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标题: 群，轴对称与高维空间 [打印本页]作者: abada 时间: 2012-1-13 07:42:47 标题: 群，轴对称与高维空间
欧几里德《几何原本》，命题4，就是“边角边定理”，即两三角形的一个对应角以及这个角的两边对应相等，则这两个三角形全等。全等即内部结构、信息无差别、不可分辨。
欧几里德给了一个直觉的证明。而实际上，这个命题只能是个公理，它可全面反映欧氏几何空间的全面对称性。
上述两三角全等，可以分为4种情况：1，任意距离的平移全等。2、任意角度的旋转全等。以及，3，轴对称（或镜像对称）全等。 4，以上情况的组合。
即在欧氏平面，无论以上4种情况的任何一种情况下，只要符合“边角边”，这两个三角形即全等。 （想想被现代物理学重视的Noether定理，或爱因斯坦的相对性原理，在此早有直观雏形）
接着，欧几里德给出第5命题，即“等腰三角形的两底角必相等”。 这个命题也叫驴桥定理，据说因很多人看到这里就看不懂了，恐怕还因欧几里德画的图像个桥。
有人说欧几里德的证明存在不必要的繁琐，因为根据边角边定理，等腰ABC，必全等于ACB，因此，角B等于角C。
但是，欧几里德的用意是深刻的。他要在这个命题的证明中，更显明地反映平面欧氏空间的一种对称性，即轴对称性。如图：
没有轴对称性，仅仅在平移或旋转作用下，平面欧氏空间的所有与某三角形全等的三角形，并不能构成群，而只有加上轴对称作用，才可能构成群。
如果不用轴对称，只用平移和旋转呢？ 我们可以发现，在三维空间旋转，才可以等效于二维平面内的轴对称，使与某三角形全等的三角形，在平移和旋转作用下构成群。
这个命题可以推广，即镜像对称，等价于更高维空间上的一个旋转对称。
例如三维欧氏空间中两个斜棱锥钻石，若只有镜像对称性，即在镜子里看到的一个与真实的另一个全同，那么，在三维空间就总能分辨它们，是不可能通过平移和旋转调包的。除非在四维空间可以调包。
而广义相对论指出我们生活在弯曲的四维时空中。如果四维时空象枚比乌斯带那样弯曲，上述全等置换就可以实现。
[ 本帖最后由 abada 于 2012-1-13 14:25 编辑 ]
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作者: 白桦林 时间: 2012-1-13 09:31:01
深刻，确实只有平移加旋转加轴对称才能构成群，在凝聚态的晶体点群中也是这样，只是点群中不叫轴对称叫镜像对称。不过轴对称这个名词更形象，预示着镜像对称操作对应着更高一维空间中的整体旋转操作。
作者: feng1734 时间: 2012-1-13 13:25:50
欧氏几何本身应该是没有坐标的·吧，，平移，旋转，反射都是没有定义的操作，，，在《几何基础》中他们都被 “合同” 这一没有定义的概念取代（但有合同公理的某些限制），，，
所以只考虑平面解析几何，这里所有的操作都可以用坐标变换明确定义，，，
lz是想说变换成群，而不是三角形成群吧，，，，因为三角形成群就要求在群上乘法运算过程中，由任意两个全等三角形可以得到唯一的第三个全等三角形，，这应该不是lz想说的东西，，，，，，
变换成群的话，群上的乘法lz采用的应该是两个变换连续操作的等价变换吧，，，在这个运算下，所有的平移变换单独成群，，，所有的旋转变换单独成群，，所有的反射变换单独成群，，，，，，，由以上三个群可以生成一个更大的群，全等变换群，，，
作者: feng1734 时间: 2012-1-13 13:41:50
3楼说的有问题，，，固定转动中心的所有旋转变换和固定反射轴的反射变换才单独成群，，，，
作者: abada 时间: 2012-1-13 14:19:46
我说的是某三角形集合成群的条件，＂没有轴对称性，仅仅在平移或旋转作用下，平面欧氏空间的所有与某三角形全等的三角形，并不能构成群，＂。视为操作变换群是等价的。
对欧几里德几何有一种等价的理解，即它内蕴了运动操作的定义。
把两个全等三角形，任意一方视为另一方某种操作的结果即可。
平移很容易定义，因为有平行或平行线概念。
欧几里德＜几何原本＞与希尔伯特＜几何基础＞不同，前者依靠了许多直觉和生活常识，更容易培养物理学者，后者强调严谨，把直线一词全换成帽子也可以进行严谨的逻辑推演，不过那培养出的是某一派现代数学家。（现代数学家也有直觉派经验派的）
有时人们会夸大公理、逻辑、严谨对非欧几何产生的影响（对平行公理的质疑和取舍）。实际上黎曼几何更多起源于大地测量的生活经验。
[ 本帖最后由 abada 于 2012-1-13 14:38 编辑 ]
