，很少将代
表振幅的产生和湮灭算符与相位算符作为一个整体讨
论，原因大致有二：其一，由于光子数算符和相位算符
电子·敷 第9卷第1期1998年2月
JOURNAL OF OPTOELECTRONICS·LASER Vo1．9 No．1 Feb．]998
量子相位算符的不确定关系及其演化方程‘
周率汉
1年面再写'院武汉物理研究所波谱与原子分子物理国家重点实验室，武汉43007]) 、
冲 学院锶光机所激光光谱开放实验室舢2㈣川0
—
摘要量子相位算符已经披很多科学家所研究，其定义也有多种多样，其中最具代表性的是Susskind．
’ Glogower定义的相位算符以及Pegg、Barnett定义的相位算符 本文从不确定关系角度出发，证明在不
／
1 引言
关键词量子相位算符；不确定关系；对易关系 白沱
The Uncertainty Relation of Quantum Phase Operator and
the Tim e—evolved Equation’
Zhou Benhan
(State Laboratory。f Magnetic Resonance tAtomic and Molecular Physics，
W uhan Institute of Physics，Chinese Academy of Sciences，Wu}1an 430071)
(Laser Spectroscopy Laboratory，Anhui Institute ot Opfies and Fine M echanics
Chnese Academy of Sciences，Hefei 23003]，China)
Abstract In the past，the quantum phase operators had been studied by many authors．Representa·
tively，there aretwo kinds of phase operators{oneis defined byL．Susskind and J．Ologower，another de
fined by D．T．Pegg and S．M ．Barnett．Despke the phase operator defined by Pegg and Barnett has many
advantages over the latter tbut in this paper we will show that the former is better in the uncertainty de—
gree than the latter，and for both phase operators，we will find they have the same evoluafion expression
w】th t Lme．
Key words quantum phase operator；the uncertainty relation
有不少科学家对量子相位算符进行了广泛的研
究 r。但长期以来人们还没有找到为广大读者所普
遍接受的量子化相位算符。量子化相位算符至少应具
备两点条件：1．它应是厄密的，即是可观测的物理量；
2．从量子力学理论过渡到经典理论时，它应具有经典
相位的含义。最早提出量子相位算符的是Dirac 。他
从经典的泊松括号出发，假设相位算符和光子数算符
满足对易关系[珏，Ⅳ]一一i。但是，如果选择如下表
象，设在该表象里光子数算符Ⅳ 是对角的，则当我们
应用此对易关系在该表象计算 的矩阵元的时候就
· 国家自然科学基盘资助课题
收稿日期：1997-03—19
将导致错误 ]。在Dirac之后，w．H．Louisell口]、D．
Judge和J．T．Lewis。 、L．Susskind和J．Glogower。‘ 、
D．T．Pegg和S．M．Barnett 等先后为寻找合适的量
子相位算符作了大量的理论研究工作。其中最具代表
性的要数Susskind和Glogower在1 964年以及Pegg
和Barnett在1 988年定义的量子相位算符了。本文主
要讨论这两种量子相位算符的不确定关系，并对它们
作详细地比较，最后给出两种相位算符随时间的演化
方程。
光子数算符被定义为
—
+ (1)
这里湮灭算符a可被表为
第1期 周本汉：量子相位算符的不确定关系及其演化方程
一
骞 <⋯,F／~I (2)关系
产生算符 可由(2)的厄密共轭给出。
Susskind和Glogower定义的量子相位算符为
ei —2 i><i+1 (3)
它和湮灭算符n由下式相联系
一
( + 1)” (4)
显然 叼；是厄密的相位算符，但是可由此定义正弦算
符S( )和余弦算符c( )
1
c( )一去 十( ) ]，
1
( )一 [ 一( 。 ) ]． (5)
我们可以得到如下的关系式
1
[c( ，S( ]一击lo><0 f， (6)
