偶极子在脑皮层形成了一定的电场分布，
最终能提供它所代表的脑组织的活动信息
电偶极子源定位问题的研究
!
吴重庆
! 赵爽
（发光与光信息技术教育部重点实验室，北京交通大学理学院光信息科学与技术研究所，北京
"###$$）
（
%##& 年"# 月%$ 日收到；%##& 年"" 月’ 日收到修改稿）
首先得到了封闭形式的电偶极子处于任意位置时电场分布的公式，它是一个线性变换，称其变换矩阵为传递
矩阵
( 并给出了传递矩阵的具体表达式和许多有用的性质，得到了传递矩阵的逆矩阵，导出了利用电场分布来确定
单个或者多个偶极子源位置矢量和电偶极矩矢量的公式
( 对单个偶极子源的计算表明，如果测得两点的电场分布
相同，就可以确定偶极子处于它们连线的中点上
(
关键词：电偶极子，传递矩阵，电场分布，定位问题
!"##
："""#，$"##，’))#
!
国家自然科学基金（批准号：&#*))#%#）资助的课题(
! +,-./0
：123456784( 9:4( 1;
"<
引言
电偶极子是生物研究中经常用到的模型
( 目前
认为，在大脑中，脑神经元的兴奋伴随着电流的产
生，伴随脑内神经元的兴奋而产生的兴奋性突触后
电位（
+=>=）是产生能被记录到的脑电活动基础(
+=>=
电流在突触处的?.@ 从细胞外流向细胞内时，
称为电穴（
A/;B），按细胞电流分布原理，在此神经细
胞附近的树突上便有一同等大小的电流从细胞内进
入细胞外液中，此处称为电源（
AC4D19）( 细胞内液体
是一导体
( 细胞膜类似一个电容器，因此一对具有相
同强度、电荷相反的电穴和电源便构成了一对电偶
极子
( 这些偶极子在脑皮层形成了一定的电场分布，
最终能提供它所代表的脑组织的活动信息
［"—E］( 人
们可以通过测量脑球体外的电场分布来确定脑电荷
偶极子的位置和方向
( 从头皮脑电分布推算脑电活
动源的脑电偶极子源定位问题的研究，对于脑认知
功能的研究有重要的科学意义和临床应用价值
［$，*］(
在我们生活的空间，偶极子无处不在
( 因此，通过测
定电偶极子形成的电场来确定电偶极子的分布，即
解决电偶极子源定位问题，是一件十分重要的工作
(
目前对偶极子源定位问题的研究，主要集中在
模型的选择
［&］、偶极子源定位的方法及源定位精确
性等前沿课题
( 在这些模型中，单偶极子模型是一种
重要模型
( 而定位方法常采用有限元法、单纯型法等
数值计算方法
［)，’］( 对于数据处理，也提出了许多方
法，其中
F.-C4A/ 提出了包括表面拉普拉斯滤波
（
A4DG.19 H.I0.1/.; G/089D/;J），时域频域分析（ 8/-9
GD9249;1K .;.0KA/A
），噪声归一化（;C/A9 ;CD-.0/L.8/C;），
以及独立分量分析（
/;:9I9;:9;8 1C-IC;9;8 .;.0KA/A）
等计算方法
［M］( 这些方法已经在医学临床方面得到
了应用
［*］( 但这些方法都是基于电位的，基于电场矢
量模型的方法几乎没有见到
(
根据库仑定律，不难求出处于坐标原点偶极子
产生的场分布为
［"#］
!
（ !，!）N "#
$
!"# !E
（
%1CA!"O D @ A/;!"O#
）， （
"）
其中
"#
为电偶极矩
##
的大小，
" O !
是偶极子到观测
点
# 连线方向的单位矢量，" O#
为垂直于
"O !
方向的单
位矢量，
!为##
与
O"!
的夹角（参见图
"）(
对（
"）式研究发现，利用它来求偶极子的位置是
很困难的
( 因为该公式首先是假定了偶极子处于坐
标原点，即使对它进行坐标修正，由于我们无法知道
偶极子所处位置与观测点的连线，因此无法得到
1CA
!，A/;!，以及" O !
