经典力学
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[编辑] 簡介
经典力学是以牛顿运动定律为基础，以下分别列出三條牛顿运动定律：
- 第一定律：倘物体处于静止状态，或呈等速直线运动，只要没外力作用，物体将保持静止状态，或呈等速直线运动之状态。这定律又称为惯性定律。
- 第二定律：物体的加速度，与所受的净外力成正比。加速度的方向与净外力的方向相同。即
；其中，
是加速度，
是净外力，
是质量。 - 第三定律：两个物体的相互作用力总是大小相等，方向相反，同时出现或消失。强版第三定律还額外要求两支作用力的方向都處於同一直线。
由伽利略和牛顿等人发展出来的力学，着重于分析位移、速度、加速度、力等等矢量间的关系，又称为矢量力学。它是工程和日常生活中最常用的表述方式，但并不是唯一的表述方式：約瑟夫·拉格朗日、威廉·哈密頓、卡爾·雅可比等发展了经典力学的新的表述形式，即所谓分析力学。分析力学所建立的框架是近代物理的基础，如量子场论、广义相对论、量子引力等。
微分几何的发展为经典力学注入了蒸蒸日盛的生命力，是研究现代经典力学的主要数学工具。在日常经验范围中，采用经典力学可以计算出精确的结果。但是，在接近光速的高速度或強大重力場的系统中，经典力学已被相对论力学取代；在小距离尺度系统中又被量子力學取代；在同时具有上述两种特性的系统中则被相对论性量子场论取代。虽然如此，经典力学仍旧是非常有用的。因为下述原因：
雖然經典力學和其他“经典”理论（如经典电磁学和热力学）大致相容，在十九世纪末，还是发现出有些只有现代物理才能解释的不一致性。特别是，经典非相对论电动力学预言光波傳播於以太內的速度是常數，经典力学无法解释这预测，因而导致了狭义相对论的发展。经典力学和经典热力学的结合又导出吉布斯佯谬（熵不具有良好定義）和紫外灾难（在頻率趨向於無窮大時，黑體輻射的理論結果和實驗數據無法吻合）。为解决这些问题的努力造成了量子力學的發展。
[编辑] 理论的表述
以下介绍經典力學的几个基本概念。为简单起见，經典力學常使用点粒子来模拟实际物体。点粒子的尺寸大小可以被忽略。点粒子的运动可以用一些参数描述：位移、質量、和作用在其上的力。
实际而言，經典力學可以描述的物体总是具有非零的尺寸。（超小粒子的物理行为，例如電子，必须用量子力學才能正确描述）。非零尺寸的物体比虚构的点粒子有更复杂的行为，这是因为自由度的增加，例如棒球在移动的同时也可以旋转。虽然如此，点粒子的概念也可以用来研究这种物体，因为这种物体可以被视为由大量点粒子组成的复合物。如果复合物的尺寸极小于所研究问题的距离尺寸，则可以推断复合物的质心与点粒子的行为相似。因此，使用点粒子也适合于研究这类问题。
[编辑] 位置及其导数
| 国际单位制之導出單位 | |
| 位移 | m |
| 速度 | m s-1 |
| 加速度 | m s-2 |
| 轉动惯量 | kg m2 |
| 动量 | kg m s-1 |
| 角动量 | kg m2 s-1 |
| 力 | kg m s-2 |
| 力矩 | kg m2 s-2 |
| 能量 | kg m2 s-2 |
| 功率 | kg m2 s-3 |
| 压力 | kg m-1 s-2 |
| 表面張力 | kg s-2 |
| 輻照度 | kg s-3 |
| 动粘性 | kg m-1 s |
；向量的端點為原点 O ，矢點為粒子所处地点。如果，点粒子在空间内移动，位置會随时间而改变，则 是时间 
（从任意的初始时刻开始的时间）的函数。在爱因斯坦的相对性理论之前（伽利略相对性原理），时间被认为在所有参考系中是绝对的。也就是说，不同的观察者在各自的参考系中所测量的时间间隔都等值。并且，經典力學假设空间为欧几里得几何空间。位移是位置的改變。假設從舊位置
改變到新位置 
，則位移是 
。使用向量分析的術語，假設一個粒子的位置，從舊位置移動到新位置，則位移是端點為舊位置，矢點為新位置的向量，又稱為位移向量。[编辑] 速度
