phymath999: 光作为电磁波，它的强度定义为在单位时间内，垂直於传播方向上的单位面积内能量对时间的平均值，即玻印亭矢量对时间的平均值

Friday, January 25, 2013

光作为电磁波，它的强度定义为在单位时间内，垂直於传播方向上的单位面积内能量对时间的平均值，即玻印亭矢量对时间的平均值

光作为电磁波，它的强度 $I\,$ 定义为在单位时间内，垂直於传播方向上的单位面积内能量对时间的平均值，即玻印亭矢量对时间的平均值

$I = \left \langle \mathbf{S} \right \rangle = \frac{c}{4\pi}\sqrt{\frac{\epsilon}{\mu}}\left \langle \mathbf{E}^2 \right \rangle\,$

从而光强可以用 $\left \langle \mathbf{E}^2 \right \rangle\,$ 这个量来表征。对於单色光波场，电矢量 $\mathbf{E}\,$ 可以写为

$\mathbf{E}(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{2}\left [\mathbf{A}(\mathbf{r})e^{-i \omega t} + \mathbf{A}^{*}(\mathbf{r})e^{i \omega t}\right ]\,$

这里 $\mathbf{A}(\mathbf{r})\,$ 是复振幅矢量，在笛卡尔直角坐标系下可以写成分量的形式 $\mathbf{A}(\mathbf{r}) = \sum_{i=1}^3 a_i(\mathbf{r})e^{i\phi_i(\mathbf{r})}\mathbf{e}_i \qquad i = 1,2,3\,$ 。
这里 $a_i(\mathbf{r})\,$ 是在三个分量上的（实）振幅，对於平面波 $a_i(\mathbf{r}) = a_i\,$ ，即振幅在各个方向上是常数。 $\phi_i(\mathbf{r})\,$ 是在三个分量上的相位， $\boldsymbol{\phi}(\mathbf{r}) = \mathbf{k}\cdot \mathbf{r} - \delta_i\,$ ， $\delta_i\,$ 是表征偏振的常数。
要计算这个平面波的光强，则先计算电场强度的平方：

$\mathbf{E}^2 = \frac{1}{4}\left [\mathbf{A}^2e^{-2i \omega t} + \mathbf{A}^{*2}e^{2i \omega t} + 2\mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{*}\right ]\,$

对於远大于一个周期的时间间隔内，上式中前两项的平均值都是零，因此光强为

$I = \left \langle \mathbf{E}^2 \right \rangle = \frac{1}{2} \mathbf{A} \cdot \mathbf{A}^{*} = \frac{1}{2}\left (a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 \right )\,$

对於两列频率相同的单色平面波 $\mathbf{E}_1\,$ 、 $\mathbf{E}_2\,$ ，如果它们在空间中某点发生重叠，则根据叠加原理，该点的电场强度是两者的矢量和：

$\mathbf{E} = \mathbf{E}_1 + \mathbf{E}_2\,$

则在该点的光强为

$I = \left \langle \mathbf{E}^2 \right \rangle = \left \langle \mathbf{E}_1^2 \right \rangle + \left \langle \mathbf{E}_2^2 \right \rangle + 2\left \langle \mathbf{E}_1 \cdot \mathbf{E}_2\right \rangle \,$ 。

其中 $\left \langle \mathbf{E}_1^2 \right \rangle\,$ 、 $\left \langle \mathbf{E}_2^2 \right \rangle\,$ 是两列波各自独立的光强，而 $2\left \langle \mathbf{E}_1 \cdot \mathbf{E}_2\right \rangle \,$ 是干涉项。我们用 $\mathbf{A}\,$ 、 $\mathbf{B}\,$ 表示两列波的复振幅，则干涉项中 $\mathbf{E}_1 \cdot \mathbf{E}_2\,$ 可以写为

$\begin{align} \mathbf{E}_1 \cdot \mathbf{E}_2 & = \frac{1}{4} \left [ \mathbf{A}e^{-i\omega t} + \mathbf{A}^{*}e^{i\omega t} \right] \left [ \mathbf{B}e^{-i\omega t} + \mathbf{B}^{*}e^{i\omega t} \right]\\ & = \frac{1}{4} \left ( \mathbf{A}\cdot \mathbf{B}e^{-2i\omega t} + \mathbf{A}^{*}\cdot \mathbf{B}^{*}e^{2i\omega t} + \mathbf{A}\cdot \mathbf{B}^{*} + \mathbf{A}^{*}\cdot \mathbf{B} \right ) \end{align} \,$

前两项对时间取平均值仍然为零，从而干涉项对光强的贡献为

$2\left \langle \mathbf{E}_1 \cdot \mathbf{E}_2\right \rangle = \frac{1}{2}\left ( \mathbf{A}\cdot \mathbf{B}^{*} + \mathbf{A}^{*}\cdot \mathbf{B} \right )\,$

根据前面复振幅的定义， $\mathbf{A}\,$ 、 $\mathbf{B}\,$ 可以在笛卡尔坐标系下分解为

$\mathbf{A} = \sum_{i=1}^3 a_i e^{i\phi_i}\mathbf{e}_i \qquad i = 1,2,3\,$

和

$\mathbf{B} = \sum_{i=1}^3 b_i e^{i\psi_i}\mathbf{e}_i \qquad i = 1,2,3\,$

将分量形式代入上面干涉项的光强，可得 $2\left \langle \mathbf{E}_1 \cdot \mathbf{E}_2\right \rangle = a_1b_1\cos(\phi_1 - \psi_1) + a_2b_2\cos(\phi_2 - \psi_2) + a_3b_3\cos(\phi_3 - \psi_3)\,$
倘若在各个方向上，两者的相位差 $\delta_i = \phi_i - \psi_i\,$ 都相同并且是定值，即

$\delta = \phi_1 - \psi_1 = \phi_2 - \psi_2 = \phi_3 - \psi_3 = \frac{2\pi}{\lambda}\Delta L\,$

其中 $\lambda\,$ 是单色光的波长， $\Delta L\,$ 是两列波到达空间中同一点的光程差。
此时干涉项对光强的贡献为

$2\left \langle \mathbf{E}_1 \cdot \mathbf{E}_2\right \rangle = (a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3)\cos \delta = (a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3)\cos \frac{2\pi}{\lambda}\Delta L \,$

光波是电矢量垂直於传播方向的横波，这里考虑一种简单又不失一般性的情形：线偏振光，电矢量位於x轴上，传播方向为z轴方向，则两列波在其他方向上的振幅都为零：

$a_2 = b_2 = a_3 = b_3 = 0\,$

代入总光强公式：

$\begin{align} I & = \frac{1}{2}a_1^2 + \frac{1}{2}b_1^2 + a_1b_1\cos\delta \\ & = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}\cos\delta \end{align}$

因此干涉后的光强是相位差的函数，当 $\delta = 0,2\pi,4\pi,...$ 时有极大值 $I_{\rm max} = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2}\,$ ；当 $\delta = \pi,3\pi,5\pi,...$ 时有极小值 $I_{\rm min} = I_1 + I_2 - 2\sqrt{I_1 I_2}\,$ 。
特别地，当两列波光强相同即 $I_1 = I_2 = I_0\,$ 时，上面公式可化简为