和
"O#
等信息
(（"）式也不是! N
（
$ #）的封闭形式，不能够直接求解出# N $ P（" !），
因此有必要对（
"）式进行变形，并从中找出求解偶极
子位置的方法
(
本文首先得到了
! N $ （ #）的封闭形式，它可以
第
*& 卷第M 期%##) 年M 月
"###,E%M#Q%##)Q*&
（#M）Q*"’,#*
物理学报
RSTR =UV>WSR >W?WSR
XC0(*&
，?C(M，>9I89-69D，%##)
"
"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""
%##) SY/;( =YKA( >C1(
图
! 偶极子的场
用一个线性变换表示，我们称这个变换矩阵为传递
矩阵
" 然后，我们证明这个矩阵是满秩的，因此存在
逆矩阵，从而得到了
! # ! $ !（"）的封闭形式" 最后，
我们利用这个理论公式，具体求解了几个不同场分
布的偶极子位置
"
%"
电偶极子在坐标原点时的传递矩阵
将图
! 中的!&
分解到
# ’"
，
# ’!
两个方向，得到
!
& # #& ()*"#’" $ #& *+,"#’! " （%）
将（
%）式代入（!）式得
"
# !
-
!#& ". ［ .#& ()*"#’" $ !&
］
" （.）
由于
#& ()*"# !&
·
# ’"
，于是
"
# !
-
!#& ". ［ %# ’"#’" $ $］!&
， （
-）
设
% # .# ’"#’" $ $，则
"
# !
-
!#& ". %!& " （/）
由（
/）式可以得到下面. 个结论：
!
）其电场强度与偶极子矩!&
成线性关系，即不
仅与
#&
成正比，而且其方向是
!&
方向的旋转，旋转
角度与
!&
无关，这是从（
!）式不能直观看出的"
%
）对于给定的观测点，矩阵% 是一个确定的对
称矩阵，它仅是从偶极子到观测点连线方向
# ’"
的函
数
" 这表明，沿着# ’"
方向的空间各点，它们具有相同
%
矩阵" 也就是说，沿着# ’"
方向的空间各点电场方
向相同
"
.
）处于同一个位置的多个偶极子!$
对所产生
的电场满足叠加原理，即它们的合成场等于偶极子
叠加形成的总偶极子的场
"
# !
-
!#& ". %&， （0）
其中
! # !$
!
$
是多个偶极矩叠加后的总偶极矩
"
由（
0）式可以看出，只要知道矩阵%，就可以容
易得到偶极子所产生的电场的大小及方向
" 而且，矩
阵
% 与偶极子!$
的大小和方向均无关，因此它可
以作为一个描述偶极子场与源关系的量，我们称之
为偶极子场的传递矩阵
" 对于观测点’（ %，&，’）其具
体形式为
%
# !
"
%
.
%% $ "% .%& .%’.&% .&% $ "% .&’.’ .’ .’% $ "
æçççè
ö÷÷÷ø
%
"
（1）
传递矩阵
% 具有如下性质：
!
）对称性
由（
1）式可以看出% # %( ，说明% 是对称
矩阵
"
%
）相对于原点的对称性
%
（ %，&，’）# %（$ %，$ &，$ ’）"
说明相对于坐标原点对称的两点场强相同
"
.
）行列式的值是常数%
%
# !
"
%
.
%% $ "% .%& .%’.&% .&% $ "% .&’.’ .’ .’% $ "
éêêêë
ùúúúû
%
# %"
（2）
-
）传递矩阵% 的逆矩阵
因为矩阵
% 行列式的值为%（ ""&），所以它存
在逆矩阵，经过简单运算得到
%
$! # %
"
%
$
（.&% 3 .’% $ "%） .%& .%’.%& $（.%% 3 .’% $ "%） .&’.%’.&’$（.%% 3 .&% $ "%
æçççè
ö÷÷÷ø
）
"
（4）
用
%$ !左乘（0）式的左右两边得
!
& # -!#& ".%$!（ ’）"（ ’）" （!&）
（
!&）式是用电场的分布计算偶极子的表达式，它表
明，通过测量空间电场的大小及方向可以确定电偶
4
期吴重庆等：电偶极子源定位问题的研究/!2!
极子的偶极矩
!
"
）特征值和特征向量
对于矩阵，可以写出下面的形式：
!"