速度是位移对于时间的变化率，正式定义为位移对于时间的导数。以方程式表达
；
是速度。在经典力学中，速度可以直接地相加或相减。例如，假设一辆车以向东 60 km/h 的速度超过另一辆以 50 km/h 向东的车，从较慢车的角度来看，它的速度是向东 60 − 50 = 10 km/h. 从较快车的角度来看，较慢车以 10 km/h 向西行驶。如果车是向北行驶呢？速度以向量形式直接相加；但必须用向量分析的方法来处理。
假设，第一辆车的速度为
，第二辆车的速度为 
；其中，两辆车的速率分别为 
和 
，而 
和 
分别为两辆车朝着运动方向的单位向量。那麼，从第二辆车观察，第一辆车的速度 
为
。
为
。
，则这公式简化为
。
。
[编辑] 加速度
加速度，或是说速度对于时间的变化率，是速度对于时间的导数，以方程式表达
。
[编辑] 惯性参考系
思考同一事件在两个惯性参考系
和 
的测量结果。假设，相对于 参考系， 参考系以速度 移动。分别处于这两个参考系的观查者会测量到以下结果：- （同一点粒子的运动，在 测量的速度是在 测量的速度减去 ）。
（点粒子的加速度和惯性参考系无关）。
（因为 
）（施于点粒子上的力和惯性参考系无关; 参见牛顿运动定律）。- 光速不是常数。
- 麦克斯韦方程组的形式不是独立于惯性参考系的；从一个惯性参考系转换到另一个惯性参考系，则麦克斯韦方程组的形式可能会改变。
[编辑] 力；牛顿第二定律
是点粒子的质量，而 是所有作用在其上的力的向量总合（就是，净作用力），牛顿第二定律表明
。
为動量。通常，質量
与时间无关。那麼，牛顿定律可以简化为- 。
是加速度。但质量并不总是独立于时间。例如，火箭需要喷出推进剂，才能往前方推进。所以，随着时间演化，火箭质量会渐渐减少。对于此案例，上述方程式并不正确，必须使用牛顿第二定律的完整形式。
牛顿第二定律不足以独立描述粒子的运动，还必需知道
的性质和形式。假若，知道施加于点粒子的作用力，则牛顿第二定律足以描述粒子的运动。例如，一个典型的摩擦力 
可以表达为:
。
是一个正值常数。当每个施加於点粒子的作用力的独立关系都被设定後，它们可以被代入牛顿第二定律中，从而得到一个微分方程，称为运动方程。继续上面的例子，假設摩擦力是唯一作用在点粒子上的力，则运动方程为
。
；
是初始速度。此公式显示出，這粒子的速度是随着时间指数式递减到 0 。进一步将此公式积分，可以得到位移 随着时间的函数。重力和电磁学中的洛伦兹力是几种常见的力。
牛顿第三定律可以用来推论作用於粒子的力：如果已知粒子 A 作用於另一粒子 B 的力是
，则粒子 B 会有一个大小相等、方向相反的反作用力 
作用於粒子 A 。[编辑] 能量
若施加作用力 於某粒子，因而产生位移 
，该作用力所做的功 
是一个标量
。
是施加于粒子所有作用力所做的功，通过把每个作用力所做的功加起来得到，从牛顿第二定律:
。
被称为動能。对于一个粒子，它被定义为
。
有一类特殊的力，称为保守力，可以表达为一个标量函数的梯度，该函数称为势能，标记为
：
。
是所有势能加起来得到的总势能，那麼，
。
，
与时间无关。这结果非常有用。因为，很多常见的力是保守的。[编辑] 進阶結果
牛頓的定律为复合物体提供了很多重要的结果。在这方面，牛頓定律延伸成为歐拉定律。描述一维运动的微积分也可以用来描述角動量的概念。经典力学有两种其它重要的表述：拉格朗日力学和哈密顿力学。它们都和牛顿力学相等价。但是，在解决问题上，它们经常有更大的威力。这些和其他的现代表述通常都绕过作用力的概念，而使用其他物理量，例如能量、拉格朗日量或哈密顿量，来描述力学系统。
[编辑] 經典变换
思考两个参考系 和 。对於分别处於这两个参考系的观察者，假设同一个事件在 参考系中的时空坐标为（
），在 参考系中为（
）。假若時間是有绝对性的（時間在两个参考坐标系的测量值相等），并且要求当 
时，令 
。假若 在 
方向以 的速度相对于 运动。那麼，同一事件在两个参考系 和 内的时空坐标关系为：
、
、
、
。