1
C ( )+ ( )一1一寺fo><o ．
由(6)式我们很容易发现，c( )和Sqo)不同于经典意
义的正弦和余弦函数，因为二者的平方和不等于1。这
些三角相位算符与光子数算符有以下对易关系
[Ⅳ ，C( ]一-is( ，
EN，S( )]一iC( ． (7)
另一方面，Pegg和Barnett在s+1维空间定义的
量子相位算符为
I一1
一
2 f >< +1+ “ 。l s><o l， (8)
这里 。是一任意常数。在此定义下，ei 黾厄密的相位
算符。同样可以给出正弦算符 和余弦算符co$
1
cos 一÷Ee + 一 ]，
●
sin 一击[ 一 ～ ]． (9)
正弦算符sin 、余弦算符cos 和光子数算符N满足
下面一系列关系
J『c0s ，sin~ =0，
COS ~+sin =1．
{： ，c0s ] 一 s + [ + c ><0I— 一--．+ 口。J 0>< 门．
1 l
[ ，sjn ]=zc。s +与 叶 。。s><。I+ 一 0>< I]．
(10)
方程组(1O)表明由Pegg和Barnett定义的量子相位
算符满足经典三角函数的关系，正弦算符sin 和余弦
算符COS 也彼此对易，但此时它们和光子数算符的
对易关系变得复杂了。
2 不确定关系
对任意的算符 ，B，C，如果它们满足下面的对易
将有【。：
zxA·△直≥去l<e>，
阿
·
55·
(11)
(12)
△D一√<D > 一<d>} (O-A，雪，e)(13)
这里，<D>，是在任意给定的物理态l，>下的平均
值。 -
l／>可以在Fock态中展开
If>一ΣF l > (14)
在Hilbert空问里，我们假设J，>是归一化的，即
<fir>一Σ l2—1 (15)
对足够大的 ，我们可以认为lF { 仅仅在 ，<s(但 ，
>> ，，，其中^0为态l，>中的平均光子数)的情况下
有较明显的值，那么我们从下式可以发现，两种量子相
位算符在态l，>里有相同的平均值。
<fiG( )If>一ΣF F 一<fl c0 If>，
<fls(p)Jf>一Σ(F一 F 一F F )一<， sin l
l厂>． (16)
然而，两种量子相位算符在态l，> 中的方均值确不总
是一样的，当且仅当在一定条件下时二者才取相同的
值。
，
<flC ( )If>一Σ<，lc( l >< fc( If>，
(1 7)
，
<fic0 z If>一Σ<flCOS >< l cos If>
+<，l c0s f ><slCOS l／>
一
Σ<flc( )In>< lc( )l，>
+l< l c0s f，> l ≥<，lC ( )，
> (18)
在以上两式中，我们假设c( )在态l，> 中的矩阵元仅
在 ≤ ，时有值。另外我们在推导(16)式中用到了等
式< lCOS ，>一< fc( ，> (在 ≤ ，条件下)。
而且即使对很大的S，< lC0$ l，>可以不为0，但<s
c( ，>则为0。
最后，我们可以得到
(zXcos )。一[△c(妒)] -_f<sl COS l，> 』 ≥ [△c
( ] ， (1 9)
△ ·△cos ≥△对·△c( ≥告l<，}s( If>l
一
l<， sin I／>f． (20)
同样地
△对·△sin ≥△J畸·△c( )≥ f<fl cos~ I，> ，
(21)
Z~cos ·△sin ≥△s( ·△c( ≥÷I<，I o><0 Jf
> J≥ 0
由(20)、(21)找们可 得出这样的结论：在不确定
关系上，Susskind相位算符c( 和S( )要优于Pegg
相位算符，即Pegg相位变化总是大于或等于
Susskind相位变化，也即是对一给定的物理态I，>，
Susskind相位起伏要比Pegg相位起伏小。换言之，如
果态I，>是(cos ，Ⅳ)或(sin ，Ⅳ)的最小不确定态，
那么它也一定是(c( ，Ⅳ)或(s( ，Ⅳ)的最小不确定
态，而反过来确不一定正确。尽管(10)式中[cos ，sin
]一0，但(21)告诉找们，对任意的态 ，>，2．~cos ·
z~sin 却大于或等于凸s( )·△c( 。Pegg相位变化
偏离最小不确定关系的原因主要是态I，>和真空态J
0>的重叠积分不为0，从而在(19)式中< I∞s I，>
或< sin l，>变得明显了。 。。
3 特殊态下的不确定关系
3 1 Fock态In>
首先，我们用F0ck态J >代替态I，>，那么当一
< 时，可以得到
< fc( ”>一<”ICOS 1 >一0，
< JS( )I”>一< Isin l >一0． (22)
式(22)表明在Fock态1 >里，两种量子相位算符有
相同的期待值，而且，当nO：0时，有
<”Ic ( f >一< c。s 1 >一告，
< JS ( J >=< Isin 1 >=音． (23)
而它们的起伏
一
△c( △s( ) Z~cos( )一△sin( )=√专一。一
r
!