! #!"! ! （$$）
通过计算得出
! 的特征值为! # % $，&! 所对应的
特征向量分别为
"
$ # $"
%
#
$
æççè
ö÷÷ø
’
，"& # $"
%
%
’
æççè
ö÷÷ø
$
，
"( # $"
$
#
æççè
ö÷÷ø
%
，
（
$&）
可以得出
"$
，
"&
与
# ) "
垂直，而
"(
与
# ) "
平行，
"$
，
"&
均与
# ) "
正交，但是
"$
，
"&
不正交
! 特征向量的物理
意义在于：如果
"’等于上述特征矢量，那么在# ) "
这
个方向上的电场不会旋转
!
比如，当
"’取"$
，
"&
时，电场为
$
# % $
*
!"’"( "’， （$(）
当
"’取"(
时，电场为
$
# &
*
!"’"( "’! （$*）
值得注意的是，由于
$，#，% 取值不同，特征向量
"
$
，
"&
，
"(
并不是确定的
!
(!
任意位置偶极子场的传递矩阵
假定偶极子不在坐标原点，而处于空间任意一
点
%’，如图&!
图
& 偶极子不在坐标原点
在这时，（
(）式中的# ) %
应换为
#) %+
，因为
%+ # % %
%
’，# ) %+ # %+ , %，代入（(）式得到
$
# $
*
!"’"+ (
(
"
+ &
（
[ %% - %’%’% %%’% %’%）% &]"’，
（
$"）
式中的四项并矢均可写成矩阵的形式
%%
#
$
& $# $%
$# #
& #%
$% #% %
æçççè
ö÷÷÷ø
&
，
%
’%’#
$
&’$’#’$’%’$’#’#&’#’%’$’%’#’%’%
æçççè
ö÷÷÷ø
&’
，
%%
’#
$$
’$#’$%’#$’##’#%’%$’%#’%%
æçççè
ö÷÷÷ø
’
，
%
’% #
$
’$ $’# $’%
#
’$ #’# #’%
%
’$ %’# %’æçççè
ö÷÷÷ø
%
!
（$.）
定义
! # $
*
!"’"+ (
(
"
+ &
（
[ %% - %’%’% %%’% %’%）% &]，
同样可以得到
$
# !（ %，%’）"’! （$/）
可以看到（
"）式是（$/）式中%’# ’的特殊情况! 由
（
$/）式，我们可以得出位于坐标系中任意一点的偶
极子所产生的电场
! 同样，我们可以得到
"
’# !%$（ %%’）$（ %）， （$0）
而且（
$0）式也是满足叠加原理的
$
# !!
!
（ %，%!
）
"! ! （$1）
*!
空间中单个电偶极子位置的确定
利用（
$0）式，我们可以得到空间中的单个偶极
子的位置大小及方向
! 设两个观测点为&，’，取&，
’
连线的中点为坐标原点，如图( 所示!
图
( 计算偶极子的位置
假设
&，’两点的坐标为%& （ (，’，’）和%’（ % (，
’
，’），&’的长度为&(；&，’两点的电场强度分别
为
$&
，
$’! 此处(，$&
，
$’均是可测量的量，为已
知数
!
我们的任务是求出偶极子
"’的坐标%’（ $，#，
%
）和"’#［ )$
，
)#
，
)%
］
2 等六个未知数!
利用（
$/）式，可以得到如下关系式：
$
& # &!&"， （&’）
"$0&
物理学报".卷
!
! ! !"!#， （"#）
其中
" ! #
$
!!% #&
"
，
! ! #
$
!!% #&
!
，
#
"
"
!（ $ ’%）" ( &" ( ’"，
#
"
!
!（ $ ( %）" ( &" ( ’" )
我们假定电偶极子不处于两个观测点的任何一个，
从而
#"!%，#!!%，
"
" !
*
（ $ ’%）" ’#"
"
*&（ $ ’%） *’（ $ ’%）
*
&（ $ ’%） *&" ’#"
"
*&’*’（ $ ’%） *&’*’" ’#"
æçççè
ö÷÷÷ø
"
，
"
! !
*
（ $ ( %）" ’#"
!
*&（ $ ( %） *’（ $ ( %）
*
&（ $ ( %） *&" ’#"
!
