系综理论概述 物理配分函数 数学生成函数

系综理论概述

物理学院2001级基地班 黄菁菁

当我们的研究对象从单个或少数粒子变成由大量粒子和准粒子组成的，具有大量随机变化自由度的宏观系统的。由于大量随机自由度的存在，用纯粹的力学方法已不能解决问题了，应运产生了新的研究方法——系综理论。

系综是大量系统（N个）的集合。系统中的每个系统和被研究系统具有完全相同的结构，受到完全相同的宏观约束，但可能处于不同的微观态。系综是统计物理中假想的工具，而不是实际的客体，实际的客体是组成系综的单元——系统。系综理论中做了两点假设：宏观量是相应微观量的时间平均，而时间平均等价于系统平均；平衡孤立系的一切可达微观态出现的概率相等。

用表示系统经历某微观态的次数，相应的微观量用表示，则宏观量（多次实际观测的平均）的表达式是：

①

其中

代表在足够大的观测时间中，系统在微观态逗留的概率。

由①式可以看出，只要知道了系统概率就可以计算出和任何微观量的对应的宏观量，因此确定系综的概率是系统理论的关键。

当系统达到宏观平衡态时，具有的宏观性质不随时间变化，任何一个宏观量都不是时间的函数，则分布函数一定不是时间的函数，即满足平均条件

。相应的系综是稳定系综。根据不同的宏观条件，我们将常见的稳定系

统分为三种系统：由孤立系统组成的微正则系统；由恒温封闭系统组成的正则系综和由开放系统组成的巨正则系综。

在研究这三种分布时，我们把微正则分布作为平衡态统计物理学的基本假设，由它导出正则分布和巨正则分布。下面分别来介绍一下：

1．微正则分布

对于自于平衡态的孤立系统，能量在（）之间的每一个可能的微观状态出现的几率相等，在上述能量间隔之外出现的几率为零。

微正则分布的经典表达式为：

②

其物理意义是：经典微正则系综中所有系统的微观态代表点，稳定而均匀地分布在空间的能量壳层内。

微正则分布的量子表达式是：

③

其中

2．正则分布

系统与大热源接触且处于平衡，具有确定的粒子数N，温度T，体积V。若系统有Nr个自由度。

经典正则分布的表达式为：

④

其中

量子正则分布的表达式为：

⑤

其中

E_l为微观态l对应的能量，④和⑤中的Z为配分函数。配分函数在系综理论中扮演了一个至关重要的角色。从物理意义上讲，配分函数是系统的有效状态和；从数学上讲，它是为了方便而引入的一个生成函数。通过系统的能量函数来得到系统的配分函数是利用系综理论处理实际问题的关键。因为有了配分函数就可以通过热力学公式得到该系统的热力学性质。

对于由近独立粒子组成的系统，系统的配分函数Z（T. V. N）和单粒子的配分函数Z₁（T. V. N）的关系为：

（定域系）

（非定域系）

3．巨正则分布

当系统与热源，粒子源相接触，其体积V，温度T以及化学势具有确定值时。

经典巨正则分布为：

⑥

其中

量子巨正则分布为：

⑦

其中

定义逸度

则巨配分函数又可以写为

这三种分布所对应的系综宏观条件各不相同，但在确定系统的统计性质时，这三种分布是完全等效的。

从涨落的角度看，正则分布是巨正则分布忽略粒子数N的涨落的结果，而微正则分布是正则分布忽略能量E的涨落的结果。由于实际系统中所包含的粒子数N非常大，由系综平均求出的宏观量的相对涨落总是很小的，在处理实际问题中，三种系综的宏观条件差别并不能表现出来。

按照系综理论求宏观量，原则上有两种方法：

方法一：直接求相应微观量的系综平均。对每一个宏观量必须用求和或求积分的方法求其对应微观量的系综平均，然后再利用热力学有关公式求没有对应微观量的宏观量。

方法二：统计热力学方法。它可以概括为以下三个步骤：

①针对研究问题中系统可测的宏观性质，如状态方程和热容量，提出一个微观模型计算该模型的能谱和简并度；

②根据模型的能谱和简并度求配分函数Z和特性函数；

③利用特性函数的性质通过求配分函数的各种偏微商的到系统的热学量。

第一种方法往往不够方便，所以第二种方法是我们主要要用和熟悉的方法。

最后列出一个图表，给出了三种统计系综的性质和它们的热力学公式。

附图：三种系综的性质和其热力学公式

系统		微正则系综	正则系综	巨正则系综
系统		孤立系	封闭系	开放系
状态参量		E,V,N	T,V,N	T,V,μ
分布概率	经典
	量子
配分函数	经典
	量子
特性函数		S＝kInΩ	F＝-kTInZ
热力学公式		；；；；	;;	; ; ;
说明