超小於光速時，这变换是正确的。当解析某些问题时，采用旋转坐标（参考系)会带来很多便利。可以将旋转坐标与一个简易的惯性参考系保持映射函数关系，或者，也可提出虚假的离心力或科里奥利力。
[编辑] 歷史
古希腊的哲学家，包括亞里士多德在内，可能是最早提出“万有之本，必涵其因”论点，以及用抽象的哲理尝试敲解大自然奥秘的思想家。当然，对于现代读者而言，许多仍旧存留下来的思想是蛮有道理的，但并没有无懈可击的数学理论与對照實驗来阐明跟证实。而这些方法乃现代科学，如经典力学能形成的最基本因素。约翰内斯·开普勒按照因果關係来解释行星运动的科学家。他从第谷·布拉赫对火星的天文观测资料裏发现了火星公转的轨道是椭圆形的。这与中世纪思维的切割，大约发生在西元1600年。差不多于同时，伽利略用抽象数学定律来解释粒子运动。传说他曾经做过一个很有意思的實驗：他从比萨斜塔扔下两个不同质量的球，试验这两个球是否会同时落地。虽然这传说很可能只是传说。但他确实做过在斜面上滚球的属量性实验；他的加速运动论显然是由这类实验的结果推导出的，而且成为了经典力学的基础。
牛顿在他的巨著《自然哲学的数学原理》裡发表了三条牛顿运动定律；慣性定律，加速度定律和作用与反作用定律。应用这些定律，他能够计算出普通物体与天体的运动轨道。特别值得一提的是，他研究出开普勒定律在理论方面的详解。牛頓先前创发的微积分是研究经典力学所必备的数学工具。
牛頓和那时期的同仁，除了克里斯蒂安·惠更斯为值得注意的例外，大多数都认为经典力学应可以诠释所有大自然的现象，包括用其分支學術，几何光学，来解释光波。甚至于他发现的牛頓環（一个光波干涉现象），牛頓都試著用自己的光微粒学说来解释。
十九世纪后期，尖端的理论与实验发掘出许多扑硕迷离的难题。经典力学与热力学的连结导至出经典统计力学的吉布斯佯谬（熵不是个良好定义的物理量）。在原子物理的领域，最基本的问题，像原子模型和發射光譜，经典力学都无法给出合理的解释。眾位大师尽心竭力研究这些难题，成功地发展出现代量子力学。类似地，在座标转换时（转换于两个移动参考系之间），因为经典电磁学和经典力学相互矛盾，表现出不同的物理行为，引起爱因斯坦的关注，经过多年的努力，终就想出惊世的相对论。
自二十世纪末期以後，不再能虎山独行的经典力学，与经典电磁学共同被牢牢的嵌入相对论和量子力学裏面，成为在非相对论性和非量子力学性的極限，研究非相对论性和非量子尺寸物体的物理性质的学术。
[编辑] 适用域
大多数经典力学的理论是更精准理论的简化或近似。两个非常精准的學術领域是广义相对论和相对论性统计力学。几何光学是量子光学的近似，并没有比它更优良的经典理论了。[编辑] 狭义相对论的近似
在牛顿力学，或非相对论性经典力学裏，一个粒子的动量
表达为
；
是粒子的质量， 是粒子的速度。在相对论裏，动量表达为
。
是粒子的静止质量。这表达式可以对项目
泰勒展开为
。
，速度超小于光速时，经典近似成立。举例而言，回旋加速器，磁旋管，或高电压磁控管的相对论性回旋頻率
为
；
是电子的经典頻率 ，
是动能 。电子的靜止質量是 511KeV。假若，电磁真空管的直流加速电压为 5.11KeV ，那麼，頻率修正很小，只有 1% 。
[编辑] 量子力学的近似
当系统尺寸接近德布罗意波长时，经典力学的射线近似不成立，粒子具有波动性质。根据德布罗意假说，非相对论性粒子的波长是
；
是普朗克常数。因为电子的质量较轻，不需要擁有很大的動量，就會顯示出波動現象。克林顿·戴维孙和雷斯特·革末首先觀察到电子的波动性质。於 1927 年，他们在戴維森-革末實驗中，将以 54V 加速，电子波长为 0.167 nm 的電子束，入射於原子间隔为 0.215 nm 的鎳晶體標靶.。細心地測量散射到每個角度的電子束強度，就可以得到電子的繞射圖案，與威廉·布拉格預測的 X射線繞射圖案完全相同。
在电子工程领域，有显示经典力学不足的更实际例子，像穿隧二極體和积体电路內電晶體閘極的量子穿隧效應。
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