*&’*’（ $ ( %） *&’*’" ’#"
æçççè
ö÷÷÷ø
!
，
因此由（
"%）与（"#）式得到
!
"!!" ! """!! ) （""）
方程（
""）是仅含有$，&，’三个未知数的矩阵
方程，通过解此方程可以确定电偶极子的位置
$
% （ $，&，’）) 再将$% （ $，&，’）代入方程（#+），可求出
偶极矩
#% )
例
! 如果测得!, ! !- ! !%
，代入（
""）式，解
方程得
$
% （ $，&，’）! %，
说明电偶极子处在
,- 连线的中点) 可以写出",
，
"
-
的表达式
"
, ! "- !
"
%" % %
% ’
%" %
% % ’
%
æçççè
ö÷÷÷ø
"
， （
"*）
将（
"*）式代入（"%）和（"#）式得
!
% ! #
$
!!% %&
"
%" % %
% ’
%" %
% % ’
%
æçççè
ö÷÷÷ø
"
#
%
，（
"$）
可以解出
#
% ! "!!% %*
(
%$
’"
(%&
’"
(%
æçççè
ö÷÷÷ø
’
) （"&）
例
# 的结果说明，只要我们测的两点的电场相等，我
们就可以轻而易举的确定偶极子的位置和大小
)
例
" 如果测得!, !［ (，*(，%］.，!- !［/，
’*/
，%］.，将其代入方程（""），可得到
$
% （ $，&，’）!（%，%，%），
#
% !［+!!% %* (，%，%］.，
这说明电偶极子处于
"! 连线的中垂线上距"! 为%
的位置，
#%
的方向与
"! 垂直，大小为+!!% %* ( )
&)
多偶极子源定位问题
当空间中分布着
) 个电偶极子时，为解决它们
的定位问题，必须要获得
0) 个参数，也就是要获得
"
) 个不同位置的电场强度) 为此，我们以下标* 和+
表示观测点的序号，以下标
, 表示电偶极子的序
号，由（
#1）式可得
!
% !" 2
3 ! #
"
*, （ $*
，
$,
）
#,
（
* ! #，⋯，)），（"0）
和
!
& !" 2
3 ! #
"
+, （ $+
，
$,
）
#,
（
+ ! #，⋯，)）)（"4）
以每个传递矩阵作为一个
*) 5 *) 大方阵的子矩
阵，即定义
’!［"*,
］
*
)
5 *)
和
( ! "+,
」
*
)
5 *)
，并将
!
6
，
!7
和
#,
做成一个大的列向量，分别写为
!-
，
!
.
和
)，从而得到
!
- ! ’ （"+）
和
!
. ! ()， （"1）
于是我们可以得到仅含有多个偶极子位置参数作为
未知量的方程组
’
’ !- ! (’ !. ) （*%）
解这个方程组，即可确定偶极子源的位置分布，然后
用（
""）式求逆，即可得到各个点上的偶极子大小及
方向
) 具体求解可借助于计算机的数值计算方法)
08
结论
本文得到了封闭形式的电偶极子处于原点或者
任意位置时产生的场的公式（
#4），它是一个线性变
换
) 称这个变换矩阵为传递矩阵，并给出了传递矩阵
的具体表达式，从而可以较为方便的得到空间中电
偶极子所产生的电场
) 本文对于传递矩阵进行了深
入的研究，得到了许多有用的性质
) 同时，本文得到
了利用电场分布来确定偶极子位置和矢量的（
#+）和
（
"$）式) 利用该公式，可以解决单个偶极子源和多个
偶极子源的定位问题
) 对于许多基于偶极子理论的
有机分子或者生物大分子，我们能够根据它所形成
的空间电场来分析它们的内部结构
) 最后，我们给出
了
" 个计算实例) 对于单个偶极子源的计算表明，如
1
期吴重庆等：电偶极子源定位问题的研究&#+*
果测得两点的电场相同，就可以简单地确定偶极子
处于它们连线的中点上
! 这些工作，对于诸如从头皮
脑电场分布推算脑电活动源和脑认知功能的研究十
分重要
! 在生物医学研究中有重要的科学意义和临
床应用价值
!