．
(24)
‘
于是，我们求得
f△N ·△c0s =△N ·△C 0=0，
J△ ·△sin 一△N·△s( 一0， ． (25)
l&cos ·Asin =△c( ·△ ( 一音
从(25)式中我们可以发现，对Fock态I > ，
电子·厢 1998年第9卷
Susskind的量子相位算符和Pegg的量子相位算符有
完全相同的不确定关系。同时，找们亦可发现，在Fock
态I一>下，两种算符的期望值都是不确定的，这是光子
数算符和两种相位算符都不对易的必然结果。
3．2 相干态In>
为了更明显地说明第二节的观点，找们考虑在相
干态1n>下，两种相位算符的不确定关系有何特征。
相干态I n>可表为
la>： 一 Σ 生 f >． (26)
0 ” 』
假设fa f >>1(fa I <<1的情形有相似的讨论)，通
过简单计算，可以得到以下关系式：
<ⅡJc( In>一<ⅡI COS lⅡ>~cos0，
<口Ic ( )la>≈cos 0，
<日f COS 』口>=<口Ic。( f a> +l< lCOS
fⅡ>I ≈ ÷-a-COS 0． (27)
对正弦算符有相似的讨论。而
△C( 一△S( 一0，
— — — 一
1
△c。s( ) √寺-一cos 20-cosZ0一专 △sin( )·
(28)
这样，我们可以得到在相干态下的两种相位算符的不
确定关系为
△ ·△cos 一 la >△对·△c( =o (29)
类似地
AN·△sin 一告I口f>△N·△ ( 一0
Z~cos · in 一÷>△c( ·△s( 一0
(3O)
从上面的分析我们可以得出结论：对相干态f。>
(1日f >>1)，Susskind的相位算符的不确定关系要好
于Pegg的相位算符。通过研究我们也可发现，对于Ia
I。<<l的情况亦有如此结论。
3．3 相位态l口 >
相位态I >被定义如下形式
1
> 一l m(s4-1) e ln> ． (31)
象上面一样的计算讨论，在 < 且 ≠0的情况下，
我们可以得到两种相位算符在相位态I >中的期待
值
< Ic( f >=cos0 =< I COS 一 >，
< Jc ( I > 一12OS =< l COS f > ， (32)
并且，
第1期 周本汉：量子相位算符的不确定关系及其演化方程
△N=√< I I >一I< INI >I =√苦+音． (33)
AC( 一 ( =Acos( )一Asin( )一0．那么，相应
的不确定关系可据此得出
f△N·AC( 一△ ·Acos 一0，
△N ·AS( 一AN ·Asin =0， (34)
LAcos ·Asin 一△C( ·,AS( =0．
(34)式的结果是我们预料的，相位算符在其自身
表象中的取值是确定的，因而其变化为零。这两种相位
算符在相位态I >中有相同的不确定值。
4 演化方程
上面的讨论中，我们没有考虑两种相位算符随时
间的变化．认为它们是不含时的，在这一节里，我们假
设这两种量子相位算符都随时间演化，利用产生和湮
灭算符的时间演化表达式
it)一 (。) ， it)= (。) ， (35a)
I it)><n+1it)I= I ><+1 l 一‘ + 一 一． ><
+1 I 一 ， (35b)
再根据(3)和(7)式，我们可以得出Susskind量子相位
算符的时间演化方程
( )一一 · (36)
进一步写成更直观的形式
ih ( )=[ ，矾]． (37)
这里膏 hw。
对Pegg量子相位算符，类似地，根据(8)和(10)
式，我们有
ih ( 。)一 ，疗。] (38)
从(37)和(38)式的结果我们可以发现，两种相位
算符有相同形式的随时间演化方程，而且和量子力学
中其它力学量算符的演化方程有完全相同的表达形
式!这是量子理论的正确性和这两种量子相位算符假
设合理性的必然结果。
5 讨论
量子相位算符的研究对量王理淦的进一步完善有
重大的理论意义。在经典理论中，场由振幅和相位共同
确定，在处理问题的过程中至始至终把振幅和相位做
为一个整体看待，所得结果也包含它们的共同信息，但
至今为止，在用全量子理论处理该类问题时，很少将代
表振幅的产生和湮灭算符与相位算符作为一个整体讨
论，原因大致有二：其一，由于光子数算符和相位算符
的不对易，从而光子数和相位不能同时确定，致使态的
形式难以描写；其二，目前的量子相位算符还不完善。
本文给出相位算符的演化方程，它具有与其它力学量
算符的演化方程相同形式，如果能将它和薛定谔方程
联系起来，将给我们解决上述问题带来了曙光。
衷心感谢詹明生研究员的指导。
参考文献
1 P．A．M ．D Lrac．尸⋯R Soc Lond~ Ser． -1927．114(2)：243
2 W ．H．LO[1 e]1．P^ Lett ，1 963，7(1)：60
3 D．Judge and J．T．Lewis Phys Lett．，1963-5(3)：]90
4 L Susskind．J．G1ogower．Physics，1964，1(1)：49
5 D T．Pegg，S．M ．Barnett Europhys-Left．·1988，6(6】{483
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7 K．Fujikawa．尸ay；．Rev．且，1995，52(4)：3229
8 周世勋．量子力学，北京：^民教育出版社．1980：90
9 郭光灿．量子力学，北京：高等教育出版社、1g90：119
周本汉男．27岁 1994年河南大学物理系毕业．获学士学位．同年
被免试推荐到中国科学院安傲光学精密机械研究所攻读硕士学位
主要从事激光相干控制分子振动和离解的理论和实验工作 目前已
完成相关论文4篇。
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