想像的是一维的坐标空间, 那么, 对于任意

时空维度中的波动呢

? 我们认为, 在考虑这样一个

问题的时候

,必须对时空坐标系之间的变换性质作

某些假定

. 结合伽利略变换和洛伦兹变换,我们首先

假定坐标变换是线性的

, 这样可以保证每一个时空

坐标系中时空的均匀性

, 即不存在一些区域和其他

区域有任何性质上的不同

(在这样的假定下,一个惯

性坐标系里的匀速运动在另一惯性坐标系里也是匀

速的

) . 另外,在这样的假定下,我们很容易得出如下

的性质

:一个惯性时空系中的一条曲线在任意惯性

时空系中都是一条曲线

,而且对应是单调的(即沿曲

线方向无交叉

) . 下面我们考察同一个波动在这样两

个坐标系下的相位对应

. 对于经典波动,相位对应于

某时某刻波动在该处的振幅

, 以及瞬时能量密度等

物理量

. 在一条任意的时空直线上,这些物理量连续

地变化

,对应于相位的连续变化. 这样, 我们就可以

通过这些物理量的数值连续地定义出一个序列

,

相位则是这个序列对应的函数值

. 注意物理量本身

可能是随不同的坐标描述发生变化的

, 但是该序列

———物理量

(不包括时空坐标本身) 之间的相对大小

关系是不变的

,这是相对性原理的要求. 比如沿着某

条直线亮度的变化序列

, 应该不依赖于坐标系的选


,从而该序列对应的函数———相位应该是不变的.


25 卷第2 期大 学 物 理Vol. 25 No. 2

2006

2 COLL EGE  PHYSICS Feb. 2006

而且

,由于坐标变换的单值性和均匀性,不同惯性系

所描述的任意时空直线上的相位分布应该均匀地无

交叉地对应起来

.

2

 对相位不变定律的讨论

本节我们讨论经典的波动在伽利略变换和洛伦

兹变换下的相位不变定律

,进而推导波矢、频率的变

换关系以及波包的速度变换关系

. 设惯性系Σ′相对

于静止惯性系Σ沿

x 轴正方向以速度v 运动,两者

之间的时空坐标变换关系满足伽利略变换

:

x

= x - vt

y

= y

z

= z

t

= t

(


1)

在Σ系中考虑波矢为

k 、频率为ω的平面波,( r ,

t)


点的相位为(一般可以加一初相位常数,不影响讨


)

<

( r , t) = k·x - ωt

对应在Σ′系中

( r, t) 点的相位为

<

( r, t) = k·x- ω′t

由相位不变定律

,<( r , t) = <( r, t) ,

k

xx
+ kyy + kz z - ωt = kx x+ kyy+ kz z- ω′t(2)

结合坐标变换式

(1) ,并考虑式(2) 两边的系数相等,


:

k

x
= kx

k

y
= ky

k

z
= kz

ω′


=ω- kx v

(


3)

对一般的速度方向

,上面第4 式可改写成

ω′


=ω- k·v

这就是波动理论中的多普勒效应

. 对式(3) 取微分得

d

ω′=

5

ω

5

kx

-

v d kx +

5

ω

5

ky

d

ky +

5

ω

5

kz

d

kz (4)

对式

(3) 求偏导数即得波包运动速度的坐标变换关


:

5

ω′

5

kx

=


5

ω

5

kx

-

v

5

ω′

5

ky

=


5

ω

5

ky

5

ω′

5

kz

=


5

ω

5

kz

(


5)

上式同样是粒子运动速度的伽利略变换关系

. 这体

现了满足相位不变定律的波包和经典粒子运动的时

空变换性质的相似性

.

下面我们再考虑时空坐标满足如下洛伦兹变换

的情形

(惯性系Σ′相对于静止惯性系Σ沿x 轴正方

向以速度

v 运动) :

x

μ
= aμνxν (6)

式中

:

  

xμ = ( x , y , z ,i ct)

a


=

γ


0 0 iβγ

0 1 0 0

0 0 1 0

- i

βγ 0 0 γ

β


= v

c


γ


=

1

1 -

v2

c


2

同样

,比较式(2) 两边时空坐标的系数可得:

k

x
=γ kx - v

c


2ω

k

y
= ky

k

z
= kz

ω′


=γ(ω- kx v)

(


7)

类似地

,对上式取微分得

d

ω′=γ

5

ω

5

kx

-

v dkx +

5

ω

5

ky

d

ky +

5

ω

5

kz

d

kz (8)