［
"］ #$ %，&’)* +，,-*./0/ 1 "234 !""" #$%&’(& )*(+,-*.%/
"&0*&,,$*&0
!" 567
［
8］ 9*:’1，;/)$< = >，?/($ @ "226 !""" #$%&’(& )*(+,-*.%/
"&0*&,,$*&0
!# 722
［
A］ ;’BC< % D "22E !""" #$%&’(& )*(+,-*.%/ "&0*&,,$*&0 "$ 73
［
5］ F/’= ，F)’G 9 ，F)*<H 1 ; 866A 1($,*0& 2,-*.%/ 3.*,&.,’（%C/.$ICJ*: K<HC<$$LC<H M*(JCJ:$）$% "6A（C< ;)C<$($）［邹凌、
朱善安、张迎春等
866A 国外医学生物医学工程分册$% "6A］
［
E］ N*< # & ，O’? O，M*<H @ O ，1’< # 9 8667 45*&,’ 6(7$&%/ (8
9,7$(+,-*.*&,
& 5"6（C< ;)C<$($）［王焕明、徐如祥、方冬秀、袁
辉胜
8667 中华神经医学杂志& 5"6］
［
7］ OC*/ ; 1，=$C 1 F 866E :.;% <5=’! 3*& !&" "2E6（C< ;)C<$($）［肖
春燕、雷银照
866E 物理学报&" "2E6］
［
4］ #*L* P，&’)* +，9)*<-:$ N ? "222 !""" #$%&’! (& )*(+,-*.%/
"&0*&,,$*&0
"% "8E
［
3］ =C 1，=C #，#$ ?，?*/ =，N’Q，O’>，9)$< O，1*< N 8665
<$(.,,-*&0’(8
87;5 :&&7%/ 4(&8,$,&., (8 ;5, !""" "2)3 "26A
［
2］ R*./’C %，=C’F，#$ % 866E !""" #$%&’! (& 9,7$%/ 3=’,+’%&-
>,5%?*/*;%;*(& "&0*&,,$*&0
’ "77
［
"6］ ;)$< D 1 866" "/,.;$(+%0&,;*. 8*,/- %&- ,/,.;$(+%0&,;*. @%A, ;5,($=
87&-%+,&;%/’
（;)C<* ?*C:S*T U’:C()C<H #/’$）WA3（C< ;)C<$($）
［陈乃云等
866" 电磁场与电磁波理论基础（中国铁道出版
社）第
A3 页］
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* J:/($I B/L.’* 0)*0 I$(JLCV$( 0)$ $:$J0LCJ BC$:I /B ICW/:$( *0 *LVC0L*LT W/(C0C/<
，S)CJ) C( * :C<$*L 0L*<(B/L.$L J*::$I 0)$ 0L*<(B$L
.*0LC\! +)$ $\WL$((C/< /B 0L*<(B$L .*0LC\ *<I C0( .*<T ’$B’ J)*L*J0$LC(0CJ( *L$ HCZ$<
，S)CJ) J*< V$ ’$I B/L 0)$ *<*:T(C( /B 0)$
$:$J0LCJ*: BC$:I( /B ICW/:$(! +)C( W*W$L *:(/ WL$($<0( 0)$ J:/($I B/L.’* B/L I$0$L.C<C<H 0)$ :/J*0C/< *<I .*H<C0’$ /B (C<H:$ ICW/:$
/L .’0CXICW/:$( *JJ/LIC<H 0/ C0( $:$J0LCJ*: BC$:I IC(0LCV’C/<!G J*:J’*0C/< L$(’0 B/L * (C<H:$ ICW/:$ ()/S( 0)*0 0)$ ICW/:$ SC:: V$
:/J*0$I *0 0)$ .CIW/C<0 /B * :C<$ ($H.$<0 CB 0)$L$ *L$ $]’Z*:$<0 BC$:I( *0 C0( 0S/ $<I(!
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0122
："""6，5"66，3446
!
UL/^$J0 (’W/L0$I VT 0)$ D*0C/<*: D*0’*: 9JC$<J$ M/’I*0C/< /B ;)C<*（>L*<0 D/!76E44686）!
Y KX.*C:
：J]S’V^0’ $I’ J<
E"35
物理学报E7卷
［
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