作者: abada 时间: 2012-1-13 14:32:21 标题: 回复 4# 的帖子
需要请教一个问题：枚比乌斯带是否能算欧氏平面？ 如果能算，那么，这种特殊的欧氏平面上，只需平移奇数圈，就可实现三角形与原三角形轴对称，而无需穿越进入三维空间旋转。但即便此时，仍可以等价于在三维空间就地旋转了。
作者: feng1734 时间: 2012-1-13 15:26:44 标题: 回复 5# 的帖子
你说三角形集合成群，，那你这个集合上的乘法运算是如何定义的，，，？已知集合中任意两个三角形，他们的乘积是哪一个三角形，，？
回复 6# 的帖子
拓扑或者微分几何我不大懂，，至少莫比乌斯带上的结构看起来连线性空间都不是，即使有联系也不大可能是线性空间的同构关系，，，，，，
作者: abada 时间: 2012-1-13 15:53:57
其中的运算是平移或旋转或反射对称。不知数学上可否定义？另外，两个三角形的乘积结果，可以尝试定义为对称地复制它们之间的关系的结果。或者说其中一个三角形就建立起了坐标。
[ 本帖最后由 abada 于 2012-1-13 16:06 编辑 ]
作者: feng1734 时间: 2012-1-13 16:05:33 标题: 回复 8# 的帖子
前一句描述的是三角形集合上的一元运算，不是二元运算，，，后一句没看明白，，，，
总之，如果想说数学上成群，那就要把群结构全部找齐，包括集合和上面的二元运算，，，
作者: 白桦林 时间: 2012-1-13 16:09:00
原帖由 abada 于 2012-1-13 14:32 发表
需要请教一个问题：枚比乌斯带是否能算欧氏平面？
莫比乌斯带的结构我不熟悉，但是不是欧氏平面可以这样判断：把莫比乌斯带剪开，平铺在欧氏平面上，如果不裂开和不产生皱折，从内禀属性看它就是欧氏平面。
作者: abada 时间: 2012-1-13 17:22:38 标题: 回复 9# 的帖子
我后面补充了一句你可能没看到。单元运算定义了，二元的也好办。比如，三角形B是通过三角形A旋转某度得到的，那么可定义A对B的运算，是将B也旋转此角度，结果，得到三角形C。这个结果是唯一的。
作者: feng1734 时间: 2012-1-13 18:27:11 标题: 回复 11# 的帖子
如过我没弄错的话，，你定义的这个运算没有单位元，不成群的，，，
[ 本帖最后由 feng1734 于 2012-1-13 18:28 编辑 ]
作者: abada 时间: 2012-1-13 23:11:29 标题: 回复 12# 的帖子
你说的对，全等三角形的集合在这些操作下，至多是半群（无幺元）。
主贴应说的是＂全等变换群＂，正如你3#所指出的那样。
作者: abada 时间: 2012-1-14 08:32:45 标题: 回复 10# 的帖子
枚比乌斯带不能满足欧氏平面的一下性质（公理）：
任意一条直线将平面分为两部分（两侧）。（参看希尔伯特的表述）。
枚比乌丝带上，平行公理也不能满足，例如局部的两平行线在远处、在整体上相交，是同一条线。
枚比乌丝带至多在局部是欧氏平面，整体上肯定不是。
[ 本帖最后由 abada 于 2012-1-14 09:43 编辑 ]
作者: 季候风 时间: 2012-1-14 14:55:10
杀鸡焉用牛刀？把这些19世纪以后的数学概念套用在小学数学题上有什么意义？更何况你的陈述中错漏百出。你不觉得你在浪费自己的生命、浪费很多网友的时间吗？
作者: abada 时间: 2012-1-14 19:09:38 标题: 回复 15# 的帖子
几何原本在命题5用到了轴对称的全等三角形，在勾股定理证明上用了旋转全等的三角形。
把全等三角形做几种分类，原本书中并没有直说，但可以深入解读经典名著。没见国内课本这样解读。
希尔伯特还研究＜几何原本＞，并用形式主义公理系统重塑欧氏公理。把欧氏几何做操作变换的理解也是现代的观点。不说大数学家，象我这样爱好＜几何原本＞的业余爱好者，有很多。你的全盘否定是极度自我的。
季老师，你要善于看到文章的优点，错误总可以逐步纠正。＂能看到别人的优点，漠视别人的缺点＂，马斯诺把此作为自我实现人格健康人格的标志。
我感兴趣就不会觉得浪费时间，别人不感兴趣就不看。feng1734的心态非常好。
台湾几何课本也有教学问题，大陆问题更多，下面这篇文章就是探讨。
http://math.ntnu.edu.tw/~horng/letter/vol4no8e.htm
其中说：