首先根据式

(6) :

d

ky = d ky

d

kz = d kz

再根据式

(7) 的反变换式可得

d

kx =γ d ky +

v

c



d

ω′

代入式

(8) ,再求导,即可得波包速度的洛伦兹变换


:

5

ω′

5

kz

=


5

ω

5

kx

-

v

1 -

v

c


2

5

ω

5

kx

5

ω′

5

ky

=


5

ω

5

ky

1 -

v2

c


2

1 -

v

c


2

5

ω

5

ky

5

ω′

5

kz

=


5

ω

5

kz

1 -

v2

c


2

1 -

v

c


2

5

ω

5

kz

(


9)

在电动力学教材中

,一般不会讨论波包运动速

度的坐标变换

,而且一般也不讨论在伽利略时空观


2 期   蒋永进等:相位不变性的若干讨论 31

下的相位不变性原理

,比如在式(1) 中只讲到了洛伦

兹变换下的相位不变性

. 由于洛伦兹变换的正交性


6 aνμaμτ=δντ,而四维坐标( x , y , z , i ct ) 构成一

个洛伦兹矢量

,因此波矢和频率必须构成另外一个

洛伦兹矢量

,这样通过它和四维坐标点积得到的相

位形式满足洛伦兹不变性

. 在我们的推导中,把相位

不变性的要求应用于伽利略变换

, 同样可以得到正

确的波矢和频率的变换关系

. 有趣的是,伽利略变换

矩阵并不是正交的

, 因此并不存在正交变换意义上

的伽利略矢量

,从而相位不能写成矢量标积的形式.

另外

,更加具有启发意义的是,波包的运动速度和粒

子的速度变换公式一致

, 至少对于满足相位不变性

的机械波动是如此

. 在物理上,波包的运动代表了能

量或物质的输运速度

, 因此它和粒子的运动方式一

样并不奇怪

.

3

 对薛定谔方程的伽利略协变性的讨论

现在我们开始讨论量子力学波函数的相位坐标

变换问题

. 薛定谔方程是描写非相对论粒子的量子

力学方程

,也是量子力学中广泛应用的方程. 首先我

们在惯性系Σ中写出该方程

:

i

Ü

5

5

t

ψ

( x , y , z , t)
= -

Ü

2

2

m Δ2 + V ( x , y , z) ψ( x , y , z , t)

(


10)

其中

V ( x , y , z ) 代表粒子所处的空间势场. 先利用

伽利略变换式把式

(10) 中的微分算符变为带撇的坐

标系中的微分算符

,:

5

5

t=

5

5

t

5

t

5

t+

5

5

x

5

x

5

t=

5

5

t

+

v

5

5

x

5

5

x=

5

5

x

5

x

5

x+

5

5

t

5

t

5

x=

5

5

x

5

5

y=

5

5

y

5

5

z=

5

5

z

(


11)

可以证明

,

ψ′

( x, y, z, t)
=ψ( x , y , z , t) e - i

Ü

S

( x , t)

(
12)

式中

S ( x , t) = mv x -

1

2


mv


2 t ,ψ′( x, y, z,

t

)
满足在Σ′坐标系中与形式(10) 一样的薛定谔方


. 这就是薛定谔方程的伽利略协变性. 简单地代入

动量算符


^p

x
= - iÜ

5

5

x= - iÜ

5

5

x

可以验证

,两个波函数的动量平均值满足


ψ′| ^px | ψ′=ψ| ^px | ψ- mv (13)

这正对应于经典平均速度的变换式

. 需要指出的是,

在量子力学的正统解释中

,波函数ψ不是一个物理


,但它的模方对应于粒子的概率密度. 上面的推导

告诉我们

,在两个惯性系中看,波函数本身相差一个

相位

(局域规范变换) , 但是像粒子密度这样的物理

量并没有发生改变

. 这样, 我们得出一个结论, 即非

相对论粒子的量子波函数不满足相位不变性

!


,量子波和经典机械波的本质区别在哪里呢?

忆前面关于相位不变定律的讨论

. 我们认为机械波

蕴含了物理量的序列不变性

,这种不变性表明,连续

分布的物理量的相对大小不随坐标系而变化

. 需要

注意的是

,对于经典波动,只有波函数的实部真正起

物理作用

,并且可以直接由它写出一个满足序列不

变性的物理量序列

. 对于量子波我们首先需要强调

波函数是复数

,而作为量子概率幅出现的复数波函

数并没有什么体现相位全部信息的物理量的连续分

布可以与之直接对应

.

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