- 首先要弄清楚什么是体系的状态，即某时刻体系中各质点的坐标和速度。其次要知道什么是确定体系的状态，即确定每时刻体系中质点的坐标和速度。这两点弄明白后就好理解他的意思了，那如何确定体系的状态呢？知道体系中各质点的受力情况（没提，默认）＋各质点的初始坐标和速度＝确定体系的状态（原则上的），比如已知一质点的受力和初始条件，解牛顿动力学方程就可以确定它的状态，预测以后的运动。或者知道体系的能量情况（如拉格朗日函数或者哈密顿函数）＋体系中各质点初始条件（如广义坐标和速度或者广义坐标和动量）＝确定体系的状态，对应的解拉格朗日方程或哈密顿方程。至于你说的保守力场是这样的，朗道最终给出的拉格朗日方程的前提条件是受完整约束的主动力是保守力的体系，而不是限制在保守力场，约束力可以是保守力也可以是非保守力，没关系，只要求主动力是保守力。
Typhoon2012-10-14 12:11:03
善龍 (下雪啦~) 2012-10-16 21:46:04
对啊，按时间积分了，是焦耳乘以秒，但是焦耳乘以秒是个什么东西啊？ 上帝用能量需要按时间收费对啊，按时间积分了，是焦耳乘以秒，但是焦耳乘以秒是个什么东西啊？ 上帝用能量需要按时间收费吗？...yin123对质点为什么走作用量最小的路径, 有的人会这样说(当年我学经典力学时就是这样想的): 其实所有的秘密都藏在作用量里面, 因为作用量原理根本没有告诉我们这个该死的作用量到底应该如何写出来. 对于牛顿力学, 我们发现 L = T-V 是凑效的.
如果你知道一点量子力学知识, 那么你会知道, 还有一个常数, 它的单位也是 焦耳 乘以 秒, 作用量除以这个常数就没有量纲了. 你看上帝比我们聪明多了, 它的规律, 不需要单位这种人为定义的东西.
yin1232012-10-16 22:01:42
对质点为什么走作用量最小的路径, 有的人会这样说(当年我学经典力学时就是这样想的): 其实所有对质点为什么走作用量最小的路径, 有的人会这样说(当年我学经典力学时就是这样想的): 其实所有的秘密都藏在作用量里面, 因为作用量原理根本没有告诉我们这个该死的作用量到底应该如何写出来. 对于牛顿力学, 我们发现 L = T-V 是凑效的. 如果你知道一点量子力学知识, 那么你会知道, 还有一个常数, 它的单位也是 焦耳 乘以 秒, 作用量除以这个常数就没有量纲了. 你看上帝比我们聪明多了, 它的规律, 不需要单位这种人为定义的东西. ...善龍普朗克常数吗？
- 一般情況下遇到的質點系是這樣的，質點系統中的第 [;i;] 個質點受到的力有用兩種，一是 [;\mathbf F_i(\mathbf r_j,\dot{\mathbf r}_j,t);]（or maybe [;\mathbf F_i(\mathbf r_j,\dot{\mathbf r}_j,\ddot{\mathbf r}_j,t);]），它能夠用系統所有質點的位置、速度、（加速度）、時間完全地表示出來；二是不能夠用質點的這些運動狀態來表示的 unknown 力，這種力可以理解成是系統在第一種力的驅使下爲了維持系統的約束條件而產生的一種約束力。
[已注销]2012-10-17 02:17:26
用達朗貝爾原理推約束是 holonomic 並且約束力的虛功為零的系統的運動方程，推到
[;\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial\dot{q}_j}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_j}=Q_j;] (1)
[;Q_j=\sum_i\mathbf F_i\cdot\frac{\partial\mathbf r_i}{\partial q_j};] (2)
如果 [;\mathbf F_i;] 能被 [;U(\mathbf r_j,\dot{\mathbf r}_j,t);] 表示成
[;\mathbf F_i=\frac{d}{dt}\left(\nabla_{i'}U)-\nabla_i U;] (3)
那麼
[;Q_j=\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial U}{\partial\dot{q}_j}\right)-\frac{\partial U}{\partial q_j};] (4)
[;\Big(\mathbf r_i=\mathbf r_i(q_j,t),U=U(\mathbf r_i,\dot{\mathbf r}_i,t)=U(q_j,\dot q_j,t)\Big);]
所以可以 define [;L(q_j,\dot q_j,t)=T-U;]，然後得到拉格朗日方程。
但如果 [;\mathbf F_i;] 不能用這樣的 [;U;] 表示，那麼就變不成拉格朗日方程，還是繼續用方程(1)。
[;L;] 之所以只是 [;q_j,\dot q_j,t;] 的函數，是因為它只是針對符合方程(3)的系統而言的，對於其他系統，可能的話，可以定義新的 [;L;]，將方程(1)變成新的形式。
具體可參考 Goldstein 的1.3~1.5節，主要過程就是如何從直角座標下的 [;\mathbf F=m\mathbf a;] 變到廣義座標下的運動方程。
- 关于高阶导，费曼第二册有个很好的例子，电子（有半径）自作用的经典描述，28-4节
C. Lan2012-12-28 23:23:29
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