若採用「反身對稱」的方法，則圖形的運動需要通過第三維空間 (在《幾何原本》中，沒有規定此種運動是保距變換)。其實，歐幾里得在證明相關定理時，對於圖形的移動與疊合方面，也始終表現得十分掙扎。譬如《幾何原本》第一冊命題4固然利用到了圖形的移動與疊合，來證明SAS全等定理，但對於命題26的ASA全等命題，他卻不願意依樣畫葫蘆。不過，如果我們仍是堅持要用「反身對稱」的方法來證明命題5，則不妨採用Pappus所建議的方法，將等腰三角形由正反兩面來觀察，那麼，歐幾里得《幾何原本》中所提供的證明之複雜，應該可以完全避免 (投影片11)。
==============
这段话头两句好像是说，三角形全等的命题4，没有包括轴对称全等。 但是若如此，驴桥定理是证明不出的。
后面又说建议＂用Pappus所建議的方法，將等腰三角形由正反兩面來觀察，那麼，歐幾里得《幾何原本》中所提供的證明之複雜，應該可以完全避免＂
----这句我在主贴里也进行了反驳。
[ 本帖最后由 abada 于 2012-1-14 20:23 编辑 ]
作者: abada 时间: 2012-1-14 19:23:06
主贴主要意思：（图像可以超越概念语言）
把两个全等三角形，任意一方视为另一方某种操作的结果。
但仅有平移和旋转操作，并不能把一个三角形变换为与之全等的所有三角形。
只有加上轴对称操作才可以全部实现。
作者: 白桦林 时间: 2012-1-14 20:52:21 标题: 回复15#
季老师，你说的话有点打击abada，虽然我和feng1734对abada说话的口气都不客气，其实我和feng1734都喜欢参与abada的话题，并不觉得浪费时间，往往一个帖子里只有我们三个在讨论，我们三个就像一个兴趣小组。
作者: 白桦林 时间: 2012-1-14 21:00:40 标题: 回复15#
我们三个在讨论时都不敢肯定自己的理解是对的，这个时候特别希望把季老师勾引出来当裁判，而且大多数时候你都出来点评了，特别感激你，我们都把季老师当天神，希望以后关键时候还出来点评，但不要打击我们，谢谢啦。
作者: feng1734 时间: 2012-1-14 21:23:29
很多帖子讨论的内容我都看不懂么，所有回帖自然有选择性的了，，，，
我可没有把谁看做神那样，，，，不管看到什么内容，我的第一反应都是怀疑，，，，，，
作者: 季候风 时间: 2012-1-14 22:44:16
原帖由 abada 于 2012-1-13 14:19 发表
我说的是某三角形集合成群的条件，＂没有轴对称性，仅仅在平移或旋转作用下，平面欧氏空间的所有与某三角形全等的三角形，并不能构成群，＂。视为操作变换群是等价的。
对欧几里德几何有一种等价的理解，即它内蕴了运动操作的定义。 ...
非欧几何和黎曼几何是根本上不同的东西。
非欧几何的公理体系可以在某个黎曼流形上实现，仅此而已。
以下的建议不仅是对 abada 你，也对其他参与讨论和不参与讨论的客栈朋友：
下任何论断之前请确认自己说的话大致上正确。如果大家都信口开河、凭记忆、凭想象，那我不觉得这样的讨论有任何意义。要知道这是一个公共论坛，在公共地方说话是要负责任的。发帖的时候请在手边放上所有相关的书籍和资料，随时仔细查看推导思索，然后再发帖。这样才是对自己和来这里的读者负责任且有助益的做法。
作者: 白桦林 时间: 2012-1-14 22:46:27 标题: 回复20#
feng1734兄，你太谦虚了，你对数学和物理的理解很不错，你说数学的大多数概念可以用集合论定义对我启发很大，也许我说季候风是天神有点夸张，也许还有拍马屁的嫌疑，但季候风的数学水平真的很高，那讨论群论的旧帖里，季候风对群的理解非常到位且层次相当高，对我的启发相当大。
作者: 白桦林 时间: 2012-1-14 23:10:06
原帖由 季候风 于 2012-1-14 22:44 发表
非欧几何和黎曼几何是根本上不同的东西。
非欧几何的公理体系可以在某个黎曼流形上实现，仅此而已。
以下的建议不仅是对 abada 你，也对其他参与讨论和不参与讨论的客栈朋友：
下任何论断之前请确认自己说的话大致上 ...
季老师，你说的有道理，但我有一些保留意见，其实每一个栈友(包括我)在发主帖时，都是小心又小心，我来客栈两个月，才发了三个主帖，更多的时候只敢参与讨论，还经常被指责，但我从不计较，我来论坛就是学知识交朋友的。
季老师(包括Saga老师)是怕论坛的错误言论会误导众栈友，你们忧天下之心的出发点是善意的，但论坛是具有纠错功能，如果限定太多，论坛就失去人气了，就没有存在价值了，我真的好喜欢这个论坛。
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